Повна версія

Головна arrow Техніка arrow Прикладна механіка

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

СТІЙКІСТЬ СТИСНУТИХ СТЕРЖНІВ

Стійкість стрижнів, що працюють в межах пружності

Розглянемо умови рівноваги кульки (рис. 2.44, а - в). Якщо кульці дати мале відхилення в горизонтальному напрямку, то в першому випадку він повернеться в початкове положення (стан стійке), у другому - не повернеться (нестійке становище), а в третьому випадку відкотиться в сторону і зупиниться (положення байдужої рівноваги). Аналогічні явища спостерігаються і в пружних тілах.

Мал. 2.44

Нехай стрижень навантажений поздовжньою силою f (рис. 2.45). Докладемо до стрижня малу бічну силу і знімемо її. Як і у випадках з кулькою (див. Рис. 2.44), після зняття навантаження стрижень може: 1) повернутися у вихідне положення; 2) не повернутися в початкове положення; 3) залишитися викривленим, тобто пружний стрижень може мати три стани: стійке, нестійке і байдуже стан рівноваги. Ці три положення, однак, тут істотно залежать від сили F і геометричних розмірів стрижня. Аналогічні явища спостерігаються і в багатьох тонкостінних пружних системах, оболонках, пластинах тощо. При деякому значенні сили F. званому критичним , стрижень нс випрямиться, а збереже викривлене становище, тобто байдуже стан рівноваги. При незначному перевищенні критичної сили стержень почне сильно скривлюватися і руйнуватися. Допустима величина поздовжньої сили

(2.96)

де - запас стійкості, який часто задається приблизно рівним запасу міцності по відношенню до межі текучості:

Мал. 2.45

Критичне напруження стисненого стержня може бути і менше межі пружності, і більше.

Вперше завдання стійкості стиснутого стрижня була вирішена Л. Ейлером в 1744 р Він вивів формулу критичної сили для довгих стрижнів, що працюють в межах пружності, з розгляду криволінійної форми рівноваги стрижня при постійному навантаженні. Формула Ейлера має вигляд

(2.97)

де Е - модуль пружності матеріалу; - Мінімальний момент інерції перерізу стержня; - Довжина стержня;

- Коефіцієнт приведення довжини стержня, що залежить від числа напівхвиль п викривленого стрижня, в свою чергу залежать від виду закріплення стержня (рис. 2.46).

Мал. 2.46

Обчислимо за формулою Ейлера критичні напруги:

(2.98)

Прийнято позначати, де - радіус інерції перерізу.

Тоді формула (2.98) приймає вид

(2.99)

де - стійкість.

Якщо позначити значення гнучкості стрижня, при якому критичне напруження сягає межі пружності , то з формули (2.99) отримаємо

(2.100)

Формула Ейлера застосовується в межах пружності матеріалу стержня , тобто для гнучкості, великих критичних .

Стійкість стрижнів за межами пружності

Для кожного матеріалу можна побудувати графік критичних напружень , користуючись механічними характеристиками матеріалу.

Графік критичних напружень (рис. 2.47) має три області:

I - область пластичних деформацій, в якій працюють короткі стійки (стрижні) на стиск. Тут втрати стійкості не відбувається і за приймається ;

II - область пружно-пластичних деформацій. Критичні напруги в цій області визначаються за формулою Ясинського (рівняння прямої лінії):

(2.101)

де а b - коефіцієнти рівняння прямої лінії.

Так як пряма А В з'єднує точки А і В, то, підставивши координати точок Л і В у рівняння (2.101), отримаємо коефіцієнти а і b ;

III - область пружних деформацій - область Ейлера. Тут визначається, по формулі Ейлера, вираженої в напружених (2.99).

Розглянемо завдання на визначення критичних напружень.

Завдання 2.1. Задана стійка за формою і розмірами. Відомий матеріал. Потрібно знайти критичну навантаження.

Завдання можна вирішити за допомогою кривої критичних напружень. У будь-якому випадку визначаємо , потім . Далі знаходимо гнучкість стійки по обчисленому раніше мінімальному радіусу інерції . При цьому значення і А беруть з таблиць або обчислюють.

За знайденою гнучкості встановлюють, в якій області працює стійка, і в залежності від цього визначають по з-

Мал. 2.47

відповідної формулою для σκρ або за графіком. Знайшовши , визначають . Якщо заданий запас стійкості, знаходять допустиме навантаження по формулі (2.96).

Завдання 2.2. Відомі гранична допустима сила і запас стійкості ,, тобто відома . Дано конструкція стійки, се матеріал. Потрібно визначити розміри перетину.

Це завдання - невизначена, оскільки не можна знайти , де , оскільки і А невідомі.

В цьому випадку задаються розмірами перетину і вирішують пряму задачу (тип перший). Визначають значення і порівнюють із заданим. Якщо отримане значення більше заданого, беруть менший перетин і знову визначають ; якщо отримане значення менше заданого - збільшують розтин. Таким чином за допомогою декількох проб визначають потрібні розміри перетину.

 
<<   ЗМІСТ   >>