Повна версія

Головна arrow Техніка arrow Прикладна механіка

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

Кінематичний аналіз механізмів аналітичними методами

Основні поняття і визначення

Функцією положення будь-якої ланки механізму називається залежність координати, що визначає положення цієї ланки, від узагальненої координати механізму. У механізму шарнірного четирехзвенніка (рис. 1.13) з однієї узагальненої координатою q = φ1 функції положення шатуна ЗС і коромисла CD мають вигляд залежностей кутових координат цих ланок φ2 і φ3 від координати φ1:

Для механізму з п ступенями свободи функція положення k -го ланки є функцією відповідного числа узагальнених координат

(1.12)

де - узагальнені координати механізму.

Залежність (1.12) описує функцію положення ланки, що здійснює обертальний рух. Якщо ланка рухається поступально, то його функція положення представляється у вигляді залежності лінійної координати будь-якої його точки Sk. від узагальнених координат механізму:

(1.13)

Функцію положення не завжди вдається отримати у вигляді явної залежності (1.12) або (1.13). У загальному випадку вона описується рівняннями

(1.14)

Аналогом швидкості точки будь-якої ланки механізму називається перша похідна радіуса-вектора цієї точки по узагальненій координаті. Припустимо, - радіус-вектор k -й точки ланки механізму з одним ступенем свободи. З огляду на, що узагальнена координата q є деякою функцією часу, знайдемо швидкість k- й точки ланки

Тут - аналог лінійної швидкості k -й точки ланки; - Узагальнена швидкість механізму.

Аналогом кутової швидкості будь-якої ланки механізму називається перша похідна кутової координати цієї ланки по узагальненій координаті. Якщо положення г-го ланки механізму з одним ступенем свободи визначається кутовий координатою , то кутову швидкість його можна визначити наступним чином:

де - аналог кутової швидкості i -го ланки механізму.

Мал. 1.13

Аналогом прискорення точки будь-якої ланки механізму називається друга похідна радіуса-вектора цієї тонкі по узагальненій координаті механізму. У розглянутому вище прикладі для механізму з одним ступенем свободи прискорення k-й точки ланки визначається виразом

Тут - аналог прискорення k-й точки ланки; q - узагальнене прискорення механізму.

Аналогом кутового прискорення будь-якої ланки механізму називається друга похідна кутової координати цієї ланки по узагальненій координаті. Кутове прискорення i -го ланки механізму знаходимо наступним чином:

Тут - аналог кутового прискорення г-го ланки.

Аналоги швидкостей і прискорень застосовують при дослідженні динаміки механізмів. Попереднє перебування їх полегшує визначення законів руху ланок механізму.

Приклади розв'язання задач аналітичними методами

Як зазначалося вище, аналітичні методи кінематичного аналізу механізмів відрізняються більшою розмаїтістю і використовують математичний апарат аналітичної геометрії, тензорно-матричних, векторних та інших операцій. Широке поширення отримали векторні аналітичні методи кінематичного аналізу. Вони ефективні, універсальні і дозволяють вирішувати задачі кінематики механізмів з досить складною структурою. До числа таких методів відноситься погруппний векторний метод кінематичного аналізу плоских механізмів, що викладається нижче на прикладі рішення задач кінематики механізмів 2-го класу.

Погруппний метод, запропонований в роботі [15], спирається на структурну класифікацію механізмів по Ассуру- Артоболевська і призначений для вирішення завдань кінематичного аналізу плоских механізмів різної структури. Алгоритм методу побудований таким чином, що завдання кінематичного аналізу вирішуються спочатку в загальному вигляді, без урахування конкретної схеми механізму. З цією метою застосовують розрахункові формули для різних видів груп Ассура.

Потім виконують нескладну прив'язку отриманих загальних рішень до заданого механізму. Для уніфікації розрахункових формул рекомендується вводити такі позначення кінематичних пар структурної групи і ланок (рис. 1.14): У і D - зовнішні (кінцеві) пари; З - внутрішня (середня) пара; i - номер ланки ВС; k - номер ланки CD; - Номери ланок механізму, до яких приєднується група.

Положення ланок структурної групи залежить від положення зовнішніх обертальних пар і осей зовнішніх поступальних пар, а також від прийнятої збірки групи.

Завдання про положеннях для структурної групи 2-го класу першого виду. Положення зовнішніх кінцевих кінематичних пар В і D групи визначаються радіусами-векторами і (див. Рис. 1.14). Зв'язавши зі стійкою довільну систему координат хОу, можна знайти координати кінцевих пар . Взаємне розташування кінцевих пар групи визначається вектором (див. Рис. 1.14) з проекціями

Знаходження кутового положення ланок групи пов'язано з визначенням одиничних векторів і осей ланок i і k, спрямованих в бік середньої пари С. Завдання про положеннях ланок групи вважається вирішеною, якщо визначені проекції векторів і на осі Ох, Оу, за значеннями яких знаходяться кути і , утворені відповідними ланками з віссю Ох. Наприклад, якщо в результаті рішення завдання визначені і , то кут, про

утворених ланкою i з віссю Ох, буде дорівнює

де

Завдання про положеннях має два рішення, що відповідають двом можливим збірок групи BCD і BCD, симетрично

Мал. 1.14

вим щодо вектора (див. рис. 1.14). Щоб їх розрізняти між собою, вводиться додатковий вектор ", ортогональний вектору і побудований шляхом повороту останнього на кут 90 ° проти годинникової стрілки. У збірки BCD проекція вектора на напрямок вектора n позитивна, а у збірки BCD - негативна. Тому розрізняти можливі збірки групи можна за допомогою критерію, пов'язаного зі знаком параметра

(1.15)

Параметр приймає значення +1 для збірки BCD і -1 для збірки BCD. Зміна збірки групи можливо лише при переході через особливе становище, в якому точки В, С і D розташовуються на одній прямій, тобто коли

Для виведення розрахункових формул завдання про положеннях запишемо умову замкнутості векторного контуру , що визначає відносне положення кінцевих пар групи:

За допомогою векторів і ця умова можна представити у вигляді такої системи:

(1.16)

де - довжини ланок i і k.

В системі (1.16) перше рівняння рівносильне двом скалярним рівнянням, записаним в проекціях на осі Ох і Оу. У зв'язку з цим вся система еквівалентна чотирьом скалярним рівнянням і дозволяє визначити проекції двох невідомих векторів і

Для визначення вектора проведемо наступні перетворення системи (1.16). Перепишемо першого рівняння системи у вигляді і зведемо обидві його частини в скалярний квадрат. В результаті отримаємо

Дозволивши це рівність щодо твору , матимемо

(1.17)

де

З розгорнутої записи рівнянь системи (1.17)

(1.18)

очевидно, що перше рівняння лінійно щодо проекції вектора , а друге є рівнянням другого ступеня щодо цих проекцій.

Система (1.18) має два рішення, що відповідають двом можливим збірок групи. Шукане рішення визначає знак параметра . З першого рівняння системи знаходимо

(1.19)

Підставивши вираз (1.19) у друге рівняння системи (1.18), отримаємо квадратне рівняння в якому . Вирішуючи це рівняння, отримаємо

або

(1.20)

де ε - коефіцієнт, значеннями якого можуть бути +1 або -1;

Знайдемо зв'язок між коефіцієнтом ε і параметром , який введений виразом (1.15). Якщо вектор утворює з віссю Ох кут , то кут між вектором і цією віссю дорівнює . Маючи на увазі, що , для проекцій вектора п отримаємо

(1.21)

Взявши до уваги, що параметр визначає знак скалярного твори , з урахуванням виразів

(1.21) знаходимо

Уявімо цей вислів за допомогою формул (1.19) і

(1.20) у вигляді

(1.22)

Звідси

З огляду на отриманий результат в формулах (1.19) і (1.20), запишемо остаточні розрахункові залежності, що визначають положення ланки k:

(1.23)

В особливих положеннях групи, коли і, отже, .

Для виведення розрахункових залежностей, що визначають положення ланки i, вирішимо систему (1.16) щодо :

і запишемо проекції цієї рівності на осі Ох і Оу:

(1.24)

Завдання про швидкостях для структурної групи 2-го класу першого виду. У задачі про швидкостях визначенню підлягають похідні одиничних векторів і . Відомими вважаються довжини ланок і вектор

Для виведення виразів, що визначають вектори і , продифференцируем за часом рівняння системи (1.16):

(1.25)

Обидві частини першого рівняння (1.25) помножимо скалярно на вектор . В результаті це векторне рівняння перетворюється в скалярний, в якому другий доданок дорівнюватиме нулю, і замість системи (1.25) будемо мати систему

(1.26)

Ця система лінійна щодо вектора . Розгорнувши і вирішивши систему (1.26), отримаємо

(1.27)

де

Нескладний аналіз показує, що в особливих положеннях групи, коли ланки розташовуються на одній прямій (тобто коли е) = або е = -¾) завдання про швидкостях стає невизначеною. Для цих положень в рівняннях (1.27) з = 0 і визначник звертається в нуль.

Після визначення проекцій вектора <4 з першого рівняння системи (1.25) знаходимо вектор

(1.28)

Завдання про прискорення для структурної групи 2-го класу першого виду. У задачі про прискорення визначенню підлягають другі похідні одиничних векторів е, " і е)". Відомими вважаються довжини ланок /, •, 4 і вектор р "= = г £ - го.

Диференціюючи за часом рівності (1.25), отримаємо наступну систему рівнянь:

(1.29)

Обидві частини першого рівняння (1.29) помножимо скалярно на вектор е і замість твори е {е " підставимо праву частину третього рівняння системи. Додавши до отриманого таким чином рівності друге рівняння (1.29), матимемо

Розгорнувши ліві частини цих лінійних щодо вектора е £ рівнянь і вирішивши систему, приходимо до розрахункових формулах завдання про прискорення:

(1.30)

де

Розрахункові формули для вектора е " записуються з першого рівняння системи (1.29):

(1.31)

Завдання про положеннях для структурної групи 2-го класу другого виду. На схемі групи другого виду вибираються напрямок орта й осі поступальної пари D і точка D °, від якої вимірюється величина s = D [) D, що визначає положення повзуна (рис. 1.15). У задачі про положеннях потрібно знайти орт е) осі ланки i і координату s.

Відомими вважаються орта, розміри і вектор з проекціями

Вектор ортогонален до осі поступальної пари D і утворює з ортом цієї осі й кут а = + 90 ° (див. Рис. 1.15). Знак кута а залежить від вибору напрямку вектора й, що можна висловити рівністю

(1.32)

де μ = ± 1.

У групи можливі дві збірки: BCD і BCD ', симетричні щодо відрізка BE, який перпендикулярний осі DD'. При цьому в одній з збірок орт е, утворює з ортом й (віссю поступальної пари) гострий кут, а в іншій - тупий. Отже, можливі збірки групи можна розрізняти за знаком скалярного твори е; ї, тобто за допомогою параметра

(1.33)

Зміна збірки групи пов'язано з переходом через особливе становище, в якому є-, ύ = 0.

Для виведення розрахункових формул рішення задачі про положеннях використовуємо таку умову замкнутості векторного контуру :

або

Вводячи позначення , отримаємо систему рівнянь

(1.34)

Тут вектор є невідомою величиною.

Висловимо його через проекції вектора й, для чого вирішимо допоміжну задачу. Визначимо проекції вектора h на осі 0.г, Оу через проекції і х і і у вектора й. Відомим счита- тается кут а між векторами h і й. Позначивши через φ

Мал. 1.15

кут, який утворює орт з віссю Ох, запишемо вираження для проекцій на осі Ох, Оу вектора к.

(1.35)

Так як - одиничний вектор осі D ° D, то його проекціями будуть . Розгорнувши формули (1.35), отримаємо

(1.36)

Відповідно до рівності (1.32) Тому остаточно будемо мати

Тепер можна визначити проекції вектора >:

(1.37)

Повертаючись до системи (1.34), подамо її в скалярною формі:

Ця система має два рішення щодо шуканих величин і s. Уявімо перше з рівнянь системи (1.34) у вигляді

(1.38)

Зведемо обидві частини цієї рівності в квадрат і врахуємо, що . В результаті отримаємо квадратне рівняння

, звідки

або (1.39)

Тут Коефіцієнт може приймати значення +1 або -1.

Встановимо зв'язок між коефіцієнтом і параметром , тобто визначимо, яке з двох рішень слід вибрати в залежності від прийнятої збірки групи. Помноживши обидві частіуравненія (1.38) скалярно на вектор , отримаємо . Після підстановки в це рівність вирази (1.39) будемо мати

(1.40)

Скалярний твір (як і будь-яка алгебраїчна величина) може бути представлено у вигляді

Підставивши цей вираз в праву частину рівності (1.40), отримаємо , звідки випливає, що . Тоді з виразу (1.39) отримаємо розрахункову формулу для координати s, що визначає положення повзуна:

(1.41)

Існують положення групи, коли подкоренное вираз у формулі (1.41) звертається в нуль.

Розрахункова формула для вектора , що визначає кутове положення ланки ВС, виходить безпосередньо з першого рівняння системи (1.34):

(1.42)

Рішення задач про швидкостях і прискореннях для структурних груп 2-го класу другого і наступних видів проводиться за тією ж методикою, що і для груп першого виду, і в подальшому викладі буде опущено.

Завдання про положеннях для структурної групи 2-го класу третього виду. У цій групі орт осі ланки k спрямований в бік поступальної нари З (рис. 1.16). Обертальна пара В залежно від складання може розташовуватися по одну (рис. 1.16, а) або іншу сторону від осі CD (рис. 1.16, б).

Кут а між вектором і ортом виражається рівністю (1.32).

У задачі про положеннях відомі розмір h = СВ, коефіцієнт і вектор з проекціями

(1.43)

Потрібно визначити змінюваний размерs = DC і вектор . З замкнутого векторного контуру отримуємо систему

(1.44)

Мал. 1.16

Зводячи в квадрат обидві частини першої рівності системи (1.44), отримаємо

(1.45)

де

Звідси маємо розрахункову формулу

(1.46)

Визначимо проекції вектора , висловлюючи їх через його модуль h і проекції орта . Скористаємося рішенням допоміжної завдання, розглянутої вище при виведенні розрахункових формул завдання про положеннях для структурних груп 2-го класу другого виду. Підставивши в равенствах (1.36) і , відповідно, замість і .Одержимо

(1.47)

Для запису розрахункових формул проекцій орта k -го ланки спроеціруем перше рівняння системи (1.44) на осі Од; Оу (див. Рис. 1.16, а) і підставимо замість проекцій вектора І їх вираження з формул (1.47):

(1.48)

Вирішуючи (1.48), знаходимо

Завдання про положеннях для структурної групи 2-го класу четвертого виду. На кінематичній схемі групи точками В і D позначені крайні поступальні пари групи, точкою С - середня обертальна пара (рис. 1.17). Напрямки осей поступальних пар позначені ортами і . Точки і обрані в якості початку відліку координат і . Кути між векторами і і відповідно рівні де

Потрібно визначити координати і μ Відомими є розміри , орт і вектор з проекціями

(1.49)

Мал. 1.17

Для виведення розрахункових формул висловимо проекції векторів і через проекції векторів і . Звернувшись до рівності (1.36), матимемо

(1.50)

Умова замкнутості векторного контуру виражається рівнянням

(1.51) де

Проектуючи рівняння (1.51) на осі координат, знаходимо

(1.52)

Звідси, використовуючи рівності (1.50), визначимо проекції вектора :

Вирішуючи систему (1.52), отримаємо розрахункові формули завдання про положеннях структурної групи 2-го класу четвертого виду:

(1.53) де

Завдання про положеннях для структурної групи 2-го класу п'ятого виду. На схемі групи вибираються напрямки ортов і осей поступальних пар D і С (рис. 1.18). Задаються початку відліку координат точок D і О. точка - початок відліку координати точки D, що визначає положення повзуна , і точка

D - початок відліку координати точки С, що визначає положення повзуна г . Кут а в залежності від розташування шарніра В по відношенню до осі CD може набувати значень, що обчислюються за формулою (1.32).

Мал. 1.18

Відомими вважаються вектор , розмір , кут між векторами і , збірка групи (μ) і вектор з проекціями

Потрібно визначити орт й з і лінійні координати і

Рішення завдання про положеннях групи засноване на використанні рівняння замкнутості векторного контуру , яке записується у вигляді

(1.54) де

Висловимо проекції вектора через проекції орта за допомогою рівності (1.36), а потім перепишемо рівність (1.54) в проекціях на осі Ох, Оу. В результаті отримаємо систему лінійних рівнянь щодо шуканих координат і :

(1.55)

Для вирішення цієї системи висловимо проекції вектора через проекції вектора і кут з

З огляду на ці рівності в системі (1.55), запишемо розрахункові формули для координат і

де

Отримавши розрахункові формули для всіх видів структурних груп 2-го класу, можна переходити до дослідження кінематики будь-яких важелів механізмів 2-го класу. Для цього буде потрібно лише нескладна прив'язка готових розрахунок- них формул до заданого механізму, яка полягає в обчисленні проекцій векторів, що визначають відносне положення зовнішніх кінематичних пар групи.

Завдання про положеннях для дсзаксіалиюго крівошіп- но-ползунного механізму з одним ступенем рухливості. Пояснимо алгоритм вирішення задач кінематичного аналізу на прикладі даного завдання (рис. 1.19).

Механізм складається з ведучого ланки 1, групи Ассура 2-го класу другого виду (ланки 2, 3 ) і стійки 4. В якості узагальненої координати вибираємо кут повороту ведучої ланки . Потрібно забрати аналітичні вирази для функцій положення ланок механізму і визначити абсолютні координати точки К шатуна 2.

Зв'яжемо зі стійкою досліджуваного механізму нерухому систему координат хОу. Для застосування отриманих вище розрахункових формул використовуємо відповідні цим формулам позначення. Номери ланок: кінематичні пари: зовнішні - В і D, середня - С. Вибираємо точку і позитивний напрямок осі поступальної пари - орт . Збірці групи второговіда відповідає параметр , так як вектори і утворюють гострий кут.

Для прийнятого розташування осей системи хОу вектор і має проекції

Обчислюємо проекції вектора :

(1.56)

де - довжина ланки 1.

За допомогою розрахункової формули (1.41), виведеної для групи Ассура 2-го класу другого виду, знайдемо функцію положення повзуна 3. При цьому врахуємо особливість розглянутого механізму і спростимо запис параметрів, що входять в формулу (1.41).

Так як , проекції вектора приймають вид

Прийнявши до уваги значення проекцій вектора , знаходимо

(1.57)

Замінивши у виразах (1.57) проекції вектора за допомогою рівності (1.56) і підставивши отримані вирази

Мал. 1.19

параметрів b і з в формулу (1.41), отримаємо розрахункову формулу для функції положення повзуна 3:

Причому для збірки групи, зображеної на рис. 1.19.

Кутова координата шатуна описується виразом

(1.58) де

Щоб знайти проекції вектора , спроеціруем на осі Ох, Оу рівняння (1.42):

Підставляючи в ці рівності параметри, відповідні даному механізму, отримаємо

(1.59)

Таким чином, вираз (1.58) з урахуванням рівності (1.59) однозначно визначає функцію положення шатуна 2.

Знайдемо абсолютні координати точки / С шатуна, представивши її радіус-вектор наступної сумою (див. Рис. 1.19):

Перепишемо це рівність в проекціях на осі Ох і Оу:

(1.60)

Для розглянутого механізму

Проекції вектора висловимо через проекції орта , для чого використовуємо формули (1.36), що дозволяють уявити проекції одного вектора функціями проекцій іншого вектора і кута між ними:

Підставивши наведені вирази для в рівності (1.60), отримаємо формули для розрахунку абсолютних координат заданої точки До шатуна. Таким чином, завдання про положеннях для розглянутого дезаксіаль- ного кривошипно-ползунного механізму вирішена.

 
<<   ЗМІСТ   >>