ЗМІШАНІ ПУАССОНОВСКИМ РОЗПОДІЛУ ДЛЯ МОДЕЛЮВАННЯ ЧИСЛА СТРАХОВИХ ВИПАДКІВ

На практиці параметр пуассоновским розподілу λ виявляється часто непостійним з наступних причин:

• • відмінність параметрів пуассоновского розподілу у різних страхувальників при моделюванні кількості випадків в індивідуальних моделях;
• • відмінність параметра для різних років в портфелі з однаковими ризиками в разі колективної моделі (погодні умови, економічна кон'юнктура і ін.) (Наприклад, при страхуванні автомобіля від аварії інтенсивність залежить від кількості днів з поганою погодою і не є константою).

В цьому випадку виникає проблема введення додаткової випадкової величини , що відповідає за зміну параметра λ і відбиває неоднорідність портфеля (в першому випадку) або служить для моделювання щорічно мінливих зовнішніх впливів в однорідному портфелі колективної моделі (у другому випадку).

незалежні однаково розподілені випадкові величини, що характеризують індивідуальність страхувальника в першому випадку і "якість року" в другому. Розподіл називається змішує розподілом і виступає мірою неоднорідності портфеля.

Жан Лемер (Jean Lemaire ) ^[1] , Томас Мак ( Thomas Mack ) ^[2] пропонують для обліку різнорідності страхувальників використовувати якусь функцію, звану структурну функцією і (Х), яка призводить до так званого змішаного (складеному, складного) пуассонівського розподілу ( compound Poisson distribution).

Отже, припустимо, що розподіл числа страхових випадків на рахунку кожного застрахованого має пуассоновским розподіл:

Причому кожен страхувальник характеризується своїм значенням λ, що дозволяє врахувати неоднорідність ризиків.

Дискретна випадкова величина К має змішаний закон розподілу Пуассона , якщо вона приймає значення з параметром-функцією з можливостями:

(3.19)

де - щільність розподілу випадкової величини (структурна функція).

На практиці робиться певне припущення про вид змішуючого розподілу, тобто розподілу випадкової величини

Як структурної або змішує функції можна вибирати різні функції. Найбільш поширені в якості змішуючого розподілу і призводять до адекватним результатами:

• - гамма-розподіл;
• - зворотне гауссовское розподіл.

Змішане пуассоновским / гамма-розподіл

Як моделює параметр Пуассона функції в актуарних розрахунках часто використовується гамма-розподіл з параметрами а і b :

де - гамма-функція Ейлера, ,

- натуральне число.

Його числові характеристики:

Саме гамма-розподіл добре описує ситуацію, коли значення λ коливаються навколо деякої величини, при тому, що як дуже маленькі, так і дуже великі значення λ хоч і можливі, але малоймовірні ^[3] .

Розподіл числа страхових випадків в портфелі ( р до, } тоді приводиться до наступного вигляду:

Якщо а - ціле, то, з огляду на, що :

Таким чином, ми прийшли до негативної біноміальної моделі виду (3.16):

з параметрами і числовими характеристиками:

Обчислення ймовірностей негативного біноміального розподілу не вимагає таблиці значень гамма-функції. Послідовне використання властивості дозволяє перейти до рекуррентной формулою:

(3.20)

при початковому значенні

(3.21)

Оцінки параметрів розподілу за вибіркою з використанням методу моментів здійснюються за формулами:

(3.22)

ПРИКЛАД 3.7 ^[4]

Відомо що:

• 1) число страхових випадків До має розподіл Пуассона з середнім Л;
• 2) Л має гамма-розподіл із середнім 1 і дисперсією 2. Визначте ймовірність того, що До = 1 (в договорі відбудеться 1 страховий випадок).

Варіанти відповідей: а) 0,19; б) 0,24; в) 0,31; г) 0,34; д) 0,37. Рішення

За умовою завдання зрозуміло, що випадкова величина К має змішане пуассоновским / гамма-розподіл, яке наводиться до негативного біноміальному розподілу виду (3.16):

з параметрами:

де а і b - параметри гамма-розподілу, які пов'язані з його математичним очікуванням і дисперсією формулами виду:

За умовою

Звідси параметри гамма-розподілу:

тоді

Тепер, користуючись формулою негативного біноміального розподілу, можна знайти шукану ймовірність:

Отже, правильний варіант відповіді - а).

ПРИКЛАД 3.8 ^[5]

Досліджуємо портфель, що складається з п = 2512 договорів але страхуванню автокаско. За рік надійшли позови по т = 888 договорами в зв'язку зі страховими випадками. Число страхових випадків Кk, що сталися за одним договором, варіювалося в досліджуваному портфелі від 0 до 10 (див. Таблицю).

Необхідно перевірити, чи підходить змішане пуассоновским / гамма-розподіл (від'ємний біноміальний) для моделювання розподілу числа страхових випадків в даному портфелі автокаско.

Рішення

Знайдемо вибіркові оцінки параметрів розподілу числа страхових випадків в одному договорі (середнє значення):

і вибіркову дисперсію

Розрахункова таблиця має такий вигляд:

Розрахунок вибіркових оцінок параметрів розподілу числа страхових випадків в одному договорі

Отже, за результатами розрахунку оцінок параметрів розподілу випадкової величини К - числа страхових випадків в одному договорі, отримуємо:

• - вибіркова середня:
• - в одному договорі по портфелю відбувається протягом року в середньому 0,658 страхових випадків;
• - вибіркова дисперсія:

Перевірка даного емпіричного розподілу на закон Пуассона дала серйозна розбіжність між емпіричними і теоретичними частотами і = 7,815. Таким чином, в розглянутому прикладі пуассоновским розподіл не може служити адекватною моделлю, емпіричне розподіл має довгий правий хвіст - до 10 страхових випадків, потрібно пробувати змішані пуассоновским розподілу. Отже, розрахуємо змішане пуассоновским / гамма-розподіл.

З урахуванням знайдених вибіркових характеристик, середнього і вибіркової дисперсії обчислимо оцінки параметрів гамма-розподілу по (3.22):

Користуючись рекуррентной формулою (3.20) і формулою для розрахунку ймовірності нульових виплат (3.21), розраховуємо теоретичні частоти, результати представимо в таблиці.

Розрахунок розподілу числа позовів в портфелі договорів автокаско за допомогою негативного біноміального розподілу (змішаного пуассоновского / гамма-розподілу)

Далі, відповідно до вимог критерію згоди Пірсона об'єднання інтервалів з малими теоретичними частотами, меншими 5, спостереження об'єднувалися в групи, і обчислювалося значення% 211а6л.

Порівняння х? І6л = 0,806 і χ £ ριιτ (а = 0,05; v = 9 - 2 - 1 = 6) = = 12,592 показало, що x, laft; l <χ ^ ριιτ, тому перевіряється гіпотеза не відкидається, т . Е. негативна Біноміальна модель визнається адекватною і досить точно відображає розподіл числа надійшли позовів. Негативна Біноміальна модель, прийнята на такому рівні надійності, може бути використана для проведення актуарних розрахунків.

Отримані результати і узгодженість емпіричного і негативного біноміального розподілу наочно проілюстровані графіком (рис. 3.5).

У роботах Жана Лемера, Томаса Мака, І. А. Корнілова та інших вчених наголошується успішне застосування негативного біноміального розподілу в підгонці числа страхових випадків для неоднорідних портфелів. Наведемо приклад (короткі резуль-

Вибіркове і теоретичне від'ємний біноміальний розподілу числа страхових випадків і розрахунок статистики критерію згоди Пірсона

тети розрахунків) ще більш неоднорідного портфеля з набагато більш довгим правим хвостом.

Мал. 3.5. Моделювання числа позовів за видом страхування автокаско за допомогою негативного біноміального розподілу

ПРИКЛАД 3.9

За страховим портфелем добровільного медичного страхування, розподіл числа страхових випадків в якому було наведено як приклад на рис. 3.4, в кількості п = 44 114 договорів були розраховані вибіркові оцінки параметрів моделі з використанням методу моментів за формулами (3.22):

Результати розрахунку теоретичних частот змішаного пуассоновского / гамма-розподілу і їх порівняння з емпіричними частотами, які спостерігаються по портфелю, наведені в таблиці і на рис. 3.6.

У моделі (а = 0,05; v = 14) = 23,685.

Отже, перевіряється гіпотеза не відкидається на рівні значущості а = 0,05, і негативна Біноміальна модель визнається адекватною для апроксимації розподілу врегульованих збитків при моделюванні числа страхових виплат в портфелі ризиків за договорами медичного страхування (ДМС).

Таблиця і рис. 3.6 наочно демонструють відмінну узгодженість досліджуваної випадкової величини числа страхових випадків з теоретичним змішаним пуассоновским / гамма-розподілом.

Змішане пуассоновским / зворотне гауссовское розподіл

Тепер вивчимо інший варіант змішаного пуассоновского розподілу, який часто висувається як альтернатива негативному біноміальному розподілу в актуарних розрахунках ^[6] - пуассоновским / зворотне гауссовское розподіл.

Отже, ще один поширений варіант змішаного закону Пуассона :

Емпіричні ( т до ) і теоретичні (т кТ ) частоти змішаного пуассоновского / гамма-розподілу і перевірка їх згоди критерієм Пірсона

Мал. 3.6. Емпіричні та теоретичні (згідно негативного біноміальному розподілу) частоти портфеля договорів ДМС

- використання для величини як структурної або змішує функції щільності ймовірностей зворотного гауссовского розподілу з параметрами g і h.

Тоді виходить змішане пуассоновским розподіл, яке називається пуассоновским / зворотним гауссовским розподілом з числовими характеристиками:

Вибірковими оцінками для параметрів розподілу g і h за методом моментів є:

(3.23)

Ймовірності пуассоновского / зворотного гауссовского розподілу можуть бути обчислені рекуррентно:

(3.24)

Потім розраховуються теоретичні частоти і за допомогою критерію згоди перевіряється адекватність моделі досліджуваного портфелю.

ПРИКЛАД 3.10

За даними прикладу 3.8 знайдемо вибіркові оцінки для параметрів зворотного гауссовского розподілу g і h за методом моментів (3.23): g = 0,658; h = 1,126.

Розрахуємо по рекурентним формулами (3.24) ймовірності зворотного гауссовского розподілу. Результати наведемо в таблиці.

Розрахунок моделі розподілу числа позовів в портфелі договорів автокаско за допомогою змішаного пуассоновского / зворотного гауссовского розподілу

Надалі, за аналогією з попередніми розподілами, спостереження з теоретичними частотами, меншими 5, об'єднувалися в групи, і обчислювалося значення у /, айл.

Розрахунок статистики критерію згоди Пірсона для змішаного пуассоновского / зворотного гауссовского розподілу числа страхових випадків

Порівняння у211айл = 19,308 і χ2κρΗΤ (а = 0,05; v = 9- 2- 1 = 6) = = 12,592 показало, що χ2π; ι6ι> χ2 ит, тому перевіряється гіпотеза відкидається, тобто зворотне гауссовское розподіл визнається неадекватною моделлю і недостатньо точно відображає розподіл числа надійшли позовів. Хоча але значенням статистики критерію згоди х2іаб, = 19,308 видно, що воно не набагато перевищує критичне значення, і досліджуване розподіл можна поставити на друге місце в апроксимації досліджуваного розподілу після негативної біноміальної моделі.

ПРИКЛАД 3.11

В іншому дослідженому портфелі страхування автокаско найкращим виявилося якраз змішане пуассоновским / зворотне гауссовское розподіл.

Коротко наведемо лише основні отримані результати. Емпіричне розподіл, отримане за допомогою ЗВЕДЕНОЇ ТАБЛИЦІ в Excel, представлено в таблиці.

За вибірковими характеристиками, отриманими по портфелю, були знайдені оцінки параметрів (3.23):

Далі за формулою (3.24) розраховані теоретичні ймовірності, а потім - частоти.

Розрахунок розподілу числа позовів в портфелі договорів автокаско для змішаного пуассоновского / зворотного гауссовского розподілу

Далі, як це було зроблено в попередніх прикладах, перевіримо відповідність моделі за допомогою критерію Пірсона. Виконаємо угруповання і об'єднаємо 10-й, 11-й і 12-й інтервати так, щоб значення теоретичної частоти сумарне було більше або дорівнює 5. Результати перевірки гіпотези про відповідність отриманого теоретичного розподілу емпіричному.

Вибіркове і теоретичне зворотне гауссовское розподіл числа страхових випадків і розрахунок статистики критерію згоди Пірсона

де 11 - число інтервалів (після об'єднання правого хвоста з малими частотами); 2 - кількість оцінюваних по вибірці параметрів.

Як показав критерій згоди, гіпотеза про те, що розподіл числа страхових випадків підпорядковується зворотному гауссовскому розподілу, не відкидається. Отже, дане розподіл адекватно відображає емпіричний розподіл, що підтверджує графік (рис. 3.7).

Модель "хороші / погані ризики" Лемера

Жан Лемер, професор Університету Пенсільванії, відомий бельгійський актуарій, один з найбільших дослідників в європейському автомобільному страхуванні, запропонував для розрахунку кількості позовів ще одну модель, яка відноситься до змішаним пуассоновским розподілів - модель "хороші / погані ризики" ^[7] . У цій моделі, розробленої для апроксимації кількості позовів в портфелі договорів автострахування, передбачається, що існує дві категорії водіїв з різним рівнем аварійності - "хороші" (для моделювання яких вводиться пуассоновским розподіл з параметром λ1) і " погані "

Мал. 3.7. Моделювання числа позовів за видом страхування автокаско за допомогою змішаного пуассоновского / зворотного гауссовского розподілу

водії (характеризуються значенням параметра λ2). Змішує розподіл Л тут - двухточечное дискретне. Оцінки теоретичних ймовірностей розраховуються за допомогою формули

(3.25)

де

Оцінки параметрів розподілу за методом моментів розраховуються за такими формулами ^[3] :

(3.26)

(3.27)

де - початкові вибіркові моменти 1-го, 2-го і 3-го відповідно порядку випадкової величини К - числа страхових випадків, які настали за рік в одному договорі.

Далі розраховуються теоретичні частоти і за допомогою критерію згоди перевіряються на узгодженість з емпіричними.

ПРИКЛАД 3.12

Проаналізуємо реальний портфель договорів страхування ОСАЦВ однієї з великих московських страхових компаній.

Згрупувавши всі договори по числу наступили за рік страхових випадків, отримаємо наступне емпіричне розподіл числа позовів:

Вибіркове розподіл числа надійшли позовів До за договорами страхування ОСАЦВ

Для нашого портфеля з 111 500 договорів розраховані такі оцінки параметрів розподілу по (3.26) і (3.27):

Розраховані вибіркові оцінки параметрів розподілу моделі "хороші / погані ризики"

Отримані результати свідчать про те, що частка "хороших" водіїв в портфелі становить близько 91,85% і в середньому вони потрапляють в 0,02 аварії в рік. Решта 8,15% - "погані" водії, у них частота страхового випадку становить 0,42 аварії в рік.

Для проведення подальшого аналізу слід обчислити теоретичні ймовірності і частоти, підставляючи знайдені параметри в закон розподілу Лемера (3.25):

У таблиці представлені теоретичні ймовірності і частоти, розраховані за отриманою формулою аппроксимирующего закону: Слід зауважити, що частка "хороших" водіїв набагато більше, ніж "поганих", що робить вибір моделі Лемера цілком

адекватним. Крім того, ймовірність аварії в цілому по портфелю досить мала.

Як можна зробити висновок з розглянутої таблиці і рис. 3.8, модель Лемера дуже точно відображає розподіл страхових випадків в одному договорі, так як розбіжність в теоретичних і емпіричних частотах мінімально.

Перевіримо цей аргумент за допомогою критерію Пірсона. Отже, (нагадаємо, що за вибіркою оцінювалося три параметра розподілу на відміну від всіх попередніх моделей). Гіпотеза не відкидається, а модель "хороших і поганих ризиків" Лемера визнається адекватною для апроксимації розподілу числа страхових слу-

Мал. 3 .8. Моделювання числа позовів за видом страхування ОСАЦВ за допомогою моделі Лемера "хороші / погані ризики"

чаїв в портфелі ОСАГО. Таке рідкісне згоду між емпіричними і теоретичними частотами нагадує, що модель була розроблена Лемером саме для страхування автоцивільної відповідальності власників транспортних засобів, і портфель страхування ОСАЦВ російської страхової компанії виявився теж відповідним цим розподілом.

Представлена модель "хороші / погані ризики" може бути використана для апроксимації розподілу числа врегульованих збитків у багатьох інших видах страхування, де страхувальників також можна розділити на групи з різною ймовірністю настання страхового випадку.

ПРИКЛАД 3.13

За даними прикладів 3.8 і 3.10 розрахуємо модель Лемера.

Для досліджуваного портфеля договорів страхування автокаско розраховані такі оцінки параметрів розподілу.

Отримані оцінки можуть бути інтерпретовані таким чином: у розглянутий портфель договорів потрапило 87,81% (β]) "хороших" водіїв, частота страхових випадків яких становить 0,33 аварії в рік (λ,), і 12,19% "поганих" водіїв, які в рік роблять в середньому 2,97 аварії.

Таким чином, ймовірно змішаного пуассоновского розподілу моделі "хороші ризики / погані ризики", аппроксимирующего розподіл числа позовів в досліджуваному портфелі, будемо розраховувати за такою формулою:

Результати розрахунків наведені в таблиці.

Тепер за допомогою критерію згоди χ2 перевіримо гіпотезу про адекватність побудованої моделі.

Х2найл = 37,882> χ2κρΜΤ (а = 0,05; ν = 8- 3-1 = 4) = 9,488 (зверніть увагу - тут ми по вибірці оцінювали три параметра - α ,, λ i, λ2), отже, гіпотеза відкидається. Модель "хороші ризики / погані ризики" визнається неадекватною для розподілу врегульованих збитків.

Розрахунок розподілу числа позовів в портфелі договорів автокаско за допомогою змішаного пуассоновского розподілу моделі "хороші ризики / погані ризики" (по Ж. Лемеру)

Вибіркове і теоретичне змішане пуассоновским розподіл моделі "хороші / нлохіе ризики" числа страхових випадків і розрахунок статистики критерію згоди Пірсона

Результати застосування критерію згоди Пірсона але усіма дослідженими розподілів (за результатами розрахунків прикладів 3.8, ЗЛО, 3.13) зведемо в підсумкову таблицю.

Результати розрахунку статистики критерію згоди Пірсона для всіх розглянутих розподілів, що моделюють число страхових випадків в одному договорі страхування автокаско

Крім того наведемо графік (рис. 3.9), на якому видно всі отримані результати і яке теоретичне розподіл як моделює всі частоти емпіричного.

Статистичне дослідження і моделювання числа позовів в розглянутому портфелі договорів страхування дозволили зробити висновок, що в досліджуваній сукупності страхових договорів найбільш підходящою моделлю потрібно визнати від'ємний біноміальний розподіл, що є змішаним пуассоновским / гамма-розподілом.

У актуарної літературі є роботи, в яких розглядалися і інші змішані пуассоновским моделі ^[3] .

Віллмот ( Willmot ) отримав просту рекуррентную формулу, яка працює для широкого ряду безперервних змішувальних розподілів. Як змішувальних розподілів він використовував бета-розподіл, рівномірний розподіл, розподіл Парето, а також узагальнену розподіл Парето. Крім того, він розглядав від'ємний біноміальний розподіл, пуассоновским бета-розподіл і узагальнені гаусові моделі.

Альбрехт ( Albrecht ) розглядав суміші пуассоновского розподілу з такими розподілами, як сімейство Пірсона, розподіл Вейбулла, Парето, Бесселя, усеченное нормальний розподіл, хі-квадрат та ін. Він також

Мал. 3.9. Моделювання числа позовів зі страхування автокаско за допомогою пуассоновского і трьох змішаних пуассонівських розподілів

висловлював міркування на користь дискретних сумішей пуассонівських розподілів.

Делапорте ( Delaporte ) вперше ввів, а Рюохонен ( Ruohonen ), Віллмот і Сундт ( Sundt ) продовжили вивчення змішаного пуассоновского розподілу зі змішувальним розподілом, яке є гамма-розподілом із зсувом з трьома параметрами. При такому підході процес настання страхових випадків складається з двох незалежних компонент, пуассоновского процесу, який відображає загальний внесок всіх ризиків, і негативного біноміального процесу, який відповідає за індивідуальний внесок певного ризику.

Трипараметричної змішана пуассонівська модель Пейнджера ( Panjer ) є паскалевская узагальненням пуассоновского розподілу і містить в якості окремих випадків від'ємний біноміальний розподіл, розподіл Пойа, Неймановская типу А і пуассоновским зворотне гауссовское розподіл.

• [1] Лемер Ж. Указ. соч. С. 50-61.
• [2] Мак Т. Указ. соч.
• [3] Лемер Ж. Указ. соч.
• [4] Course / Exam 3 - Actuarial models. The Society of Actuaries and the Casualty Actuarial Society , May 2000.
• [5] Міронкіна Ю. М., Скорик М. А. До питання статистичного дослідження ризику в автотранспортному страхуванні // Економіка, статистика і інформатика. Вісник УМО. 2007. №4. С. 60-67.
• [6] Лемер Ж. Системи бонус-малус в автомобільному страхуванні: пров. з англ. М .: Янус-К, 2003; Мак Т. Математика ризикового страхування: пров. з нім. М .: Олімп-Бізнес, 2005.
• [7] Лемер Ж. Автомобільне страхування. Актуарні моделі: пров. з англ. М .: Янус-К, 2003.
• [8] Лемер Ж. Указ. соч.
• [9] Лемер Ж. Указ. соч.