Повна версія

Головна arrow Економіка arrow Економетрика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВ'ЯЗКУ МІЖ ВИПАДКОВИМИ ЗМІННИМИ

Поряд з функцією регресії в економетрики також використовуються кількісні характеристики взаємозв'язку між двома випадковими величинами. До них відносяться ковариация і коефіцієнт кореляції.

Коваріація випадкових величин х і у називається математичне сподівання добутку відхилень цих величин від своїх математичних очікувань і обчислюється по правили:

(3.12)

де і - математичні очікування відповідно змінних X і у.

Коваріація - це константа, яка відображає ступінь залежності між двома випадковими величинами і позначаються як або

Для незалежних випадкових величин ковариация дорівнює нулю, якщо між змінними існує статистичний зв'язок, то відповідна ковариация відмінна від нуля. За знаком ковариации судять про характер зв'язку: односпрямована ( ) або різноспрямована ( ).

Зауважимо, що в разі, коли змінні х і у збігаються, визначення (3.12) перетворюється в визначення для дисперсії випадкової змінної:

Коваріація величина розмірна. Її розмірність - твір розмірностей змінних. Наявність розмірності у ковариации ускладнює її використання для оцінки ступеня залежності випадкових змінних.

Поряд з ковариацию для оцінки зв'язку між випадковими величинами використовується коефіцієнт кореляції.

Коефіцієнтом кореляції двох випадкових змінних називається відношення їх коваріації до твору стандартних помилок цих величин:

(3.13)

Коефіцієнт кореляції величина безрозмірна, область можливих значень якої є відрізок [+1; -1]. Для незалежних випадкових величин коефіцієнт кореляції дорівнює нулю, якщо ж , це свідчить про наявність лінійної функціональної залежності між змінними.

За аналогією з випадковими змінними для випадкового вектора так само вводяться кількісні характеристики. Таких характеристик дві:

1) вектор очікуваних значень компонент

(3.14)

тут - випадковий вектор; - математичні очікування компонент випадкового вектора;

2) ковариационная матриця

(3.15)

Коваріаційна матриця одночасно містить як інформацію про ступінь невизначеності компонент випадкового вектора, так і інформацію про ступінь взаємозв'язку кожної пари компонент вектора.

В економіці поняття випадкового вектора та його характеристики, зокрема, знайшли застосування при аналізі операцій на фондовому ринку. Відомий американський економіст Гаррі Марковіц запропонував наступний підхід. Нехай на фондовому ринку обертаються n ризикових активів . Прибутковість кожного активу за певний період часу є випадкова величина. Вводиться вектор доходностей і відповідний йому вектор очікуваних доходностей . Вектор очікуваних доходностей Марковець запропонував розглядати як показник привабливості того чи іншого активу, а елементи головної діагоналі ковариационной матриці - як величину ризику для кожного активу. Діагональні елементи відображають величини зв'язку відповідних пар доходностей, що входять в вектор . Параметрична модель фондового ринку Марковіца отримала вид

Ця модель покладена в основу теорії оптимального портфеля цінних паперів [1] .

ВЛАСТИВОСТІ ОПЕРАЦІЙ ОБЧИСЛЕННЯ КІЛЬКІСНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВИПАДКОВИХ ЗМІННИХ

Розглянемо основні властивості операцій обчислення кількісних характеристик випадкових змінних і випадкового вектора.

Операції обчислення математичного очікування:

1) якщо випадкова змінна х = с, де з - константа, то

2) якщо x і у - випадкові змінні, а і -довільний константи, то

3) якщо х і у незалежні випадкові змінні, то

Операції обчислення дисперсії:

1) якщо випадкова змінна х = с, де с - довільна константа, то

2) якщо x випадкова змінна, а з - довільна константа, то

3) якщо х випадкова змінна, а з - довільна константа, то

4) якщо х і y - випадкові змінні, а і - довільні константи, то

Зауваження. Якщо х і у суть незалежні випадкові змінні, то для них справедливо правило

У загальному випадку, якщо - випадковий вектор, а постійний вектор, то справедливо вираз

Операції обчислення ковариаций:

1) операція ковариации симетричні щодо аргументів:

2) якщо х і у - незалежні випадкові змінні, то

3) якщо х і у - випадкові змінні, а і - довільні константи, то

4) якщо х - випадкова змінна, а з - довільна константа, то

5) якщо х і у - випадкові змінні, а з - довільна константа, то

6) якщо х, у і z - випадкові змінні, то

  • [1] Markowits Н. Portfolio Selection // Journal of Finance, 1952. P. 7.
 
<<   ЗМІСТ   >>