Повна версія

Головна arrow Страхова справа arrow Актуарні розрахунки

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ОЦІНКА РЕЗЕРВУ І ОСНОВНИХ ДОГОВОРАХ СТРАХУВАННЯ ЖИТТЯ

Як уже зазначалося, в актуарної науці і страховій практиці існують два методи оцінки страхового резерву: перспективний і ретроспективний.

Слід звернути увагу на деякі відмінності даних методів. При ретроспективному методі резерв обчислюється як різниця між накопиченими разом з відсотками преміями і виробленими виплатами в розрахунку на кожного живого до моменту оцінки резервів. При перспективному методі різницю розглядається між поточними оцінками майбутніх виплат (зобов'язань, пасивів) і майбутніх надходжень (активів). Перестановка місць активів і пасивів при переході від одного методу до іншого природна. У початковому періоді надходження перевищують витрати, і їх різниця (позитивна) формує резерв. Цей резерв забезпечує можливість виплат страхових сум в майбутньому, коли річні надходження стануть менше природною премії. Тому майбутні зобов'язання більше майбутніх виплат на величину резерву.

Згідно з думкою більшості дослідників, застосування обох підходів призводить до однакових результатів за умови, що технічна база оцінки резервів (норма прибутковості і таблиці смертності) збігаються з тими, які застосовувалися при розрахунку нетто-премій. Тому методи розрахунку резервів за видами страхування, які будуть розглянуті в подальшому, і висновки по ним будуть показані на перспективному підході.

Термінове страхування життя (на n років)

Розрахуємо одноразову чисту премію (нетто ставку, оскільки мова піде про одиничної страхової суми): А.Ц, де х - вік застрахованого, ап - термін страхування. Якщо А.Ц - вартість страхового поліса, то сумарні премії страхової компанії складуть А.щ "1 х. Ця сума повинна забезпечити виплати страхових сум за всіма контрактами. До віку (.р + 1) (тобто до наступного року дії договору) доживуть лише /д.+1 осіб, а / ,. уклали контракт помруть, і по їх полісами буде виплачена сума d x (повторимося, що мова йде про одиничної страхової суми). Ще через рік залишаться в живих / г + 2 людина, а /,.+1 помруть, і виплати компанії складуть, відповідно, d x + i і т.д. Таким чином, щорічні виплати компанії будуть рівні d x , d x + l , ..., d U). А поточні вартості витрат на пальне складуть V • d x, V2 • d x + 1, ..., ν~ χ ~ ί • ά ω, і отже, поточна вартість виплат за всіма договорами буде дорівнює vd x + v 2 -d x + x + + ... + νω'Λ _1 d.

Рівняння балансу набуде вигляду:

звідки, множачи обидві частини рівняння на vr і враховуючи, що отримаємо: і отже

(8.167)

Якщо премії виплачуються щорічно на початку кожного року (пренумерандо), то послідовність їх виплат утворює донний страхової ануїтет (ренту):

де - величина щорічної нетто-ставки.

Таким чином, виконується рівність:

(8.168)

звідки

(8.169)

Щорічну нетто-ставку можна виразити через комутаційні функції, підставивши в (8.169) відповідні значення для і :

(8.170)

Припустимо, що через деякий час Г (0 <Т <п) після укладення договору застрахований ще живий, і обчислимо середні зобов'язання сторін. При цьому будемо вважати число Т цілим.

Страхова компанія зобов'язана виплатити одиничну суму в кінці року смерті застрахованого, якщо вона сталася до віку (х + п). У момент часу Т (вік

застрахованого (х + Т)) зобов'язання компанії полягає у виплаті одиничної суми за договором дискретного страхування життя людини на термін (п - Т) років. Тоді актуарна теперішня вартість цього зобов'язання в момент Т є , вона визначається аналогічно величиною (8.190) і дорівнює:

(8.171)

Страхувальник зобов'язаний щорічно виплачувати суму в кожну річницю укладення договору. Оскільки Т - ціле, то перша з решти виплат буде проведена в момент Т. Тому потік платежів після моменту Т являє собою строкову ренту пренумерандо з щорічним внеском . Таким чином, актуарна теперішня вартість в момент Т потоку платежів складе

Віднімаючи з актуарної теперішньої вартості зобов'язання страхової компанії актуарну сучасну вартість зобов'язань застрахованого, отримаємо величину nemmo- резерву на момент Г:

(8.172)

Підставляючи в (8.172) отримані раніше значення (8.171), (8.170), отримаємо вираз резерву через комутаційні функції:

(8.173)

яке в результаті перетворень набуває вигляду:

(8.174)

На початку (Г + 1) -го року (після сплати чергового річного внеску) величина резерву збільшується на суму внеску і стає рівною

Розглянемо більш детально динаміку величини резерву на кінець кожного страхового року протягом терміну дії договору. На першому етапі дії договору страхування життя (близько половини періоду) страхова премія вище

рівня виплат, приблизно в середині їх значення порівнюються, а в останні роки рівень виплат вище надходить річної премії, і накопичений раніше страховий резерв до кінця терміну страхування виявляється повністю витраченим. Такий характер зміни резерву обумовлений тим, що смертність застрахованих протягом терміну страхування зростає, а розмір внеску визначається її середнім рівнем. Оскільки в перші роки рівень смертності нижче середнього рівня, то річна премія перевищує виплати; в останні ж роки рівень смертності вищий за середній рівня, і річної премії недостатньо для страхових виплат - витрачається накопичений раніше резерв.

Слід зазначити, що таке зростання смертності з віком спостерігається протягом життя людини не завжди. У дитячому віці смертність зменшується з віком від 1 року приблизно до 10-12 років. Тому при страхуванні життя дітей на невеликий термін середній рівень смертності за термін страхування може виявитися нижче її рівня в перші роки, що призведе до перевищення виплат над внесками за відсутності накопиченого резерву, тобто до від'ємного значення резерву. У цьому випадку дефіцит коштів доведеться погашати за рахунок інших договорів. Альтернативою може служити застосування нестандартних методик розрахунку величини страхових внесків, що допускають нерівномірне надходження страхової премії: більше - в перші роки страхування і менше - в останні.

Проілюструємо модифікацію договору довічного страхування, коли період сплати внесків обмежений.

У цьому випадку вказується вік р, після досягнення якого поліс повинен бути повністю оплачений. Тоді тривалість періоду сплати премії становить t = p - х. Формула для страхового резерву в цьому випадку має вигляд:

де А х + Т - одноразова нетто-ставка для довічного страхування в момент Т.

При її розрахунку слід керуватися тими ж міркуваннями, що і при виведенні формули (8.167), її значення дорівнює:

довічне страхування

(8.175)

(8.176)

- величина щорічного нетго-внеску приймає вид:

(8.177)

де А х - одноразова нетто-ставка для договору довічного страхування для особи у віці х років, подібно (8.176) вона дорівнює:

(8.178)

Зауваження: оскільки, як уже говорилося, довічне страхування є окремим випадком термінового страхування життя, то А г є спрощенням більш складного позначення

З урахуванням (8.178) формулу (8.177) можна записати у вигляді:

(8.179)

Підставляючи значення (8.176), (8.179) в формулу (8.175), можна отримати значення резерву через комутаційні функції:

(8.180)

Таким чином, величина резерву в період сплати премій розраховується як різниця між поточною вартістю майбутніх виплат і поточною вартістю майбутніх надходжень премії. Але після сплати всіх внесків величина резерву стає рівною поточної вартості очікуваних страхових виплат.

Виплати страхової суми в момент смерті

У розглянутих раніше договорах ми виходили з умови, що страхова сума виплачується в кінці року смерті застрахованої особи. Такі види страхування відіграють винятково важливу, не тільки теоретичну, а й практичну роль. Перш за все, саме з дискретними видами страхування пов'язані різні довічні ренти. Крім того, проміжок часу між смертю і виплатою страхової суми може бути використаний страховою компанією для з'ясування обставин смерті застрахованого. Також при певних припущеннях щодо розподілу часу життя безперервні види страхування можуть бути представлені через відповідні дискретні види страхування.

Для того щоб зв'язати між собою безперервні і дискретні види страхування, ми повинні зробити припущення про розподіл моменту смерті всередині останнього року життя. Будемо вважати, що він розподілений рівномірно.

Розглянемо випадок виплати страхової суми в момент смерті на прикладі договору довічного страхування. Щорічна нетто-премія (одинична) по безперервному договором страхування життя дорівнює:

(8.181)

Зобов'язання страхової компанії в момент Т (число Г- ціле) полягають у виплаті одиничної суми в момент смерті людини у віці (.р + Т) років. Тому їх актуарну теперішню цінність в цей момент дорівнює

Застрахований зобов'язаний в_каждую річницю укладення договору сплачувати суму Р х. Потік премій після моменту Т являє собою попереджувальну довічну ренту з щорічним внеском Р (Ах). Отже, актуарна теперішня вартість в момент Т довічного потоку премій є

Різниця очікуваної теперішньої вартості зобов'язань страховика і очікуваної теперішньої вартості зобов'язань страхувальника дозволяє знайти величину нетто резерву в момент Т :

(8.182)

Тоді отриману формулу резерву безперервного страхування можна звести до резерву дискретного страхування:

(8.183)

де δ - безперервна ставка нарощення відсотків (сила росту), яка визначається формулою

(8.184)

Таким чином, г / δ є відношенням дискретної і безперервної ставок відсотків і грає роль поправочний коефіцієнт. З урахуванням (8.184) вираз (8.183) набуває вигляду:

(8.185)

Відповідно, при виплаті страхової суми безпосередньо після смерті значення резерву дискретного страхування в момент t потрібно помножити на величину:

Це правило також може застосовуватися при розрахунку резерву за договором безперервного страхування життя (на випадок смерті) на термін, а також змішаного страхування життя.

Зауваження: оскільки зазвичай технічна процентна ставка г є величиною порядку декількох відсотків, введений вище поправочний коефіцієнт г / δ дорівнює:

Тому на практиці часто використовують коефіцієнт (1 + г / 2). Для більшої точності ми здійснювали розрахунок резерву для безперервного страхування життя за формулою (8.185).

Договір страхування на дожиття

Розрахунок резервів із страхування на дожиття залежить від періоду сплати внесків.

1. Період сплати внесків дорівнює терміну страхування ( t = n).

Найбільш просто розраховується величина резерву при одноразової сплати страхового внеску. У цьому випадку величина страхового резерву для довільного моменту часу дорівнює очікуваної поточної вартості страхової суми на момент оцінки резерву (7). Для одиничної страхової суми величина страхового фонду на кінець 7-го полісного року дорівнюватиме:

(8.186)

Вона являє собою величину зобов'язань страхової компанії па кінець терміну страхування п (тобто одиничну суму, яка буде виплачена кожному застрахованому, дожівшему до віку 1 х + п ), дисконтированную на момент часу Т.

Тоді індивідуальний страховий резерв дорівнює:

(8.187)

У разі, коли страхові внески сплачуються щорічно (на початку року) протягом усього терміну дії договору, страховий резерв на кінець '/' - го року страхування (до сплати внеску за (Т + 1) -й рік) дорівнює різниці між поточною очікуваної вартістю виплат (8.187) і очікуваної поточної вартістю майбутніх внесків:

(8.188)

Другий доданок в правій частині формули (8.188) являє собою вартість ренти пренумерандо на термін (п - Т ) для страхувальника у віці (х + Т) з щорічними платежами величиною Р х .- " i.

Стосовно до договору страхування на дожиття щорічний платіж дорівнює:

(8.189)

Величина (інше позначення - ) являє собою одноразову чисту премію за договором страхування на дожиття. Проілюструємо її справедливість.

Нехай є 1 Х страхувальників віку .р. Якщо п - термін контракту, то за умовою кожен з тих, хто дожив до віку (х + п) отримає одиничну страхову суму. В середньому, до віку (х + п ), згідно з таблицями смертності, доживуть людина. Сумарні зобов'язання компанії в цьому випадку складуть суму 1 х + п. Але ця сума відноситься до моменту часу, що відстоїть від моменту укладення контракту на п років. Поточна вартість цих зобов'язань при обраної процентній ставці г буде дорівнює:

Так як число застрахованих одно , то отримаємо загальну величину премій:

Прирівнюючи суму зобов'язань і загальну величину премій, отримаємо балансове рівняння:

Звідки отримуємо:

(8.190)

Продовжимо аналіз формули (8.190). Помноживши чисельник і знаменник цієї формули на Vх, отримаємо вирази в символах комутаційних функцій:

(8.191)

Проаналізуємо знаменник формули (8.189) і висловимо його значення через комутаційні функції. Відзначимо, що велічінааг.- | є актуарна вартість "-Термінова ренти пренумерандо, тобто величина одноразової чистої премії, яку платить страхувальник для того, щоб страхова компанія могла забезпечити йому виплату на початку кожного року протягом п років за умови, що застрахований ще живий. Таким чином, якщо контракт укладається у віці х років на термін і років, то рента виплачується щорічно в х, х +1, ..., х + "-1 роки.

Сума премій, внесених групою з 1 Х осіб, дорівнює:

потік виплат одиничних сум, дисконтованих на відповідні періоди, має вигляд:

Тоді рівняння балансу набуде вигляду:

звідки

а оскільки

і

то

(8.192)

Тоді з урахуванням (8.191) і (8.192) можна уявити (8.189) у вигляді:

(8.193)

Керуючись міркуваннями, використаними при виведенні формул (8.191) і (8.192), можна отримати значення для і в термінах комутаційних функцій:

(8.194) і

(8.195)

Тоді формулу (8.188) для розрахунку резерву можна записати в наступному вигляді:

(8.196)

яка, після перетворень, набуває вигляду:

(8.197)

2. Період сплати внесків є меншою терміну страхування ( t <n ).

Аналогічно досліджується договір страхування на дожиття, коли період сплати внесків менше терміну страхування. Тоді розрахунок резерву проводиться але такою формулою:

(8.198)

де (8.199)

(8.200)

- щорічний платіж, період якого дорівнює V, - коефіцієнт розстрочки.

Тоді, використовуючи комутаційні функції, отримуємо:

(8.201)

Таким чином, якщо момент Т, на який визначається величина резерву, доводиться на період сплати премій, то резерв розраховується аналогічно (8.188), тобто як поточна вартість майбутніх виплат за вирахуванням поточної вартості майбутніх надходжень премії. Відповідно, після сплати всіх внесків резерв стає рівним поточної вартості очікуваних (майбутніх) страхових виплат (8.194).

Договір змішаного страхування життя

У разі щорічної сплати внесків резерв змішаного страхування життя в період Т набирає вигляду:

(8.202)

тобто, як сума резервів із страхування життя па випадок смерті на п років і страхування на дожиття на той же період.

Розкладаючи суму в правій частині рівняння і враховуючи (8.188) і (8.172), отримуємо:

(8.203)

або

(8.204)

Якщо підставити в формулу (8.202) відповідні значення для правої частини, а саме: (8.197) і (8.173), можна уявити значення резерву в символах комутаційних функцій:

(8.205)

яке можна представити у більш зручному для розрахунків вигляді:

(8.206)

Слід зазначити, що змішане страхування життя виконує важливу роль в страховій практиці, оскільки договори даного виду дозволяють збалансувати портфель страховика. Якщо в страховому портфелі спостерігається велика різниця в обсязі відповідальності страховика, а також за кількістю договорів страхування на дожиття і на випадок смерті, то договори змішаного страхування життя, забезпечуючи покриття як на випадок смерті, так і на випадок дожиття, врівноважують страховий портфель, усредняя розміри тарифних ставок і резервів за двома договорами. За рахунок цього зменшується загальна дисперсія, що відбивається на зниженні ризикової надбавки, і, як наслідок, на зниженні загальної вартості договору змішаного страхування.

У змішаному страхуванні життя за ризиками дожиття до закінчення терміну дії договору страхування і смерті протягом дії цього терміну страхові суми можуть бути різними: на випадок смерті покриття вище, ніж на дожиття. Виплата страхової суми може здійснюватися як негайно при настанні смерті або дожиття до закінчення терміну договору, гак і з відстрочкою. У разі відстрочки страховик виплачує капітал тільки через визначений договором термін незалежно від того, чи живий, чи помер застрахований.

 
<<   ЗМІСТ   >>