Повна версія

Головна arrow Техніка arrow Прикладна механіка

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ВИГИН

Основні поняття

Вигином називається деформація , пов'язана з викривленням осі бруса (або зміною його кривизни). Прямий брус, сприймає в основному згинатися навантаження, називається балкою. У загальному випадку при вигині в поперечних перетинах балки мають місце два внутрішніх силових фактори: перерізуюча сила Q і згинальний момент . Якщо в поперечних перетинах балки діє тільки один силовий фактор , а , то вигин називається чистим. Якщо в поперечному перерізі балки діють згинальний момент і поперечна сила, то вигин називається поперечним.

Згинальний момент і поперечна сила Q визначаються методом перетинів. У довільному поперечному перерізі бруса величина Q чисельно дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на вертикальну вісь всіх зовнішніх (активних і реактивних) сил прикладених до відтятою частини; вигинає момент в довільному поперечному перерізі бруса чисельно дорівнює алгебраїчній сумі моментів всіх зовнішніх сил і пар сил, розташованих по одну сторону від розтину.

Для системи координат, ноказанно) на рис. 2.25, вигинає момент від навантажень, розташованих в площині хОу, діє щодо осі г, а перерізуюча сила - у напрямку осі у. Тому позначимо перерізає силу ,, вигинає момент

Якщо поперечне навантаження діє так, що її площина збігається з площиною, що містить одну з головних центральних осей інерції перетинів, то вигин називається прямим.

Для вигину характерні два види переміщень:

  • • викривлення поздовжньої осі бруса Ох, відповідне переміщенням точок осі бруса в напрямку Оу,
  • • поворот в просторі одного поперечного перерізу відносно іншого, тобто поворот перетину щодо осі г в площині XОу.

Мал. 2.25

Диференціальні і інтегральні залежності при вигині

Нехай на балку діє безперервна розподілене навантаження q (x) (рис. 2.26, а). Двома поперечними перетинами т-т і п-п виділимо ділянку балки довжиною dx. Вважаємо, що на цій ділянці д (х) = const через малість довжини ділянки.

Внутрішні силові фактори і , що діють в перерізі п-п, отримують деякий приріст і дорівнюватимуть . Розглянемо рівновагу елемента (рис. 2.26, б):

а) , звідси

(2.68)

б)

Мал. 2.26

Член можна опустити, так як він має другий порядок малості в порівнянні з іншими. тоді

(2.69)

Підставляючи рівність (2.69) в вираз (2.68), отримуємо

(2.70)

Вирази (2.68) - (2.70) називаються диференціальними залежностями при згині балки. Вони справедливі тільки для балок з спочатку прямолінійною поздовжньою віссю.

Правило знаків для і носить умовний характер:

  • вважаються позитивними, якщо вони прагнуть повернути елемент балки за годинниковою стрілкою. На рис. 2.27 , а, б показані позитивні іотріцательние напрямки
  • • Згинальний момент вважається позитивним, якщо елемент балки згинається опуклістю вниз, тобто його стислі волокна розташовані у верхній частині. На рис. 2.27, в, г представлені напрямки , прийняті за позитивні і негативні.

Графічно і зображуються у вигляді епюр. Позитивні значення відкладаються вгору від осі бруса, негативні - вниз.

Мал. 2.27

Нормальні напруги при чистому вигині балки

Розглянемо модель чистого вигину (рис. 2.28, а, б). Після закінчення процесу навантаження поздовжня вісь балки X скривиться, а її поперечним перерізом повернуться щодо свого початкового положення на уголг / О. Для з'ясування закону розподілу нормальних напружень по поперечному перерізі балки приймемо такі припущення:

  • • при чистому прямому згині сира ведливость гіпотеза плоских перетинів: поперечні перерізи бруса, плоскі і нормальні до його осі до деформації, залишаються плоскими і нормальними до його осі під час і після деформації;
  • • волокна бруса при його деформації не натискайте один на одного;
  • • матеріал працює в межах пружності.

В результаті деформації вигину вісь х скривиться і перетин повернеться щодо умовно защемленного перетину на кут . Визначимо поздовжню деформацію довільного волокна АВ, розташованого на відстані у від поздовжньої осі (див. Рис. 2.28, а).

Нехай - радіус кривизни осі бруса (див.рис. 2.28, б). Абсолютна подовження волокна АВ одно . Відносне подовження цього волокна

Так як згідно допущенню волокна один на одного не натискають, то вони знаходяться в стані одноосного розтягу або стиску. Використовуючи закон Гука, отримаємо залежність зміни напружень по поперечному перерізі Баткен:

(2.71)

Величина постійна для даного перетину, тому змінюється по висоті перерізу залежно від координа-

Мал. 2.28

Мал. 2.29

ти у. При вигині частина волокон бруса розтягується, частина - стискається. Кордоном між областями розтягування і стиснення є шар волокон, який лише викривляється, не змінюючи своєї довжини. Цей шар називається нейтральним.

Напруги σ * в нейтральному шарі повинні дорівнювати нулю, відповідно Цей результат випливає з виразу (2.71) при . Розглянемо вирази для Оскільки при чистому вигині поздовжня сила дорівнює нулю, то запишемо: (рис. 2.29), а так як ', то , тобто . Звідси випливає, що вісь Οζ є центральною. Ця вісь в поперечному перерізі називається нейтральною лінією. Для чистого прямого вигину Тоді

Оскільки , то

Звідси випливає, що осі Οζ і Оу розтину є не тільки центральними, а й головними осями інерції. Це припущення робилося вище при визначенні поняття "прямий вигин". Підставивши у вираз для згинального моменту значення з виразу (2.71), отримаємо

або , (2.72)

де - момент інерції відносно головної центральної осі перетину Οζ.

Підставляючи рівність (2.72) в вираз (2.71), отримуємо

(2.73)

Вираз (2.73) визначає закон зміни напруги в перетині. Видно, що змінюється не по координаті 2 (тобто по ширині перетину нормальні напруги постійні), а по висоті перерізу залежно від координати у

Мал. 2. 30

(рис. 2.30). Значення виникають в волокнах, найбільш віддалених від нейтральної лінії, тобто при . Тоді . Позначивши , одержимо

(2.74)

де - момент опору перерізу вигину.

Скориставшись формулами для головних центральних моментів інерції основних геометричних форм перетинів, отримаємо такі вирази для :

• прямокутний перетин: , де - сторона, паралельна осі г; h - висота прямокутника. Так як вісь г проходить по середині висоти прямокутника, то

Тоді момент опору прямокутника

  • • коло: . Так як , то
  • • кільце: , де - відповідно зовнішній і внутрішній діаметри кільця; . Тоді .
 
<<   ЗМІСТ   >>