Повна версія

Головна arrow Страхова справа arrow Актуарні розрахунки

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

РОЗРАХУНОК РИЗИКОВОЇ ПРЕМІЇ

Основне правило розрахунку ризикової премії (РП) - дотримання принципу еквівалентності фінансових зобов'язань страховика і страхувальника. Як вже було зазначено, відповідно до закону великих чисел - фундаментальному закону страхування, ризикова премія обчислюється як очікуваний розмір збитку (математичне очікування збитку), якщо збиток (виплати страховика) Y не залежить від моменту часу t, коли стався страховий випадок:

(2.3)

Страхувальник і страховик несуть кожен свої ризики (рис. 2.5) [1] .

Ризик страхувальника полягає в тому, що якщо страховий випадок не відбудеться, то страхові внески не повернуться страхувальнику, він заплатить тільки за свій спокій.

Ризики страховика і страхувальника

Мал. 2.5. Ризики страховика і страхувальника

Ризик страховика полягає в тому, що якщо страховий випадок стався, то він зобов'язаний заплатити суму, що значно перевищує розмір страхового внеску.

Конкретного клієнта страхової компанії цікавить тільки його власний договір, тобто індивідуальний ризик.

Розглянемо для початку найпростіший випадок фіксованого шкоди. Для окремого клієнта страховий випадок може наступити з імовірністю р або не наступити з імовірністю q = 1 - р.

Страхувальник ризикує премією П з ймовірністю (1 - р), а страховик ризикує різницею між страховою сумою і отриманої премією (5 - П) з ймовірністю р. Тому основний принцип страхування - принцип еквівалентності сторін (при відсутності індексації) приводить до рівняння

(S-П) • р = (1-р) • П,

звідки отримуємо, що премія дорівнює: П = Sр.

Праву частину цієї формули ми отримували раніше в прикладі 1.1 як математичне очікування ризику страховика.

Для визначення відповідності між страховим відшкодуванням і розміром страхової премії (умовами договору) необхідно, відповідно до принципу еквівалентності, прирівняти ризики страховика і страхувальника з урахуванням ймовірності настання страхового випадку та розміру збитків від нього (див. Рис. 2.5).

Але на практиці, якщо страхова сума S дуже велика, зрозуміло, що стягування премії П = S • р може привести до банкрутства, премія за страхування ризику не є однорідною, тобто не пропорційно ризику [2] . Цим і зумовлена необхідність формування ризикової надбавки. А така премія називається ризикової (визначається ризиком) і є лише складовою всієї страхової премії.

Страхову компанію цікавить не окремий договір і настання страхового випадку в ньому, а загальна кількість випадків для всього портфеля і сума всіх виплат, тобто колективний ризик по всьому портфелю. Всі п страхувальників внесуть у вигляді премій за РП, в середньому слід очікувати п-р страхових випадків, в кожному з яких доведеться виплатити відшкодування 5:

або

Таким чином, ризикова премія не залежить від кількості договорів в портфелі і буде однаковою по певному ризику для страхових компаній з великим і малим кількістю договорів в портфелі.

Збитки, як уже зазначалося, можуть бути фіксованими або розподіленими.

Розмір збитку може бути випадковим (змінним) - в разі пожежі, стихійного лиха, аварії, нанесення шкоди третім особам і ін. В цьому випадку збиток є розподіленим.

У разі розподіленого збитку для актуарія виникає додаткове завдання - оцінка ймовірності того, що збиток складе певну суму (буде в певних межах).

Якщо А - випадкова подія (настання страхового випадку), а В , - випадкові події, які полягають в тому, що збиток складе X, •, то актуарія цікавить умовна ймовірність події В-А, тобто умовний розподіл випадкової шкоди при настанні страхового випадку. Крім того, актуарія цікавить ще й фактор часу, коли відбудеться подія А, тому що від цього залежить розмір отриманих ним від страхувальника внесків до цього моменту. Отже, має місце не випадкова подія А, а деяка випадкова величина A (t) і пов'язане з нею розподіл.

Якщо збиток X є випадковою величиною з деяким законом розподілу, то умовне математичне очікування і дисперсія шкоди в разі настання страхового випадку для дискретної величини визначаються за відомими з теорії ймовірностей [3] формулами:

де М (ХА) і М (ХА) - умовні математичне очікування і дисперсія шкоди за умови, що страховий випадок А стався; х, - можливі значення збитку; p t - ймовірності цих значень.

У разі якщо збиток при настанні страхового випадку - безперервна випадкова величина, формули приймають вид:

де /(.г) - функція щільності ймовірності розподілу збитку.

Але це ми знайшли середній збиток і дисперсію, що характеризують відбулися збитки при настанні страхового випадку. Як вже обговорювалося в параграфі 1.7, виплати страхової компанії збігаються зі збитками далеко не для всіх видів договорів і розмірів збитків - велика кількість договорів часткової захисту, використовуваних в страхуванні, має на увазі участь страхувальника в оплаті всіх або частини збитків. Тому для розрахунку премії потрібно вміти розраховувати характеристики збитку не страхувальника, а страховика - реальних виплат страхової компанії.

Отже, є якась функція Y = g (x ) - величина відшкодування (збиток страховика), яка визначається умовами договору (див. Параграф 1.7), 0 <g '(. R) <X

Нагадаємо основні види договорів за способом розподілу відповідальності за ризик (табл. 2.2).

Таблиця 2.2

Основні види договорів повного і часткового страхування і залежність виплат страховика Y = g (x) від реально настав шкоди X

п / п

Назва договору

вид функції

Y = kx)

Примітки

1

Договір повного захисту

2

Договір пропорційної захисту

3

Договір за правилом першої ризику

4

Договір з безумовною (віднімається) франшизою

5

Договір з умовної (неви- читається) франшизою

Формули для розрахунку умовного математичного очікування відшкодування страховика при настанні страхового випадку (так звана mean severity - середня тяжкість страхового випадку) і умовної дисперсії відшкодування страховика для зручності зведемо в таблицю (табл. 2.3).

Таким чином ми розрахуємо характеристики збитку, що настає за тими договорами, в яких стався збиток. А страхову премію за ризик потрібно призначати з урахуванням реальної небезпеки ризику - ймовірності настання страхового випадку та того, що по частині договорів в портфелі страховий випадок не настав і збитків не було взагалі. Для цього потрібно розрахувати безумовні характеристики середнього і дисперсії - за всіма договорами портфеля (рис. 2.6).

Умовні та безумовні характеристики ризику в страховому портфелі

Мал. 2.6. Умовні та безумовні характеристики ризику в страховому портфелі

Для переходу до безумовного розподілу збитку необхідно обчислити повне математичне сподівання і дисперсію виплат. Так як страховий випадок настає нс у всіх договорах, перейдемо від відносних показників до безумовним з урахуванням оцінки ймовірності настання страхового випадку Р (А) = р і того, що вбез збиткових договорах виплат не було взагалі, тобто :

Додамо отримані формули в табл. 2.3. У ній, таким чином, представлені всі формули, необхідні для розрахунку імовірнісних характеристик ризику при будь-яких розподілених ущербах.

Імовірність настання страхового випадку р визначається на основі страхової статистики з використанням статистичного визначення ймовірності - оцінкою р буде відносна частота настання страхового випадку:

де т - кількість договорів, в яких настав страховий випадок; п - загальна кількість договорів.

Таблиця 2. 3

Формули для розрахунку умовних і безумовних характеристик збитку по страховому портфелю

Закон розподілу збитку

характеристики шкоди

Дискретна випадкова величина

Безперервна випадкова величина

Умовне математичне сподівання

умовна дисперсія

Математичне очікування

дисперсія

Актуарій може проаналізувати страховий портфель певного типу і з'ясувати вплив різних чинників на можливість виникнення страхового випадку та розмір збитків. Тоді можна розбити всі неоднорідне безліч договорів на кілька однорідних підмножин (груп). Для цього можуть бути використані найпростіші статистичні методи (наприклад, метод угруповань) або методи багатовимірної класифікації (наприклад, кластерний аналіз). Це дозволить всередині кожної групи розглядати не тільки збиток за кожним договором, а сумарний збиток, що для страховика значно важливіше.

Якщо на підставі страхової статистики попередніх років виявлено, що за одиницю часу (зазвичай один рік) в групі з і, договорів відбулося в середньому т, випадків, частость ntj / rii дозволяє оцінити ймовірність p t настання страхового випадку в певній групі.

Якщо з року в рік емпіричні значення т / п практично рівні, тобто коливання випадкові і не містять тренда, то немає необхідності в прогнозуванні цієї величини, досить знати її середнє значення. При великій кількості спостережень (договорів) можна з високою надійністю стверджувати, що справжнє значення параметра р перебуватиме в дуже вузькому довірчому інтервалі.

Для більшої надійності можна взяти не точкову оцінку р, а праву межу довірчого інтервалу для генеральної частки:

де i, -e - значення, відповідне інтегральної функції стандартного нормального розподілу (квантиль рівня 1-ε):

рівній заданій ймовірності неразоренние страхової компанії 1 - ε (див. додаток 1); р = т / п - точкова оцінка ймовірності настання страхового випадку.

ПРИКЛАД 2.1

Комплекс складських приміщень загальною вартістю 2000 у.о. потрібно застрахувати від пожежі. Імовірність пожежі оцінена як р = 0,05, а величина збитку при виникненні страхового випадку розподілена дискретно:

xi

200

1000

1700

2000

P i

0,3

0,4

0,2

0,1

Страховик запропонував п'ять можливих варіантів договору: один з повною і чотири з частковою захистом.

I. Повний захист.

І. Пропорційна захист з відповідальністю страховика 80% від збитку.

III. Страхування за правилом першої ризику зі страховою сумою 80% від ціни об'єкта.

IV. Безумовна франшиза 25% від ціни об'єкта.

V. Умовна франшиза 25% від ціни об'єкта.

Порівняйте договір з повним захистом і договори з частковою захистом.

Проаналізуйте вибрані договори: знайдіть характеристики розміру шкоди страховика (математичне сподівання, дисперсію, середньоквадратичне відхилення).

Знайдіть за всіма договорами одноразову ризикову премію.

Рішення

Договір I. Оскільки страхувальник вибрав договір повного захисту, то всі страхові випадки будуть оплачені повністю. Страхова сума дорівнює 100% від вартості об'єкта. Страхова сума S дорівнює вартості об'єкта С = 2000 у.о.

Таким чином, розмір матеріальної шкоди страховика (його виплат) матиме розподіл такого вигляду:

200

1000

1700

2000

0,3

0,4

0,2

0,1

Спочатку визначимо відносні показники збитку страховика. Математичне сподівання і дисперсію за умови, що страховий випадок стався, знайдемо за представленими в табл. 2.3 формулами (2.4) і (2.6):

Так як страховий випадок наступає не у всіх договорах, укладених страховою компанією, то необхідно від відносних показників перейти до безумовним, з урахуванням ймовірності настання страхового випадку згідно (2.8):

Таким чином, одноразова ризикова премія, яка дорівнює математичному очікуванню виплат страховика за договором повного захисту, дорівнює 50 у.о.

Дисперсія і середньоквадратичне відхилення виплат страховика знаходяться за формулою (2.9) з табл. 2.3:

Договори II-V. Для визначення характеристик ризику і ризикової премії але договорами часткової захисту складемо у відповідність з формулами табл. 2.2 розподілу величини збитків страховика (його виплат) і зведемо їх в таблицю:

п / п

Назва договору

Значення виплат СК, у.о.

1

Договір повного захисту 5 = С = 2000 у.о.

200

1000

1700

2000

2

Договір пропорційної захисту, S = 0,8 с = 1600. у.о.

160

800

1360

1600

3

Договір за правилом першої ризику, S = 0,8 с = 1600. у.о.

200

1000

1600

1600

4

Договір з безумовною (віднімається) франшизою, L = 0,25 с = 500 у.о

0

500

1200

1500

5

Договір з умовної (невичітаемой) франшизою, L = 0.25С = 500 у.о.

0

1000

1700

2000

Аналогічно, використовуючи формули (2.4), (2.6), (2.8) і (2.9), представлені в табл. 2.3, знайдемо умовні та безумовні характеристики ризику і ризикову премію (2.3) але всіма договорами часткової захисту. Отримані результати зведемо в таблицю:

п / п

Назва договору

Значення виплат СК, у.о.

1

Договір повного захисту, 5 = С = 2000 у.о.

1000

390 000

50

67000

258,8436

2

Договір пропорційної захисту, S = 0,8 с

800

249 600

40

42880

207,0749

3

Договір за правилом першої ризику, S = 0,8 с

940

296 400

47

56791

238,3086

4

Договір з безумовною (віднімається) франшизою,

L = 0,2 с

590

264 900

29,5

29779,75

172,5681

5

Договір з умовної (невичітаемой) франшизою, L = 0,2 с

940

494 400

47

66 691

258,246

Таким чином, найбільші середні виплати після договору повного захисту несуть договори за правилом першої ризику і з умовною франшизою, так як вони забезпечують не тільки часткові, але і повні виплати по значній частині збитків, обмежуючи виплати страховика зверху і знизу відповідно. Найменші виплати - але договором пропорційної захисту і з безумовною франшизою, так як вони вимагають участі страхувальника у всіх виплатах. Найменші середні виплати має договір з безумовною франшизою, так як за умовами договору франшиза, рівна 500 у.о., віднімається з усіх виплат страхової компанії. Що цікаво, найбільшу дисперсію виплат страховика, порівнянну з договором повного захисту, має договір з умовною франшизою, тому він найбільш небезпечний для страхової компанії з точки зору ризику.

ПРИКЛАД 2.2

Майно ціною (С) 20 000 у.о. застраховано від пожежі терміном на 1 рік. Імовірність ( р ) страхового випадку оцінена в 10%. При пожежі величина збитку розподілена рівномірно. Страхувальник вибрав договір страхування з безумовною франшизою L в 10% від ціни об'єкта (2000 у.о.).

Проаналізуйте обраний договір: знайдіть характеристики розміру шкоди страховика (математичне сподівання, дисперсію, середньоквадратичне відхилення, коефіцієнт варіації).

Рішення

Знайдемо умовне математичне сподівання виплат страховика за умови, що страховий випадок стався, за формулою (2.5):

де f (x) - щільність ймовірності розподілу збитку.

Так як збиток при пожежі за умовою розподілений рівномірно на інтервалі [0; З], то його функція щільності ймовірностей згідно рівномірному закону розподілу [4] :

Оскільки страхувальник вибрав договір з безумовною франшизою 10% від ціни об'єкта, то згідно з визначенням такого виду франшизи, можна ігнорувати і не реєструвати збитки, менші, ніж ця франшиза (2000 у.о.). У разі, коли під час пожежі збиток оцінюється в суму, більшу ніж 2000 у.о., страховик відшкодовує лише частину його: X - L. Тому Y = g (x) - величина відшкодування (збиток страховика), яка визначається умовами договору, в даному випадку згідно (1.5):

Тоді за формулою (2.5)

Дисперсія виплат страховика за умови, що страховий випадок стався, за формулою (2.7):

Для переходу до безумовного розподілу збитку необхідно обчислити повне математичне сподівання і дисперсію виплат. Так як страховий випадок наступає не у всіх договорах, від відносних показників перейдемо до безумовним, з урахуванням ймовірності настання страхового випадку р згідно (2.8) і (2.9):

Таким чином, середнє значення виплат страховика за таким договором одно 810 у.о., при середньому квадратичному відхиленні 3010,63 у.о., перевищує середнє в кілька разів.

Розрахуємо коефіцієнт варіації, який використовується в актуарних розрахунках як показник ступеня ризику по досліджуваного договору (детально розглянемо його в параграфі 2.5):

Таким чином, про дуже високий ступінь ризику, властивої завжди одним договором (а не портфелю безлічі договорів) говорить і коефіцієнт варіації (ступінь ризику) - його прийнятні значення не перевищують, як правило, 0,3.

відповіді:

ПРИКЛАД 2.3

Автомобіль вартістю З = 10 000 у.о. застрахований від угону (подія А) на повну вартість, ймовірність викрадення оцінюється страховою компанією як р л = 0,01, і від аварії (подія В), яка може статися з ймовірністю р н = 0,1; в цьому випадку збиток розподілений рівномірно від 0 до С і відшкодовується повністю.

Визначте одноразові ризикові премії при роздільному (в різних договорах) і комбінованому (в одному договорі) страхування цих двох ризиків за умови неможливості їх спільного настання, порівняйте і зробіть висновки.

Рішення

Ризикова премія - математичне очікування виплат страховика (2.3) (відповідно до принципу еквівалентності страхування): РП = M (F).

а) Роздільне страхування

При викраденні страхова сума S = С = 10 000 у.о. виплачується повністю, отже, ризикова премія буде дорівнює:

При настанні страхового випадку В (аварії) збиток розподілений рівномірно, відшкодовується повністю, тобто Y = X, отже:

Таким чином, страхуючи ці ризики в різних компаніях або різних договорах, страхувальник заплатить сумарну премію

б) Комбіноване страхування

Якщо страхувальник застрахував майно від двох ризиків в одному договорі, за умови неможливості їх спільного настання, необхідно перерахувати ймовірності з умовою, що події А і В не можуть відбутися одночасно: [(/ Wl) + (/ Wj)].

Тоді сумарна премія по такому комбінованому договору:

Отже, уклавши договір від двох ризиків одночасно, страхувальник заощадив 600 - 585 = 15 у.о.

Отже, облік ймовірностей несумісних з точки зору теорії ймовірностей страхових подій допомагає страховику знижувати страхові тарифи без зниження надійності своєї роботи, а страхувальникові - економити на страхової премії.

  • [1] Корнілов І. А. Указ. соч.
  • [2] Каас Р., Гувертс М, Дене Ж., подінуться М. Сучасна актуарна теорія ризику: пров. з англ. М .: Янус-К, 2007.
  • [3] Вентцель E. С. Теорія ймовірностей. М.: КноРус, 2010 року; Мхітарян В. С., Астаф'єва Е. В., Міронкіна Ю. М., Трошин Л.І. Теорія ймовірностей і математична статистика / під ред. В. С. Мхітаряна. М.: Изд-во МФПА, 2011 року.
  • [4] Мхітарян В. С., Астаф'єва Е. В., Міронкіна К). Н "Трошин Л. І. Теорія ймовірностей і математична статистика / під ред. В. С. Мхітаряна. М .: Изд-во МФПА, 2011 року.
 
<<   ЗМІСТ   >>