Повна версія

Головна arrow Техніка arrow Прикладна механіка

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

РОЗТЯГУВАННЯ І СТИСНЕННЯ

Визначення нормальної сили

Центральне розтягнення (стиснення) - одне з найбільш простих видів навантаження. Методом перетинів в поперечному перерізі бруса виявляється тільки один внутрішній силовий фактор - нормальна сила. Її вектор перпендикулярний до поперечного перерізу і спрямований уздовж поздовжньої осі бруса. Брус, що працює на розтяг-стиск, прийнято називати стрижнем .

Згідно з методом перетинів величина і напрямок поздовжньої сили визначаються з рівняння рівноваги, складеного для відтятою частини бруса:

(2.9)

Таким чином, поздовжнє (нормальна) сила про довільному перерізі бруса чисельно дорівнює алгебраїчній сулеме проекцій па поздовжню вісь всіх зовнішніх (активних і реактивних) сил, прикладених до відтятою частини.

У загальному випадку

(2.10)

де - інтенсивність навантаження, розподіленої вздовж осі бруса на ділянці від 0 до .

Поздовжня сила вважається позитивною, якщо вона викликає розтягнення, тобто направлена від розтину. У поперечному перерізі бруса вона є рівнодіюча внутрішніх нормальних сил, що виникають в цьому перерізі.

Графік функції називається епюр нормальних сил . З виразу (2.10) випливає, що

(2.11)

тобто інтенсивність розподіленого навантаження в кожному перетині дорівнює за величиною і знаку тангенсу кута нахилу дотичної до епюрі у відповідній розглянутого перетину точці епюри.

Нормальні напруги і деформації

При розтягуванні (стисканні) бруса в поперечних перетинах виникають тільки нормальні напруги. Щоб завдання визначення по відомим N А мала єдине рішення, необхідно встановити закон розподілу σ ( x ) по перетину. Для цього використовується гіпотеза плоских перетинів (гіпотеза Бернуллі) : перетину бруса, плоскі і нормальні до його осі до деформації, залишаються плоскими і нормальними до його осі і при деформації. Поперечні перерізи лише переміщаються уздовж осі, залишаючись паралельними один одному.

Припустимо, брус складається з нескінченно великого числа поздовжніх волокон. З гіпотези Бернуллі випливає, що всі волокна деформуються однаково. Оскільки, відповідно до закону Гука, рівним деформацій відповідають рівні напруги, то при розтягуванні (стисканні) бруса нормальні напруги рівномірно розподіляються по поперечному перерізі, тобто ;.

Як відомо, . Так як , то . Звідси

(2.12)

Позитивними вважаються напрямки , відповідні розтягування.

У перетинах бруса, що примикають до місця докладання зовнішніх сил і до закріплення, розподіл напружень залежить

Мал. 2.7

від способу прикладання навантаження і може бути нерівномірним. Тому гіпотеза плоских перетинів в цих місцях невірна.

Розглянемо однорідне напружений стан бруса, коли напруги не змінюються по довжині (рис. 2.7).

Зміна лінійних розмірів називається абсолютним подовженням ; ставлення - відносним подовженням або лінійною деформацією .

У разі неоднорідного напруженого стану лінійна деформація визначається виразом , де - приріст відрізка .

Між лінійними деформаціями і викликають їх напруженнями існує зв'язок, обумовлена пружними властивостями матеріалу. Цей зв'язок визначається законом Гука:

(2.13)

де Е - модуль пружності матеріалу.

Розглянемо вираз . Відповідно до формули (2.13) отримаємо ; оскільки

Звідси зміна довжини всього бруса

(2.14)

Твір НА називається жорсткістю бруса при розтягуванні (стисканні).

Якщо закони зміни N і А різні для окремих ділянок бруса, то

(2.15)

де - число ділянок.

В окремому випадку, коли N та А постійні по довжині бруса, отримуємо формулу Гука у вигляді

(2.16)

Отже, переміщення i- го перетину з координатою х щодо нерухомого перетину

(2.17)

Аналогічно можна записати

(2.18)

де - переміщення початкового перетину щодо закладення.

Нехай перетин бруса (див. Рис. 2.7) має форму прямокутника зі сторонами а і b, тоді при розтягуванні бруса периметр його зменшиться. Величина характеризує відносну зміну периметра поперечного перерізу і називається поперечної деформацією . Якщо перетин кругле, то . Ставлення поперечної деформації до лінійної величиною постійно для даного матеріалу і називається коефіцієнтом Пуассона :

(2.19)

Для стали і більшості металевих матеріалів . У загальному випадку .

 
<<   ЗМІСТ   >>