Повна версія

Головна arrow Страхова справа arrow Актуарні розрахунки

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

МОДЕЛЮВАННЯ РОЗМІРУ ЗБИТКУ В ОДНОМУ ДОГОВОРІ СТРАХУВАННЯ В КОЛЕКТИВНОЇ МОДЕЛІ

Колективна модель передбачає, що протягом часу, коли зовнішні фактори (зокрема, інфляція) змінюються незначно, випадкові значення розміру збитку в окремому страховому випадку в розглянутому портфелі незалежні і однаково розподілені. Якщо припущення незалежності визнається виконаним, то припущення про однаковий розподіл здається нереалістичним вже хоча б в світлі відмінності страхових сум. Але, оскільки в колективної моделі збитки не зіставляються окремими ризиками, а розглядаються в сукупності на певному часовому проміжку, можна вважати, що вони являють собою вибірку з одного-єдиного розподілу, а саме суміші з різних розподілів окремих збитків.

Звичайно, кожному виду страхування і кожному портфелю відповідає своє (змішане) розподіл збитків, залежне, зокрема, від розмірів страхових сум по окремих ризиках, а також від страхуються подій. Так, середній збиток від пожежі на промисловому підприємстві значно вище, ніж від пожежі в житловому будинку; обидва відрізняються від середніх збитків в страхуванні автоцивільної відповідальності та страхування каско, в свою чергу розрізняються між собою. Але, як показує практика, структури збитків у всіх видах страхування дуже схожі. Зазвичай спостерігається набагато більше дрібних збитків, ніж великих. Строго кажучи, "концентрація збитків" зі збільшенням розміру збитку все сильніше зменшується (буває, зовсім дрібні збитки теж нечисленні, але з економічної точки зору вони не мають великого значення) [1] . Правда, кількісне співвідношення великих і дрібних збитків, так само як і (в будь-якому випадку неточна) межа між великими і дрібними збитками у різних видів страхування різні.

Для багатьох практичних завдань найбільш важлива адекватність моделі розподілу розміру збитку в області великих збитків. У наших інтересах якомога точніше описати шуканим розподілом розміру збитку великі збитки. Правда, ця найважливіша з економічної точки зору частина розподілів практично завжди представлена занадто малою кількістю спостережень. Коректність моделювання розміру збитку в окремому страховому випадку найчастіше залежить від правильності вибору підходящого розподілу.

Перерахуємо типові вимоги до сімейств розподілів.

  • 1. Модель повинна адекватно описувати сукупне розподіл. Звідси, зокрема, випливає, що розподіл не повинна допускати негативних розмірів збитку.
  • 2. Модель не повинна бути занадто складною; бажано, щоб вона містила невелику кількість параметрів.
  • 3. Модель повинна відповідати структурі збитків.

Найбільш широко використовуються на практиці безперервні закони розподілу, що застосовуються для апроксимації розподілу розміру збитку в окремому страховому випадку:

  • • логнормальний розподіл;
  • • логаріфміровать логістичне розподіл;
  • • логаріфміровать розподіл Лапласа;
  • • розподіл Парето з нульовою точкою.

Тепер розглянемо розподілу, застосовні для моделювання розміру збитку.

Логнормальний розподіл прекрасно підходить в якості моделі для розміру збитку в окремому страховому випадку. Властивості логнормального розподілу детально розібрані в підрозділі 3.2.4.

логістичне розподіл

Менш відоме, але схоже з нормальним, логістичне розподіл має щільність:

де μ - математичне очікування збитку; - дисперсія.

Функція розподілу логістичного розподілу:

В результаті перетворення отримаємо функцію розподілу:

де b = ev - скалярний параметр; .

Щільність логаріфміровать логістичного розподілу задається формулою

розподіл Лапласа

Симетричною і певної для всіх дійсних аргументів щільністю володіє також розподіл Лапласа з функцією щільності розподілу:

що складається з двох симетричних відносно μ експоненційних розподілів.

Функція розподілу Лапласа має вигляд:

Після перетворення отримуємо логаріфміровать розподіл Лапласа ( ):

права частина якого після нормування відома як розподіл Парето .

Щільність логаріфміровать розподілу Лапласа визначається формулою

Зауважимо, що ділянки малих і середніх збитків недостатньо точно апроксимуються цим розподілом, зате в області великих збитків модель прийнятна і навіть трохи переоцінює частоти.

розподіл Парето

Менш відповідну ліву частину (.р < Ь) логаріфміровать розподілу Лапласа можна замінити розподілом, прийнятним для опису дрібних збитків, наприклад, гамма-або зворотним гауссовским розподілами. Найпростіший спосіб задати розподіл Парето на інтервалі (0; h) - змістити його вліво на величину Ь. Тоді розподіл Парето з функцією розподілу:

перетворюється в розподіл Парето з нульовою точкою з функцією розподілу:

У деяких видах страхування розподіл Парето з нульовою точкою має тенденцію трохи переоцінювати частоту найбільших збитків. У таких випадках можна замінити перетворення х = ЄУ на більш "слабке" перетворення х = у ', t > 1. Тоді з незміщеної експоненціального розподілу з функцією розподілу F (y) = 1 - е ~ № виходить розподіл Вейбулла .

Його щільність задається функцією

  • [1] Мак Т. Указ. соч.
 
<<   ЗМІСТ   >>