ПЕНСІЙНА СХЕМА З ПОВЕРНЕННЯМ СПЛАЧЕНИХ ВНЕСКІВ У РАЗІ СМЕРТІ В ДОПЕНСІЙНОМУ ВІЦІ

У цьому випадку поряд з фондом, призначеним для здійснення пенсійних виплат, необхідно створити відповідний фонд для повернення сплачених внесків у разі смерті застрахованої до настання пенсійного віку. Розрахунки проведені в припущенні відсутності вичікувального періоду: х + k = р, де р - пенсійний вік.

У разі, коли повернення сплачених до моменту смерті внесків здійснюється в кінці страхового року, очікувана поточна вартість цього фонду на момент укладення договору страхування дорівнює:

(9.25)

де - величина щорічно сплачуються внесків;

- очікувана поточна вартість стандартного страхування на випадок смерті зі зростаючою страховою сумою, яка визначається формулою:

(9.26)

Стандартне зростаюче страхування життя означає щорічне зростання страхової суми на одиницю, в порівнянні з одиничною страховою сумою першого року страхування.

Величина нетто-внеску для одиничної щорічної пенсії визначається з умови рівності поточних вартостей внесків і виплат:

(9.27)

Ліва сторона рівняння (9.27) характеризує внески, права - виплати. У цьому договорі для страхувальника передбачена сплата внесків з розстрочкою в (р - .р) років, тому в лівій стороні рівняння присутній величина термінового ануїтету з періодом (р - х) років. Зобов'язання страховика формуються з двох доданків: перше враховує страхування на дожиття (ануїтет, відкладений на (р - х) років), друге - страхування на випадок смерті зі зростаючою страховою сумою при виплаті в кінці року.

Вирішуючи рівняння щодо , отримаємо:

(9.28)

На практиці договір страхування зазвичай передбачає виплати відразу після встановлення факту смерті застрахованого. Тому при обчисленні поточної вартості страхових виплат в актуарної математики використовуються множники:

• а) - якщо виплати здійснюються відразу після смерті;
• б) - якщо виплати відбуваються протягом періоду року смерті.

Для вирішення поставленого завдання необхідно також визначити очікувану кількість смертей протягом року. Інтерполяція таблиць смертності на інтервалі (η, п + 1) може бути здійснена в припущенні однієї з трьох гіпотез:

Лінійна інтерполяція. Якщо час життя Т х - будь-яке (необов'язково ціле) число в інтервалі ,

то його можна представити у вигляді

ціла частина, - дрібна частина віку, при 0 < t < 1.

Відповідно до гіпотези

що призводить до рівномірного розподілу моментів смерті всередині кожного річного вікового інтервалу. При цьому припущенні , р х є лінійною функцією.

Показова інтерполяція. Функція виживання s (x) на відрізку наближається показовою функцією

Цією інтерполяції відповідає припущення про постійної інтенсивності смертності між двома вузлами.

Умова Балдуччі (гіперболічність) передбачає інтерполяцію лінійними функціями

У разі, коли повернення внесків здійснюється безпосередньо після смерті страхувальника, очікувана поточна вартість цього фонду дорівнює величині, яка визначається формулою (9.25), помноженої на :

(9.29)

ПРИКЛАД 9.4

Визначте величину щорічного внеску пенсійного страхування для чоловіка 55 років за умови повернення внесків у разі смерті в допенсіоііом віці (вихід на пенсію в 60 років).

Рішення

У разі якщо повернення страхових внесків буде проводитися в кінці страхового року, величина нетто-внеску для одиничної щорічної пенсії буде обчислюватися по формулі

У нашому прикладі скористаємося даними таблиць комутаційних функцій П8,119 додатків. отримуємо:

У разі якщо повернення страхових внесків буде проводитися відразу після смерті, величина нетто-внеску для одиничної щорічної пенсії буде обчислюватися по формулі

де i - номінальна річна процентна ставка.

З огляду на, що i = 5%, отримуємо Р ~ = 1,98094.

Відповідь : величина щорічного внеску дорівнює 1,97864 (повернення внесків в кінці страхового року); 1,98094 (повернення внесків відразу після смерті).