Повна версія

Головна arrow Економіка arrow Економетрика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ОЦІНКА ПАРАМЕТРІВ ЗАКОНУ РОЗПОДІЛУ МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОЇ ПРАВДОПОДІБНОСТІ

Після вивчення глави 4 студент повинен:

знати

  • • ідею методу максимальної правдоподібності;
  • • поняття і математичний сенс функції правдоподібності;
  • • алгоритм застосування методу максимальної правдоподібності для обчислення оцінок параметрів закону розподілу;

вміти

  • • складати функцію правдоподібності для різних завдань обчислення оцінок параметрів законів розподілу;
  • • застосовувати алгоритм методу максимальної правдоподібності для вирішення конкретних завдань;

володіти

• апаратом методу максимальної правдоподібності.

Поняття функції правдоподібності й оцінка параметрів закону розподілу

Нехай маємо вибірку з п спостережень за випадковою змінною X, з відомим законом розподілу ймовірностей, функція щільності ймовірностей якого , де параметри функції щільності ймовірностей.

Завдання: знайти значення оцінок параметрів.

Одним з методів вирішення поставленого завдання є метод максимальної правдоподібності (ММП), який забезпечує отримання, принаймні, заможних оцінок.

В основі методу максимальної правдоподібності лежить поняття функції правдоподібності вибірки.

Функцією правдоподібності вибірки називається функція L , що залежить від параметрів закону розподілу як від аргументів, і елементів вибірки як від параметрів і певна рівністю:

(4.1)

Права частина рівності (4.1) виражає щільність ймовірності появи спільного події , або іншими словами, ймовірність появи вибірки

Функція правдоподібності (4.1) має такі властивості:

  • L - є випадковою змінною, так як її параметри - випадкові змінні;
  • • всі значення функції L невід'ємні, так як цей твір невід'ємних величин.

Ідея методу максимальної правдоподібності полягає в тому, щоб знайти такі значення параметрів ( ), які забезпечують отримання максимального значення функції правдоподібності.

Так як функція правдоподібності (4.1) відображає ймовірність появи в спостереженнях даної вибірки, его означає, що за рахунок шуканих параметрів забезпечується максимальна ймовірність появи в спостереженнях даної вибірки. Робиться припущення, що оцінки шуканих параметрів, які забезпечують найбільшу ймовірність вибірки, є найкращими серед усіх інших.

Дане твердження математично виглядає так:

(4.2)

або

(4.3)

де - вектор оцінки параметрів закону розподілу.

Послідовність дій при вирішенні поставленого завдання можна представити у вигляді наступного алгоритму.

Крок 1. За відомою функції щільності ймовірностей формується функція правдоподібності (4.1).

Крок 2. Мультиплікативна функція (4.1) реорганізується в аддитивную шляхом логарифмування обох її частин.

Підстава логарифма в загальному випадку може бути будь-яким. На практиці підставу логарифма вибирається з умови спрощення результату логарифмирование.

Крок 3. Оскільки функції L і InL досягають екстремуму в одній точці, значення шуканих оцінок параметрів знаходиться в результаті рішення системи рівнянь:

(4.4)

Проілюструємо процедуру ММП на прикладі оцінки параметрів нормального закону розподілу ймовірностей.

Приклад. Нехай ми маємо вибірку з і спостережень за змінної . Завдання оцінити параметри т і методом максимальної правдоподібності.

З урахуванням (3.4) функція правдоподібності набуває вигляду:

(4.5)

Логарифм функції (4.5) по натуральному основи має вигляд:

(4.6)

Формується система алгебраїчних рівнянь (4.1.4) шляхом диференціювання (4.6) по аргументам т і σ2 і прирівнювання їх нулю:

(4.7)

Рішення системи рівнянь (4.1.7) при має вигляд:

(4.8)

Перевіримо виконання умови незсуненості для отриманих (4.8) оцінок. Для цього необхідно обчислити значення математичних очікувань кожної з оцінок.

(4.9)

З (4.9) випливає, що оцінка параметра т нормально розподіленої випадкової змінної збігається з його теоретичним значенням при будь-яких значеннях обсягу вибірки і, тобто отримана оцінка несмещенная.

Можна показати, що:

(4.10)

Видно, що умова незсуненості для параметра досягається тільки при великих обсягах вибірки і. Отже, оцінка (4.8) другого параметра нормально розподіленої випадкової є асимптотично несмещенной.

Вище розглянуто питання оцінки параметрів законів розподілу, але завдання економетрики - навчитися обчислювати оцінки параметрів лінійної моделі. Розглянемо, як скористатися ММП для оцінки лінійної економетричної моделі.

Для спрощення викладок розглянемо окремий випадок лінійної моделі - рівняння парної регресії:

(4.11)

Так само припускаємо, що для розрахунку шуканих параметрів в нашому розпорядженні вибірка пар змінних ( ) обсягом п.

Нехай випадкове обурення і є нормально розподіленою випадковою змінною з параметрами т = 0, . З (4.11) випливає, що

Тоді функцію щільності ймовірностей нормального закону розподілу для випадкової змінної і набуває вигляду:

(4.12)

Невідомі параметри моделі (4.11) стали параметрами функції щільності ймовірностей (4.12). Функція правдоподібності (4.1) набуває вигляду:

(4.13)

Після логарифмування по натуральному основи отримаємо:

(4.14)

Прирівнявши нулю приватні похідні по а 1 і а 0 функції (4.14), отримаємо систему алгебраїчних рівнянь для обчислення значень оцінок шуканих параметрів:

(4.15)

Помноживши рівняння (4.15) на , і, зробивши нескладні перетворення, отримаємо систему алгебраїчних рівнянь для обчислення шуканих оцінок:

(4.16)

Вирішивши систему рівнянь (4.16) щодо невідомих параметрів і , отримаємо їх незсунені значення.

 
<<   ЗМІСТ   >>