НАКОПИЧЕННЯ. ІНТЕНСИВНІСТЬ ВІДСОТКІВ

Виберемо деякий проміжок часу в якості одиничного (як правило, це один рік) і припустимо, що процентна ставка за цей проміжок дорівнює р Припустимо, що в момент З 0 = 0 сума З інвестується на п одиниць часу. Принцип складних відсотків означає, що в момент ( ) капітал З перетвориться в суму

(6.1)

Розглянемо тепер питання про те, як справедливим чином визначити дохід на капітал, який інвестований на час п / р.

Позначимо ефективну процентну ставку для проміжку 1 / р через г'б '). Оскільки на одиничний інтервал можна дивитися як пар послідовних відрізків довжиною 1 / р кожен, застосовуючи формулу (6.1) ми отримаємо, що

і тому

(6.2)

Розглядаючи відрізок як п послідовних відрізків довжиною кожен і застосовуючи формули (6.1) і (6.2), ми отримаємо для суми C (t), накопиченої до моменту t = п / р, такий вираз:

Припускаючи безперервність функції C (t), ми отримаємо, що формула

(6.3)

вірна для будь-якого дійсного числа .

Формула (6.3) описує процес накопичення коштів в ситуації, коли прийнятий принцип складних відсотків, і є однією з основних формул фінансової математики.

З формули (6.3) випливає, що відносна швидкість накопичення коштів задається формулою

Відповідно, миттєва відносна швидкість накопичення є (згідно слідству з 2-го чудового краю):

(6.4)

Величина 5 в фінансовій математиці називається інтенсивністю відсотків (force of interest).

оскільки

(6.5)

формулу (6.3) для накопичень за час t можна переписати у вигляді:

(6.6)

У загальному випадку, коли умова не виконується, інтенсивність відсотків і накопичення капіталу пов'язані між собою співвідношеннями:

Таким чином, накопичення суми С, яку треба буде виплатити через час t складе:

Позначимо через відношення величини вкладу в момент t 2 до величини вкладу в момент ί, • Цю величину називають коефіцієнтом накопичення за проміжок часу .

Оскільки (за визначенням) вірно рівність

ПРИКЛАД 6.1 ^[1]

Банк нараховує відсотки за вкладами, використовуючи коефіцієнти накопичення, засновані на змінною інтенсивністю відсотків. 1 липня 1983 р клієнт поклав £ 50 000 в банк. Станом на 1 липня 1985 року його внесок виріс до £ 59 102. Припускаючи, що інтенсивність відсотків була лінійною функцією часу протягом усього періоду з 1 липня 1983 по 1 липня 1985 року знайдіть інтенсивність відсотків 1 липня 1984 р

Рішення

Приймемо 1 липня 1983 р якості початкового моменту часу, а один рік - в якості одиниці вимірювання часу. Тоді 1 липня 1985 року - це момент t = 2, а 1 липня 1984 року - момент t = 1.

Оскільки (за умовою) δ (ί) - лінійна функція від t, вона дається формулою

де а і h - деякі параметри.

Тоді для коефіцієнта накопичення за проміжок (0, t ) маємо:

Відомо, що / 1 (0, 2) = 59 102/50 000 = 1,18204.

З іншого боку, з отриманої вище формули для / 1 (0, t) слід, що .

Нас цікавить Сума фігурує в вищенаведеної формулі для / 1 (0, 2), звідки її легко знайти:

Значить, інтенсивність відсотків на 1 липня 1984 р дорівнює 8 (1) = 0,083621.

• [1] McCutcheon J .. J ., Scott WF An Introduction to the Mathematics of Finance. Buttenvorth-Heinemann, 1986.