ДЕМОГРАФІЧНІ ОСНОВИ СТРАХУВАННЯ ЖИТТЯ І ПЕНСІЙ

В результаті вивчення глави 7 студент повинен:

знати

• • демографічні основи страхування життя і додаткової пенсії;
• • методи кількісної оцінки демографічних процесів;
• • теоретичні основи використання законів смертності при моделюванні кривої дожиття;

вміти

• • розраховувати ймовірності смерті і дожиття застрахованого до будь-якого віку;
• • визначати основні демографічні характеристики тривалості життя застрахованого з використанням таблиць смертності і функцій дожиття;
• • будувати криві дожиття;
• • змістовно інтерпретувати отримані результати;

володіти

• • теоретичними основами демографічного аналізу;
• • методами аналізу демографічних аспектів страхування життя і додаткової пенсії.

Дискретні характеристики тривалості життя. таблиці смертності

Основні показники таблиць смертності і їх взаємозв'язок

Таблиці смертності (дожиття) (life tables) - це система взаємопов'язаних показників, що характеризують процес доживання досліджуваної сукупності населення до певного віку в конкретних умовах місця і часу. Класична таблиця смертності складається з декількох статистичних рядів, які перебувають у певних співвідношеннях і залежностях.

Завдання аналізу таблиць смертності:

• • всебічно характеризувати смертність і порядок дожиття по всім віковим групам населення на конкретний момент часу;
• • давати порівняльну оцінку окремих таблиць, складених в різні періоди часу, зазвичай приурочених до років проведення переписів населення. При вирішенні цього завдання необхідно, щоб порівнювані таблиці дожиття були побудовані за однією і тією ж методикою;
• • виявляти закономірності зміни і ймовірності померти у віці х років (q x ) і ймовірності дожити до наступного віку (р х ) в окремих вікових групах населення обох статей, а також закономірності доживання до певного віку (/ ,.), окремо для чоловіків і жінок.

Традиційно для показників, що містяться в таблиці смертності, прийняті наступні позначення:

х - вік, років;

q x - імовірність для особи віку х померти у віці від х до (зг + 1) років (померти протягом року);

р х - ймовірність дожити від віку х років до (х + 1) років (прожити ще, принаймні, 1 рік);

d x - число вмираючих в віці від х до (.р + 1) років;

1 Х - число доживають до віку х повних років, тобто переживають свій х- й день народження (/ 0 - вихідна сукупність народжених);

L x - середнє число осіб, що живуть в інтервалі від х до (.р + 1) року;

е х - очікувана середня тривалість життя для особи віку х років.

Початкова чисельність сукупності - "корінь" (radix) таблиці смертності (/ 0) - є гіпотетичним числом і звичайно приймається рівної 100 000 чол. В основі розрахунків показників таблиць смертності знаходиться ймовірність померти в віці Л "років (q x ). Послідовність розташування показників, представлених в самій таблиці, відрізняється від порядку їх обчислення (додатки 9, 10). Зазвичай в першій графі таблиці смертності представлені числа доживають до віку х років (1 х ).

В демографічних і актуарних розрахунках становить інтерес не тільки величина q x, але і показник р х - ймовірність для осіб віку х років дожити до віку (х + 1) років.

Так як сума ймовірностей двох протилежних подій дорівнює 1, то

(7.1)

Для граничного віку ω приймається, що і

Величину р х можна отримати і безпосередньо з ряду / г Так як з 1 Х осіб доживає до віку (х + 1) років осіб, то

(7.2)

ПРИКЛАД 7.1

За даними таблиць смертності і очікуваної тривалості життя населення м Москви за 2009 р (додаток 10) для чоловіків і жінок 45 років визначте:

• а) ймовірність померти, не доживши до 46 років;
• б) ймовірність дожити до 46 років, використовуючи значення ймовірності померти в цьому віці (

Рішення

а) Для віку 45 років (х = 45) за таблицями смертності визначаємо значення <745:

для чоловіків <745 = 0,007496;

для жінок <У45 = 0,002620.

Таким чином, у віці 45 років вірогідність не дожити до 46 років для чоловіків в 2,86 рази вище в порівнянні з жінками.

б) Використовуючи формулу (7.1), визначимо ймовірність для 45-річних прожити ще принаймні один рік:

для чоловіків

для жінок

Відповідь : а) чоловіки: <У45 = 0,007496, жінки: q i5 = 0,002620; б) чоловіки: p i5 = 0,992504, жінки: Р45 = 0,99738.

Отримавши величини q x або можна обчислити число доживають до віку х років (1 Х ). Спочатку помноживши вихідну сукупність народжених (заздалегідь вибране гіпотетичне число) на р 0, ми отримаємо число тих, хто дожив до 1 року - / ,, і т.д.

Таким чином, число тих, хто дожив до віку (х + 1) років одно:

(7.3)

Імовірність дожити до віку (х + п ) років (особі віку х років прожити ще, принаймні, п років) визначається за формулою

де п - число років майбутнього життя.

ПРИКЛАД 7.2

За даними таблиць смертності і очікуваної тривалості життя населення м Москви за 2009 р (додаток 10) маємо:

Визначте для чоловіків і жінок 45 років:

• а) число доживають до віку 45 і 50 років з 100 000 новонароджених;
• б) ймовірність дожиття до 50 років;
• в) яке число людей в середньому з 1000 чоловік доживе до 50 років.

Рішення

а) За формулою (7.3) визначимо значення / Л. для х = 45 років і х = 50 років:

для чоловіків

для жінок

б) Використовуючи формулу (7.4), визначимо ймовірність в 45-річному віці (х = 45 років) прожити ще принаймні 5 років (п = 5), тобто дожити до 50 років.

для чоловіків

для жінок

в) Використовуючи значення ймовірностей дожити хоча б до 50 років для 45-річних чоловіків і жінок, отримані в пункті 6), визначаємо:

для чоловіків

для жінок

Відповідь : а) чоловіки:чол., Жінки:б) чоловіки:

жінки: ; в) чоловіки: 962 чол., жінки: 985 чол.

Наступний розрахунковий показник - число осіб віку х, вмираючих раніше досягнення віку (.р + 1) років (d x ). Він визначається як різниця числа доживають (/ ,.) до віку х років і числа осіб, які доживають до наступного року ((r + l) •

(7.5)

Для граничного віку w років справедливі такі рівності:

(7.6)

(7.7)

ставлення

(7.8)

можна розглядати як ймовірність для досягли віку х років померти протягом наступного року життя (не дожити до віку (х + 1) років).

З ряду /, можна отримати ряд d x, і навпаки, знаючи d x і / 0, можна відновити / г

Вірогідність померти протягом п років, тобто у віці від х років до (.р + п) років, визначається за формулою

(7.9)

де п - число років майбутнього життя; n d x - число осіб віку х, померлих протягом найближчих п років.

Імовірність того, що людина віку х років проживе принаймні ще п років, але не більше (і + т ) років (тобто помре між (х + т) і (х + т + п) роками) має вигляд:

(7.10)

ПРИКЛАД 7.3

За даними таблиць смертності і очікуваної тривалості життя населення м Москви за 2009 р (додаток 10) відомі наступні дані:

Визначте для чоловіків і жінок 45 років:

• а) середнє число вмираючих в віці від 45 до 46 років з 100 000 новонароджених;
• б) ймовірність померти в віці 45 років.

Рішення

а) За формулою (7.5) визначимо середнє число вмираючих в віці від 45 до 46 років (d x ) для віку .р = 45 років з 100 000 новонароджених:

для чоловіків

для жінок

б) За формулою (7.8) визначимо значення q x для віку х = 45 років:

для чоловіків

для жінок

Відповідь: а) чоловіки: d 45 = 667, жінки: d 45 = 250; б) чоловіки: q 45 = 0,0075, жінки: q 45 = 0,00262.

ПРИКЛАД 7.4

Необхідно довести справедливість рівності

Доведення

Виразимо вірогідність дожити і вмерти через числа доживають і вмираючих у відповідних вікових групах:

тоді

Що й потрібно було довести.

ПРИКЛАД 7.5

За даними таблиць смертності і очікуваної тривалості життя населення м Москви за 2009 р (додаток 10) відомі наступні дані:

Визначте для чоловіків і жінок 45 років:

• а) ймовірність померти протягом наступних 5 років;
• б) ймовірність померти між 50 і 52 роками.

Рішення

а) За умовою завдання х = 45, п = 5. За формулою (7.9) визначимо число померлих протягом 5 років - у віці від х = 45 до (х + п) = = 50 років:

для чоловіків чол .;

для жінок чол.

За формулою (7.9) визначимо ймовірність для чоловіків і жінок померти у віці від 45 років до 50 років:

для чоловіків

для жінок

б) Для розрахунку ймовірності померти для 45-річних у віці 50-52 роки за умовою задачі визначимо х = 45, п = 5, т = 2. Тоді за формулою (7.10):

для чоловіків

для жінок

Відповідь : а) чоловіки: 5 ^ 45 = 0,03742, жінки: 5 q i5 = 0,01419; б) чоловіки: 5 | 2 <? 45 = 0,02195, жінки: 5 ^ 45 = 0,00813.

ПРИКЛАД 7.6

Доведіть справедливість рівності пт з ! Х = ПРХ п + ТРХ.

Доведення

Уявімо для віку х років ймовірність померти в віці від (д: + п) до (д • + п + т) років у вигляді:

З курсу теорії ймовірностей ^[1] відомі формули:

тоді

або

Що й потрібно було довести.

ПРИКЛАД 7.7

Використовуючи дані таблиці смертності і очікуваної тривалості життя населення м Москви за 2009 р для чоловіків і жінок (додаток 10), перевірте справедливість рівності

за умови, що д '= 45, п = 5, т = 2.

Рішення

Використовуючи умови задачі доведемо справедливість рівності

За результатами рішення прикладів (7.2) і (7.5) відомі наступні значення показників:

Необхідно визначити значення показників ймовірності Ί ρ 45 і 7 q i5 для 45-річних чоловіків і жінок прожити ще не менше 7 років:

для чоловіків

для жінок

Тоді ймовірність померти для 45-річних протягом наступних 7 років:

для чоловіків

для жінок

Отримані значення підставимо в рівність:

для чоловіків

для жінок

Отримані різниці збігаються з результатами рішення прикладу 7.5.

Слід зазначити, що величина q x в таблицях смертності, що розглядається як ймовірність для сукупності осіб віку х померти, не доживши до віку (х + 1) років, визначається на підставі результатів спостереження і має лише формальний характер математичної ймовірності.

Визначаючи ймовірність для досягли х років померти, не доживши до (х + 1) років, некоректно застосовувати цю ймовірність до кожного спостережуваного індивіду даної сукупності. Для х-річної людини, що має діагноз смертельного захворювання, близька до q x = 1, але для цілком здорового ця ймовірність може наближатися до нуля. Таким чином, тут не дотримана основна властивість класичної ймовірності - рівно можливих випадків.

Необхідно, однак, мати на увазі, що статистика взагалі не стосується окремих індивідуумів або окремих слeчаев, але об'єднує окремі випадки в сукупності, як особливі об'єкти наукового вивчення. Величина q x може розглядатися як дійсна вірогідність для осіб даної сукупності х-річних померти протягом наступного року життя, так як присутня загальна ознака - вік.

• [1] Вентцель E. С. Указ. соч.