Повна версія

Головна arrow Страхова справа arrow Актуарні розрахунки

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ВИКОРИСТАННЯ ФУНКЦІЇ КОРИСНОСТІ В АКТУАРНИХ РОЗРАХУНКАХ

Модель очікуваної корисності може пояснити саме існування інституту страхування. У цій моделі страхувальник є особою, яка не схильним до ризику і приймають розумні рішення. Механізм прийняття рішень при наявності невизначеності полягає в порівнянні не очікуваних платежів, що виникають в результаті рішень, а очікуваних корисностей цих платежів.

Особа, яка приймає рішення, пов'язує з розміром свого капіталу w (від англ, welfare - добробут) деяку кількість u (w), зазвичай навіть не підозрюючи про це; функція і (х) називається функцією корисності (utility function).

Страхувальник готовий платити страхову премію, більшу, ніж математичне сподівання страхового збитку. Теорія корисності так пояснює це явище. Потенційний страхувальник збирається укласти договір страхування певного об'єкта з випадковою величиною збитку X при настанні страхового випадку. Відома ймовірність виникнення збитків - р і початковий капітал страхувальника w.

Страхувальник повинен зробити вибір з двох варіантів (табл. 2.4):

  • - укласти договір страхування і заплатити за нього брутто-премію БП;
  • - не заплатити БП і піти на ризик втрати суми X.

Таблиця 2.4

Варіанти рішень страхувальника

Страховий випадок

Наявність договору страхування

є

немає

немає

w - БП

w

є

w - БП

wX

Для страхувальника краще, коли його капітал w зростає. Однак відчуття корисності капіталу не прямо пропорційно величині X. Якщо страхувальник втрачає значну частину капіталу, то це може бути для нього катастрофічно. Тому страхувальнику потрібно уважно зважити наслідки, при яких його капітал впаде до дуже низького рівня. Небажаність подій, що призводять до великого збитку, добре пояснюється низьким значенням функції корисності. З іншого боку, зростаючий капітал зазвичай сприймається як позитивна подія, але чим багатше страхувальник, тим менше ваги надається його бажанням збільшити капітал па певну фіксовану величину Aw.

Ця закономірність пояснюється і (х) - функцією корисності, яка оцінює, наскільки бажаними є різні результати для того, хто приймає рішення.

Якщо страхувальник укладе договір повного страхування, то функція корисності буде мати вигляд:

Якщо страхувальник не укладе договір страхування, функція корисності буде дорівнює:

Якщо , то страхувальник приймає рішення про необхідність укласти договір страхування, в іншому випадку - відмовляється.

У страхувальника і у страховика існує у кожного своя функція корисності - і відповідно. З точки зору страхувальника, якщо необхідно вибрати один з двох збитків Х х або Х ь то індивідуум порівнює математичні очікування і і вибирає збиток з найбільшою очікуваною корисністю.

Максимальна премія, яку він готовий заплатити за страхування збитку X, визначається як рішення щодо БПП1ах рівняння рівноваги корисності з точки зору страхувальника:

(2.27)

Це і є премія нульової корисності (див. 11-й принцип в параграфі 2.3).

У точці рівноваги клієнту байдуже, чи має він договір страхування. Страхування вигідно для клієнта, якщо ліва частина рівняння перевищує праву.

Вид типовою функції корисності не схильну до ризику страхувальника

Мал. 2.11. Вид типовою функції корисності не схильну до ризику страхувальника

У страховика є своя функція корисності U і свій капітал W, і він може визначити аналогічним чином мінімальну премію БПМ1 | П, яку повинен внести страхувальник. Рівняння рівноваги корисності з позиції страховика:

(2.28)

Якщо БПтах страхувальника більше БПП1, П страховика, то обидві сторони, вибравши премію між БП | п! П і БПпшх, збільшують свою корисність, укладаючи договір страхування.

Функція корисності - зростаюча функція капіталу (рис. 2.11), вона повинна мати наступні властивості.

1. Функція і (х) повинна бути неубивающей:

Перша похідна функції корисності неотрицательна. Більшому значенню капіталу зазвичай відповідає більше значення функції корисності, тому функція корисності повинна бути неубивающей.

2. Швидкість зростання і (х) повинна спадати:

Друга похідна функції корисності і (х ) менше або дорівнює нулю. Приріст добробуту дає менший (у відносному вираженні) приріст корисності і, ніж скорочення рівня добробуту на ту ж величину (див. Рис. 2.11). Осіб з такою функцією корисності називають особами "з спадної граничної корисністю" [1] .

3. Функція інваріантна щодо лінійного перетворення: і (х) і АІ (х ) + b еквіваленти, так як однаково ранжируют суми.

Особа, яка приймає рішення, здійснює вибір між варіантами, що містять невизначеність. З точки зору порівняння випадкових збитків Х у і Х 2, функція корисності и, (х) еквівалента функції АІ 2 (х) + Ь, а> 0.

Нерівність Єнсена (Jensen) говорить:

Якщо v (.r) - опукла вниз функція, а X - випадкова величина, то математичні очікування:

причому рівність досягається тоді, і тільки тоді, коли v (.r) лінійна на безлічі, де зосереджена випадкова величина X, або коли D (X) = 0 (тобто X = const).

З нерівності Йєнсена випливає, що для опуклою вгору функції корисності і (х)

Тому особи з спадної граничної корисністю (і "(х) <0) справедливо називаються не схильними до ризику (risk averse ) Е вони вважають за краще детермінований (невипадковий) платіж БП випадковому платежу X.

Прийняте страхувальником рішення буде залежати не тільки від р, X і БП, але і від вибору функції корисності.

Найбільш часто використовують такі класи функції корисності :

  • 1) квадратична функція:
  • 2) логарифмічна функція:
  • 3) показова функція:
  • 4) статечна функція:

Функція корисності може бути застосована для опису раціональної поведінки в простих ситуаціях, важко буває обгрунтувати її вид в певних випадках. На практиці функцію корисності зазвичай визначають за допомогою експертних оцінок, так як неможливо знайти функцію корисності, яка б задовільно описувала всі об'єкти страхування. Взагалі питання вибору функції корисності є найскладнішим і невизначеним в теорії корисності, як відзначається в багатьох актуарних джерелах.

Спрощене визначення премії, яку готовий заплатити страхувальник, можна дізнатися, задавши йому запитання, яку премію БП готовий він заплатити, щоб уникнути збитку розміром X, який може виникнути з ймовірністю р, тобто оцінити БПтах для ризику X при заданої функції і (.р).

Більш точно оцінити БПтах можна на підставі коефіцієнта несхильність до ризику (risk aversion coefficient) функції корисності [2] :

(2.29)

Чим вище коефіцієнт несхильність до ризику, тим більшу премію готовий заплатити страхувальник за страхування одного і того ж ризику. Максимальна премія, яку буде готовий заплатити страхувальник, дорівнює:

(2.30)

(2.31)

ПРИКЛАД 2.9

Страховик використовує показову функцію корисності U (x) = -а-е ~ ал з параметром а> 0 і має капітал W.

  • а) Знайдіть коефіцієнт несхильність до ризику для даної функції корисності.
  • б) Яка мінімальна премія БПТ! п, за яку страховик погодиться прийняти ризик X?

Рішення

а) Коефіцієнт несхильність до ризику для даної функції корисності знайдемо але формулою (2.29):

Таким чином, для показової функції корисності коефіцієнт несхильність до ризику дорівнює параметру функції корисності, постійний і не залежить від початкового капіталу W.

б) Мінімальну премію, за яку страховик може прийняти такий ризик, керуючись цією функцією корисності, визначимо з рівняння (2.28):

Використовуючи властивості математичного сподівання, отримаємо:

Таким чином, мінімальна премія дорівнює:

де - виробляє функція моментів випадкової

величини X [3] , аргументом якої є а (див. розділ 3.2.2).

Ми отримали таким чином не що інше, як показову премію - див. Пункт 2.3 цієї глави та 7-й показовий принцип розрахунку премії. Показова премія не залежить від поточного капіталу страховика W, і це узгоджується з тим, що отримано нами в пункті а) рішення - коефіцієнт несхильність до ризику показовою функції корисності є константою.

Використання функції корисності і (х) при виборі найкращого договору страхування (або відмови від страхування взагалі) здійснюється наступним чином.

Нагадаємо, що w - початковий капітал страхувальника (його рівень добробуту); БП - плата за страховий поліс; X - наступив шкоду протягом дії терміну договору (випадкова величина, що має в загальному випадку певний закон розподілу збитку з щільністю /(.г)).

Тоді принцип еквівалентності в разі повного захисту виражається рівністю значень функції корисності при страхуванні (ліва частина рівності) і при відмові від страхування (права частина рівності) (так як збитки є випадковою величиною, ми можемо оцінити лише середнє математичне сподівання функції корисності) (див. (2.27)):

Страхувальнику вигідно страхування, якщо

Якщо ми маємо договір не повною, а часткової захисту (див. Параграф 1.7 і табл. 2.2), страхувальник може ще й оплачувати частину збитків X. В цьому випадку необхідно знайти математичне сподівання функції корисності від залишку від його капіталу:

Таким чином, обчисливши функцію корисності для різних варіантів договорів страхування і відмови від страхування взагалі, можна з'ясувати, яка поведінка буде найбільш вигідно страхувальнику з точки зору теорії корисності.

Математичне сподівання функції корисності і (х) для всіх варіантів одно:

(2.32)

де f (x) - щільність розподілу збитку на інтервалі від а до b (якщо збиток обмежений, інакше b = + °°); ж> ост - залишок від його капіталу але мине рік.

Перш за все, при вирішенні завдань визначаються граничні умови і (х):

(Страхувальник не страхувався, збитків не було взагалі);

(Страхувальник не страхувався, збитки максимальні).

Всі значення функції корисності повинні знаходитися в отриманих межах:

Відмова від страхування відповідає функції корисності

При використанні договорів часткового відшкодування збитку функція корисності обчислюється від залишку капіталу w OCT після сплати страхової премії і збитку, залишеного на власному утриманні страхувальника.

Значення функції корисності для різних варіантів договорів страхування визначаються відповідно до умов договорів - брутто-премій і частці відповідальності за ризик.

Максимальна зі знайдених значень функції корисності і вкаже на найбільш вигідний для страхувальника договір.

ПРИКЛАД 2.10

Потенційний страхувальник має капітал w = 500 у.о. і використовує функцію корисності і (х) = 1пх для оцінки свого вибору. Можливі збитки за наявним у нього об'єкту страхування розподілений рівномірно на інтервалі (0; 400) у.о. Що йому вигідніше з точки зору функції корисності:

  • а) відмова від страхування;
  • б) договір з повним захистом при страхової премії 200 у.о .;
  • в) договір захисту з умовною франшизою 1 = 50 у.о. з премією 140 у.о .;
  • г) договір з безумовною франшизою Z. = 60 у.о. з премією 120 у.о .;
  • д) договір часткової захисту на наступних умовах: повна компенсація збитку до 200 у.о. і відшкодування половини збитку після 200 у.о. при страхової премії 100 у.о.

Рішення

Необхідно обчислити функцію корисності для різних варіантів договорів страхування і відмови від страхування взагалі і таким чином з'ясувати, яка поведінка буде найбільш вигідно страхувальнику з точки зору теорії корисності.

Визначимо граничні умови:

  • (Збитків не буде взагалі);
  • (Збитки максимальні).

Всі значення функції корисності в даній задачі повинні бути в інтервалі

Математичне сподівання функції корисності u (w) дорівнює (2.32):

де /(.г) - щільність розподілу збитку на інтервалі від а до Ь; даост - залишок від капіталу після сплати страхової премії за договором і збитків, які залишилися на власному утриманні страхувальника.

За умовою завдання шкоди розподілений рівномірно на інтервалі [0; 400], його функція щільності ймовірностей згідно рівномірному закону розподілу:

І тоді математичне сподівання функції корисності в даній задачі:

а) Відмова від страхування означає оплату будь-якого настав збитку зі свого капіталу, тоді математичне сподівання функції корисності:

В умовах нашої задачі:

Значення функції корисності для різних варіантів договорів страхування визначаються відповідно до умов договорів - брутто-премій і частці відповідальності за ризик.

б) У договорі страхування з повним захистом при страхової премії 200 у.о. страхувальник зменшить свій капітал на брутто-премію 200 у.о., але зате йому будуть оплачені всі настали збитки х.

Капітал до кінця терміну складе: а значення функції корисності:

в) У договорі страхування з умовною франшизою L = 50 у.о. і премією 140 у.о. капітал в будь-якому випадку зменшиться на брутто-премію 140 у.о., і при настанні малих збитків, що не перевищують франшизу, на величину цих збитків. Якщо ж збитки перевищать франшизу, він буде відшкодована повністю:

Отримуємо значення функції корисності:

г) У договорі страхування з безумовною франшизою L = 60 у.о. і премією 120 у.о. капітал в будь-якому випадку зменшиться на брутто-премію 120 у.о. і при настанні малих збитків, що не перевищують франшизу, на величину цих збитків. Якщо ж збитки перевищать франшизу, він буде відшкодовано за вирахуванням франшизи:

Отримуємо значення функції корисності:

д) У договорі страхування з частковою захистом при повній компенсації збитку до 200 у.о. і відшкодуванням половини збитку після 200 у.о. при страхової премії 100 у.о. капітал в будь-якому випадку зменшиться на брутто-премію 100 у.о., і при настанні малих збитків, нс перевищують 200 у.о., вони будуть повністю компенсовані. Якщо ж збитки перевищать 200 у.е, він буде відшкодовано наполовину:

Отримуємо значення функції корисності:

Тепер порівняємо отримані результати і виберемо умови з максимальною функцією корисності:

Граничні умови

Значення функції корисності

немає збитків

6,215

збитки max

4,605

Договір страхування

Відмова від страхування

5,617

Повний захист

5,704

умовна франшиза

5,877

безумовна франшиза

5,782

часткова захист

5,753

Як бачимо, невелика перевага у договору з умовною франшизою. Найневигіднішими з розглянутих є договір повного захисту - мабуть, за рахунок занадто високу відзнаку. Однак будь-який із запропонованих договорів є більш вигідними для страхувальника, ніж відмова від страхування з точки зору функції корисності.

Відповідь: відповідно до теорії функції корисності страхувальнику вигідніше оформити будь-який із запропонованих страховиком видів договорів страхування, ніж відмовитися від страхування взагалі. Однак найвигіднішим є договір з умовною франшизою.

  • [1] Каас Р., Гувертс М., Дене Ж., подінуться М. Сучасна актуарна теорія ризику: пров. з англ. М .: Янус-К, 2007.
  • [2] Каас Р. Указ. соч.
  • [3] Феллер В. Указ. соч .; Хамітов Г. П. Виробляють функції в теорії ймовірностей. Новосибірськ: Видавництво СО РАН, 1999..
 
<<   ЗМІСТ   >>