Повна версія

Головна arrow Техніка arrow Прикладна механіка

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНИХ ПЕРЕРІЗІВ

Статичні моменти

При розрахунку стрижнів на розтягнення використовують таку геометричну характеристику перетину, як площа. При вирішенні завдань, пов'язаних з вигином і крученням, потрібне знання деяких інших геометричних характеристик перерізів, до яких відносяться статичні моменти і моменти інерції.

Визначимо статичні моменти перерізу відносно ортогональних осей Ох і Оу. Положення елементарної площі визначається координатами х і у (рис. 2.11). Твори xdA і ydА можуть служити для оцінки розташування елементарної площі dA щодо осей x і у.

Інтеграли творів площ елементарних площадок dA па відстані їх центрів тяжіння від осей Ох

Мал. 2.11

Мал. 2.12

і Оу називаються статичними моментами перетину щодо цих осей і позначаються відповідно і :

(2.24)

Залежно від розташування перетину щодо осей координат статичні моменти можуть бути позитивними, негативними і рівними нулю. Будь-яка вісь, що проходить через центр ваги перерізу, називається центральною. Статичний момент щодо центральної осі дорівнює нулю. Статичні моменти служать для визначення положення центра ваги перерізу.

Центр ваги перерізу

Нехай геометричне тіло постійної товщини має вигляд, показаний на рис. 2.12. Потрібно визначити положення центра ваги цього тіла відносно осей Ох і Оу. Розіб'ємо дане тіло на дві призми. Знайдемо положення їх центрів тяжіння, вважаючи, що ваги цих елементів і . Складемо рівність моментів і та їх рівнодіюча R відносно точки О:

де - відстань від центра ваги тіла до осі Оу, і - відстані від центрів тяжіння елементів до осі Оу. Так як , то

(2.25)

Підставивши значення де - товщі

на тіла; - Питома вага, в формулу (2.25), отримаємо

(2.26)

Якщо подумки повернути тіло на 90 ° і скласти рівняння моментів, отримаємо відстань від центру ваги всього тіла до осі Ох:

(2.27)

де і - відстані від центра ваги елементів до осі Ох.

оскільки

то координати центра ваги перерізу визначаються виразами

(2.28)

Якщо перетину розбити більш ніж на два елементи, формули (2.26) і (2.27) приймуть вид

(2.29)

За формулами (2.28) або (2.29) визначається положення центра ваги плоских перетинів, при цьому осі Ох і Οι. / Доцільно проводити по краях розтину.

Моменти інерції

Осьовими моментами інерції перетину щодо ортогональних осей Ох і Оу називаються інтеграли виду

(2.30)

Осьові моменти інерції завжди позитивні.

Відцентровим моментом інерції перетину щодо ортогональних осей Ох і Оу називається інтеграл виду

(2.31)

Відцентровий момент може бути позитивним, негативним або рівним нулю.

Положення елементарної площадки можна визначити в полярній системі координат за допомогою радіуса-вектора і полярного кута (див. Рис. 2.11). Полярним моментом інерції перетину називається інтеграл виду

(2.32)

Оскільки , то полярний момент інерції дорівнює сумі двох осьових моментів інерції щодо ортогональної системи координат, що має початок в полюсі:

Припустимо, відомі моменти інерції перетину щодо центральних осей х і у (рис. 2.13).

Потрібно знайти моменти інерції щодо паралельних осей і . За визначенням,

Оскільки як статичний момент щодо центральної осі х, то

(2.33)

де - момент інерції відносно центральної осі χ •, b - відстань між паралельними осями х і .

аналогічно

(2.34)

(2.35)

Зауважимо, що формули (2.33) - (2.35) справедливі, коли осі X і у центральні.

Нехай відомі моменти інерції щодо осей x і у. Потрібно визначити моменти інерції щодо осей і і ν, повернених на кут а по відношенню до осей х і у (рис. 2.14).

Встановивши зв'язок між координатами X, у і і, ν:

Мал. 2.13

Мал. 2.14

(2.36)

можемо записати:

(2.37)

аналогічно

(2.38)

(2.39)

Формули (2.37) - (2.39) дозволяють безпосередньо обчислити моменти інерції щодо осей, повернутих на кут α відносно осей з заданими моментами інерції. Складаючи почленно вираження (2.37) і (2.38), отримаємо

(2.40)

Вираз (2.40) показує властивість інваріантності осьових моментів інерції: сума осьових моментів інерції не змінюється при повороті осей координат. Це властивість можна використовувати для перевірки правильності обчислення і по відомим і .

Осі, відносно яких осьові моменти інерції приймають екстремальні значення, а відцентровий момент дорівнює нулю, називаються головними . Осьові моменти інерції щодо головних осей називаються головними моментами інерції . З рівності (2.40) випливає, що якщо осьовий момент інерції щодо однієї осі приймає максимальне значення, то момент інерції щодо осі, перпендикулярної даної, приймає мінімальне значення.

Екстремальні значення осьових моментів інерції і значення кута повороту осей , при якому вони досягаються, визначаються з умов і . Досить скористатися одним з цих умов:

(2.41)

Прирівнюючи вираз (2.41) нулю і вважаючи , отримаємо

(2.42)

Підставляючи отримане значення з виразу (2.42) у формули (2.37) і (2.38), маємо екстремальні значення для і :

(2.43)

Підставляючи значення а0 в вираз (2.39), отримаємо . Для симетричного перетину ,

де - площі перетинів, розташованих по обидві сто

ку від осі симетрії. Оскільки для майданчиків зліва і праворуч від осі симетрії твори координат розрізняються лише знаком, то , звідки

Момент інерції прямокутника (рис. 2.15) щодо головних центральних осей zuy

аналогічно

Момент інерції трикутника (рис. 2.16)

Так як , то , тоді

Відповідно до рівністю (2.33) отримаємо

Мал. 2.15

Мал. 2.16

Полярний момент інерції кола (рис. 2.17)

Оскільки , то для кола осьової момент інерції

Осьової момент інерції кільця

де - зовнішній діаметр; - Внутрішній діаметр кільця. Позначивши , одержимо

Мал. 2.17

 
<<   ЗМІСТ   >>