ФІНАНСОВІ РЕНТИ

Оцінювання серії платежів. поняття ренти

У фінансових розрахунках часто виникає завдання перерахунку сум для повернення в умовах зміни договору між сторонами за взаємною згодою - погашення кредиту і т.п.

ПРИКЛАД 6.6 ^[1]

Припустимо, що боржник зобов'язаний повернути два боргу: 1000 руб. через рік і 2000 руб. через три роки. Однак він хотів би повернути обидва боргу негайно, і його кредитори згодні піти на це. Яку суму він повинен виплатити в цій ситуації?

Нехай боржнику пропонують виплатити просто суму 1000 + + 2000 = 3000 руб. і припустимо, що протягом аналізованого проміжку часу банки дають г = 10% річних по вкладах. Якщо він просто помістить 3000 руб. в банк, то через рік буде мати 3300 руб., з яких він виплатить 1000 руб. першого боргу; залишилися 2300 руб. через рік перетворяться в 2530 руб., а ще через рік - в 2783 руб., з яких він виплатить 2000 руб. другого боргу і матиме залишок 783 руб.

Значить, виплачуючи негайно просту алгебраїчну суму боргів, боржник значно переплачує.

Маючи на увазі ці міркування, спробуємо визначити яку суму х він повинен повернути зараз, для того, щоб ця фінансова операція була справедливою.

Через рік сума х руб. перетвориться в, v (1 + г) руб., з яких він виплатить перший борг С, = 1000 руб. Залишок х ( 1 + i) - С, через два роки перетвориться в - З ', (1 + i) 2 руб., З яких ми виплатимо другий борг З 2 = 2000 руб.

Якщо залишок позитивний, то ця операція несправедлива по відношенню до боржника; якщо ж залишок від'ємний, то ця операція несправедлива але відношенню до кредиторів. Отже, сума х повинна визначатися з умови:

що дає

Суми є приведеними до справжнього моменту величинами боргів , які підлягають оплаті в задані моменти в майбутньому.

Отже, для того, щоб розглянута фінансова операція була справедливою, ми повинні спочатку привести обидва боргу на цей момент:

• 1000 руб. через рік зараз мають цінність 1000 (1 + i) -1 = = 909,09 руб .;
• 2000 руб. через три роки зараз мають цінність 2000 (1 + г) 3 = = 1502,63 руб.

Після цього ми можемо підрахувати сумарний борг; зараз він дорівнює 2411,72 руб. (909,09 + 1502,63). Саме цю суму боржник зобов'язаний повернути своїм кредиторам - це буде справедливе рішення проблеми.

Дійсно, якщо кредитори просто помістять цю суму в банк під 10% річних, то через рік вони будуть мати 2652,89 руб. (2411,72 • 1,10). За вирахуванням 1000 руб. в рахунок погашення першого боргу залишається 1652,89 руб., які через два роки перетворяться в 2000 руб. (1652,89'1,10), що точно дозволить погасити і другий борг.

Розглянутий приклад показує, що якщо ми хочемо оцінити серію виплат, які повинні бути зроблені в різні моменти часу, то всі ці виплати повинні бути приведені до деякого фінансового моменту ί0 = 0, після чого їх можна складати, порівнювати і т.д.

З точки зору додатків до страхування і пенсійних схем найбільш важливою є задача визначення сучасної вартості а серії з п виплат величиною відповідно, які будуть зроблені в деякі моменти в майбутньому. Величина а може розглядатися, наприклад, як сума, яку людина повинна внести в пенсійний фонд в момент укладення договору (цей момент зазвичай приймають за початковий) з тим, щоб в майбутньому, в моменти , отримувати пенсію величиною . Це означає, що

(6.16)

Якщо величина а буде розрахована за цією формулою, то до моменту ми будемо мати у своєму розпорядженні накопиченою сумою

Це дозволить в момент t x виплатити першу пенсію величиною Ь х. Залишок

до моменту t), тобто через час t 2 - t x зросте до

Це дозволить в момент t 2 виплатити другу пенсію величиною Ь 2 і т.д. Після виплати (п - 1) -й пенсії в момент t " _ t ми будемо мати капітал . До моменту £ ", тобто через час t n - t " л після моменту t n _ x, ця сума виросте до Ь п, що дозволить нам успішно виплатити і останню пенсію. Частина, що залишилася після цього сума буде дорівнює нулю, що означає справедливість розрахунку але формулою (6.16) по відношенню до людини, який купив в момент ί0 = О пенсію.

Вище розглянуто ситуацію, коли плата за пенсії проводилася у вигляді разового внеску в момент укладення договору. Однак часто ця плата здійснюється у вигляді декількох ( k ) платежів (періодичні премії) величиною з х, ..., з до зроблених в моменти х1; ..., х к. Справедливе співвідношення між внесками с, і пенсійними виплатами / ?, • дається формулою

(6.17)

Ліва частина формули (6.17) виражає сучасну цінність всіх внесків до пенсійного фонду або страхову компанію, а права - сучасну вартість всіх пенсійних виплат страхувальнику.

Крім того, обгрунтування формули (6.17) можна отримати наступним чином.

Розглянемо послідовність моментів часу 1, Т 2, ..., Т п + к в які відбувається рух грошових потоків - здійснюється внесок до пенсійного фонду або виплата пенсії. Іншими словами, об'єднаємо послідовності t x, ί2, ..., ί "і τ1; τ2, ..., χ " в одну. Позначимо і; величину платежу з фонду в момент Т г Це означає, що якщо момент Т) є деяким моментом ф коли виплачувалася пенсія ф, то Uj = bf, якщо ж 7} є деяким моментом τ; •, коли вносився внесок С; в фонд, то Uj = -Су З урахуванням цих позначень рівняння (6.17) можна переписати у вигляді

(6.18)

що повністю відповідає рівнянню (6.16). Міркування, проведені при обгрунтуванні рівняння (6.16), як неважко бачити, застосовні і в разі, коли деякі з величин bj негативні (в цьому випадку ми розглядаємо їх як внески до фонду та зміна капіталу в момент t , • від величини b, + b i + l у *! + 1_й + ... до величини όί + 1 v'ci- '; + ... насправді означає його збільшення). Тому рівняння (6.18) виражає той факт, що остаточний баланс з даного рахунку буде нульовим. В деякі моменти можливий тимчасовий негативний баланс; на цих проміжках борг клієнта зростає відповідно до формули складних відсотків і гаситься майбутніми збільшеними внесками. Якщо ж виплати пенсій починаються тільки після виплати всіх внесків, то ця ситуація неможлива.

Описана вище загальна модель детермінованої пенсійної схеми на практиці зазвичай не застосовується. Реально використовуються схеми, що володіють тією або іншою формою регулярності як за величиною внесків і виплат, так і за моментами здійснення цих платежів. Особливо важливим є випадок серії платежів фіксованої величини, які виробляються через рівні проміжки часу фіксоване число разів. Такі серії платежів зазвичай називають постійними рентами (аннуітетами) {level annuity). У позначеннях моделі (6.16) постійна рента може бути визначена наступним чином:

Ще один важливий випадок - це зростаючі ренти ( increasing annuity), коли

• [1] Прообраз завдання див .: Фалін Г.І. Указ. соч.