Головна Страхова справа Актуарні розрахунки

<<		ЗМІСТ		>>

РОЗРАХУНОК ТОЧНОГО РОЗПОДІЛУ СУКУПНОГО ЗБИТКУ В ІНДИВІДУАЛЬНИХ МОДЕЛЯХ МЕТОДОМ ЗГОРТКИ (КОМПОЗИЦІЇ)

В індивідуальних моделях страхові виплати, вироблені страховою компанією, представляються як сума виплат багатьом окремим особам. У більшості випадків страхові виплати окремим особам передбачаються незалежними. Оскільки сумарні виплати Z представляють собою суму незалежних випадкових величин, розподіл випадкової величини Z може бути визначено за допомогою класичних теорем і методів теорії ймовірностей - використання згортки (композиції ) випадкових величин ^[1] .

Безперервні випадкові величини

Якщо Х 1 і Х 2 дві незалежні випадкові величини з функціями розподілу FjCxj) і Е2 (.г2), то функція і щільність розподілу величини Z = X t + Х 2 :

Застосовуючи формулу згортки кілька разів, можна підрахувати функцію розподілу або щільності будь-якої кількості доданків випадкових величин.

Дискретні випадкові величини

Якщо Х х і Х 2 - незалежні дискретні випадкові величини, причому, як правило, цілочисельні (виплати у страхуванні або є цілочисельними величинами, або їх можна уявити такими), то працюють з їх законами розподілу ймовірностей:

Щоб знайти закон розподілу суми необхідно підсумувати ймовірності всіх можливих варіантів, коли випадкові величини Х {і Х2 дають в сумі потрібне значення:

(3.1)

ПРИКЛАД 3.1

Портфель складається з трьох незалежних однотипних договорів страхування деяких великих об'єктів, які враховують:

- загибель всього об'єкта, можливу з ймовірністю 0,05 і за якої виплати становлять 2 000 000 у.о .;
- руйнування головного агрегату об'єкта, ймовірність якого оцінюють як 0,1 і виплати рівні 1 000 000 у.о.

Потрібно знайти:

а) точний розподіл сумарного збитку по портфелю, використовуючи метод згорток;
б) розмір ризикової премії, яка збирається але такого портфелю і забезпечується зібраної сумою ймовірність неразоренние страхової компанії;
в) сумарну ризикову надбавку, необхідну для цього ймовірності неразоренние 0,95.

Рішення

Отже, розподіл збитку по кожному з трьох договорів має вигляд:

	0	1 000 000 у.о.	2 000 000 у.о.
	0,85	0,1	0,05

Для скорочення і зручності запису розподілів введемо позначення однієї одиниці страхової суми 1 ЕСС = 1 000 000 у.о. Тоді розподіл збитку (в ЕСС) прийме простою цілочисельний вид:

	0	1	2
	0,85	0,1	0,05

а) Для підрахунку суми трьох випадкових величин - написання закону розподілу сумарного збитку по портфелю - послідовно складемо спочатку перші дві випадкові величини, а потім до отриманого розподілу додамо третю випадкову величину - збиток по третьому договором страхування.

Для підсумовування Х {і Х 2 - згортки послідовностей / ?, (/) і p -> (j) запишемо матрицю спільного розподілу Xj і Х 2, кожен елемент якої є ймовірність спільного настання подій яка, внаслідок незалежності випадкових величин, дорівнює добутку ймовірностей:

Для зручності розрахунку зліва вкажемо стовпець з ймовірностей Pi (i), а зверху - рядок з ймовірностей p 2 (j) '•

Для розподілу збитку за двома договорами страхування X, і Х2 отримуємо:

	0	1	2	3	4	Σ
	0,7225	0,17	0,095	0,01	0,0025	1

Наприклад, по (3.1) для сумарного збитку, рівного 0, 1, 2:

і т.д.

Як видно, підсумовуються ймовірності, паралельні головній діагоналі матриці спільного розподілу ймовірностей.

Для розподілу сумарного збитку по портфелю необхідно до щойно побудованому розподілу додати третю випадкову величину . Для цього спочатку утворимо матрицю їх спільного розподілу з трьох рядків і шести стовпців:

і в результаті отримуємо аналогічно попередньому етапу по (3.1) шукане точний розподіл сумарного збитку по портфелю з трьох однакових договорів.

б) Розмір сумарною ризикової премії дорівнюватиме математичного сподівання збитку по портфелю:

А ще простіше скористатися властивістю математичного очікування суми незалежних випадкових величин:

Ризикова премія на один договір: РП = M (Xj) = 0,2 ЕСС = = 200 000 у.о.

Зібраної сумарною ризикової премії не вистачить навіть на 1 ЕСС виплат, тому страхова компанія не розориться тільки в тому випадку, якщо виплат не буде взагалі.

Імовірність неразоренние (1 - ε) = P (Z = 0) = 0,614125.

в) Щоб визначити, яку сумарну ризикову надбавку необхідно збирати, щоб досягти ймовірності неразоренние 0,95, додамо до збудованого розподілу накопичені ймовірності - функцію розподілу випадкової величини Z:

	0	1	2	3
	0,614125	0,21675	0,133875	0,0265
рт накопл	0,614125	0,830875	0,96475	0,99125
рт	0,007875	0,00075	0,000125
рт накопл	0,999125	0,999875	1

Ми бачимо, що з імовірністю 0,96475> 0,95 виплати в портфелі договорів не будуть перевищувати 2 ЕСС. Значить, сумарна ризикова надбавка повинна покривати всі збитки, що перевищують математичне очікування збитку - сумарну ризикову премію:

або по PH = 0,4 (6) ЕСС = 466 667 у.о. на один договір.

Відносна ризикова надбавка складе 0 = 2,333 = 233,3%.

Така величезна ризикова надбавка обумовлена тим, що у нас всього три договору з дуже великою дисперсією ризику.

Необхідність згортки виникає в малих за обсягом портфелях, коли нормальна апроксимація непридатна. Наприклад, при страхуванні космічних і енергетичних ризиків, великих промислових об'єктів і т.п. - коли договорів трохи, об'єкти мають надзвичайно високу вартість і важливо знати точний розподіл збитку по всьому портфелю. Часто такі портфелі бувають неоднорідними за складом.

Розглянемо для прикладу такий неоднорідний портфель з різними договорами.

ПРИКЛАД 3.2

Портфель складається з трьох незалежних договорів страхування деяких великих об'єктів, які враховують:

- загибель всього об'єкта;
- руйнування головного агрегату об'єкта.

Ймовірності цих подій і виплати при цьому складають:

Необхідно знайти:

а) точний розподіл сумарного збитку по портфелю X + + Y + Z, використовуючи метод згорток;
б) розмір сумарної ризикової премії, яка збирається за таким портфелю, і забезпечується зібраної сумою ймовірність неразоренние страхової компанії;
в) розмір ризикової надбавки, що забезпечує ймовірність неразоренние, рівну 0,98;
г) скільки коштів необхідно мати страхової компанії у власних активах, якщо при заданій в пункті в) надійності відносна ризикова надбавка не повинна перевищувати 15%.

Рішення

Портфель складається з трьох різних договорів страхування, але алгоритм побудови розподілу сумарного збитку абсолютно такий же, як в прикладі 3.1. Для скорочення і зручності запису розподілів введемо позначення однієї одиниці страхової суми 1 ЕСС = 500 000 у.о. Тоді розподіл збитку за всіма трьома договорами прийме простою цілочисельний вид:

Vi	0	1	3
Pi	0,7	0,1	0,2

Vi	0	1	4
Pi	0,8	0,1	0,1

Xi	0	2	4
Pi	0,7	0,2	0,1

Алгоритм рішення абсолютно аналогічний наприклад 3.1, наведемо короткий опис рішення з основними результатами. Спільне розподіл ( X; Y) має вигляд:

	X	0	2	4
Y		0,7	0,2	0,1
0	0,8	0,56	0,16	0,08
1	0,1	0,07	0,02	0,01
4	0,1	0,07	0,02	0,01

Сумарний збиток за договорами X + Y має вигляд (3.1):

X + Y = k	0	1	2	3	4	5	6	8	Σ
Pk	0,56	0,07	0,16	0,02	0,15	0,01	0,02	0,01	1

Для розподілу шуканого сумарного збитку по портфелю X + У + Z необхідно до щойно побудованому розподілу додати третю випадкову величину Z. Для цього спочатку утворимо матрицю їх спільного розподілу:

	X + Y	0	1	2	3	4	5	6	8
Z		0,56	0,07	0,16	0,02	0,15	0,01	0,02	0,01
0	0,7	0,392	0,049	0,112	0,014	0,105	0,007	0,014	0,007
1	0,1	0,056	0,007	0,016	0,002	0,015	0,001	0,002	0,001
3	0,2	0,112	0,014	0,032	0,004	0,03	0,002	0,004	0,002

У підсумку отримуємо аналогічно попередньому етапу по (3.1) шукане точний розподіл сумарного збитку по портфелю з трьох різних договорів:

V = X + Y + Z = m	0	1	2	3	4	5
Pm	0,392	0,105	0,119	0,142	0,121	0,054
V = X + Y + Z = m	6	7	8	9	11
Pm	0,019	0,032	0,009	0,005	0,002

б) Розмір сумарною ризикової премії дорівнюватиме математичного сподівання збитку по портфелю:

А ще простіше скористатися властивістю математичного очікування суми незалежних випадкових величин:

Зібраної сумарною ризикової премії вистачить на 2 ЕСС виплат, тому для знаходження забезпечується нею ймовірності неразоренние страховика побудуємо функцію розподілу сумарного збитку по портфелю:

	0	1	2	3	4	5
рт	0,392	0,105	0,119	0,142	0,121	0,054
рт накопл	0,392	0,497	0,616	0,758	0,879	0,933
Pm	0,019	0,032	0,009	0,005	0,002
рт накопл	0,952	0,984	0,993	0,998	1

Якщо страхова компанія буде збирати тільки ризикову премію, вона не розориться з ймовірністю: (1 - ε) = Р (V < 2) = 0,616.

в) Щоб визначити, яку сумарну ризикову надбавку необхідно зібрати, щоб досягти ймовірності неразоренние 0,98, подивимося в попередній таблиці функції розподілу, де досягається накопичена ймовірність 0,98.

Ми бачимо, що з імовірністю 0,984> 0,98 виплати в портфелі договорів не будуть перевищувати 7 ЕСС: P (V < 7) = 0,984. Значить, сумарна ризикова надбавка повинна покривати всі збитки, що перевищують математичне очікування збитку - сумарну ризикову премію:

Відносна ризикова надбавка складе Θ = 2,5 = 250%.

Настільки велика ризикова надбавка обумовлена тим, що у нас всього три договору з дуже великою дисперсією ризику.

г) Щоб визначити, скільки грошових коштів необхідно мати страхової компанії у власних активах, якщо при заданій в пункті в) надійності відносна ризикова надбавка не повинна перевищувати 15%, визначимо, чому тоді повинна бути дорівнює сумарна ризикова надбавка:

Тоді для забезпечення надійності 1 - ε = 0,98 страхової компанії необхідно мати таку кількість власних коштів:

Це дуже велика сума, тому страхової компанії більш розумно перестрахувати такі великі ризики (див. Гл. 5) і призначити, якщо це можливо, більш високу ризикову надбавку.

[1] Феллер В. Введення в теорію ймовірностей та її застосування. М .: ЛИБРОКОМ, 2010 року; Вентцель E. С. Указ, соч .; Фалін Г.І., Фалін А.І. Указ. соч.

<<		ЗМІСТ		>>