Повна версія

Головна arrow Економіка arrow Економетрика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ОЦІНЮВАННЯ ЛІНІЙНИХ МОДЕЛЕЙ В УМОВАХ АВТОКОРЕЛЯЦІЇ ВИПАДКОВИХ ЗБУРЕНЬ

Розглянемо лінійну авторегресійну модель першого порядку AR (1):

(7.24)

Для визначеності почнемо розгляд на прикладі рівняння парної регресії. При цьому будемо вважати, що коефіцієнт кореляції між послідовними значеннями випадкових збурень відомий, а залишок підпорядковується нормальному закону розподілу . Початкове значення змінної дорівнює значенню . Ми не маємо в своєму розпорядженні нульовим наглядом, але будемо припускати, що дисперсія випадкового спостереження в ньому дорівнює . Тоді з другого рівняння (7.24) отримаємо:

(7.25)

Так як і суть незалежні випадкові змінні, третій доданок в (7.25) дорівнює нулю. Оскільки , то з (7.25) отримуємо:

(7.26)

Обчислимо дисперсію випадкової змінної . Скористаємося методом математичної індукції. Знайдемо дисперсію :

Зрозумівши значення О2 (і3), О2 (М4) і т.д., отримаємо, що у всіх випадках

(7.27)

Таким чином, якщо задати дисперсію випадкового обурення в початковий момент часу в вигляді (7.26), то дисперсії у всіх спостереженнях стануть гомосксдастічнимі.

Обчислимо недіагональні елементи ковариационной матриці випадкових збурень. З урахуванням відсутності залежності між випадковими змінними і для , отримаємо:

(7.28)

З врахуванням того, що

(7.29)

параметр авторегресії є коефіцієнт кореляції між сусідніми випадковими збуреннями, обчисливши послідовно значення всіх ковариаций по індукції, отримаємо:

Остаточно автоковаріаціонная матриця випадкових збурень приймає вид:

(7.30)

Матриця (7.30) називається ковариационной матрицею стаціонарного випадкового процесу.

Підхід до усунення автокореляції випадкових збурень зводиться до штучного перетворення специфікації моделі (7.24) до виду з тотожним виконанням третьої передумови теореми Гаусса - Маркова.

Для цього запишемо перше рівняння (7.24) в моменти часу і

(7.31)

Помножимо друге рівняння (7.31) на р і віднімемо його з першого:

(7.32)

Зробивши заміну змінних:

(7.33)

отримаємо специфікацію лінійної моделі виду:

(7.34)

Специфікація (7.31) може бути оцінена за допомогою МНК.

Не порушуючи спільності отримані висновки можна застосувати до лінійної моделі множинної регресії.

Рівняння (7.31) мають сенс тільки при , так як відсутній нульове спостереження. Якщо обсяг вибірки досить великий, то першим спостереженням можна пожертвувати.

В принципі перше спостереження також можна використовувати при обчисленні оцінок моделі, якщо його помножити на величину , яка називається поправкою Прайса - Вінстона. Можна показати, що множення першого спостереження на цю поправку не призводить до спотворення значень параметрів моделі і при значеннях р близьких до одиниці зменшується значення дисперсії випадкового збурення (7.27).

В результаті систему рівнянь спостережень в загальному вигляді можна записати як

(7.35)

Зауваження. Розглянутий прийом справедливий, якщо відомий коефіцієнт кореляції між послідовними випадковими збуреннями. На практиці, як правило, він невідомий.

Існує кілька підходів до оцінки авторегресійних моделей при невідомому значенні параметра р.

 
<<   ЗМІСТ   >>