Повна версія

Головна arrow Техніка arrow Прикладна механіка

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

КІНЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ МЕХАНІЗМІВ

Завдання і методи кінематичного аналізу

Кінематичний аналіз полягає у визначенні параметрів руху ланок механізму за заданим руху провідних ланок без урахування діючих сил.

Основними завданнями кінематичного аналізу є:

  • • визначення положень ланок механізму і побудова траєкторій окремих точок;
  • • визначення швидкостей точок і кутових швидкостей ланок;
  • • визначення прискорень точок і кутових прискорень ланок.

При вирішенні завдань кінематичного аналізу повинні бути задані:

  • • кінематична схема механізму, а отже, структура механізму і розміри його ланок;
  • • закон руху провідної ланки у вигляді залежності переміщення ланки (лінійного чи кутового) або точки на ньому від часу або інших параметрів руху.

У зв'язку з цим кінематичному аналізу повинно передувати дослідження структури механізму, при якому визначається, скільки, якого класу і в якій послідовності з'єднані структурні групи, що утворюють провідну кінематичну ланцюг механізму. Завдання кінематичного аналізу можуть бути вирішені графічними або аналітичними методами. Вибір методу визначається призначенням розрахунку і необхідною точністю рішення.

Графічні методи засновані на геометричному побудові траєкторій руху окремих точок ланок механізму, їх швидкостей і прискорень. Отримувані результати дають наочну картину руху ланок механізму і його точок. Однак для цих методів характерні трудомісткі побудови і мала точність. Графічними методами не можна отримати загальне рішення, так як необхідні побудови виконуються для кожного конкретного положення механізму.

Аналітичні методи відрізняються великою різноманітністю математичних підходів. Вони засновані на використанні методів аналітичної геометрії, тензорно-матричних операцій, векторного аналізу та ін. Аналітичні методи забезпечують високу точність обчислення шуканих параметрів для кожного моменту часу роботи механізму. Однак в ряді випадків через складність математичних перетворень втрачається наочність картини зміни досліджуваних параметрів. В даний час переважно застосовують аналітичні методи. Проте для попередньої оцінки кінематичних параметрів механізму і контролю аналітичних обчислень використовуються найпростіші геометричні побудови - плани положень, швидкостей і прискорень.

Кінематичний аналіз механізмів графічним методом

Рішення задач про положеннях, швидкостях і прискореннях графічним методом пояснимо на прикладі кінематичного аналізу механізму плоского шарнірного четирехзвенніка (рис. 1.12, а). Механізм має одну ступінь рухливості і складається з ведучого ланки 1 (кривошипа) і стійки О, до яких приєднана одна група Ассура 2-го класу, складена з ланок 2 (шатуна) і 3 (коромисла). За узагальнену координату виберемо кут повороту кривошипа φ1.

Завдання про положеннях (див. Рис. 1.12, а). Вирішити задачу про положеннях, тобто побудувати план положень, - значить графічно зобразити кінематичну схему механізму для

Мал. 1.12

заданого значення координати . Для побудови схеми механізму виберемо масштабний коефіцієнт (м / мм):

де - довжина ланки 1, м; АВ - відрізок, що зображає ланка 1 на кресленні, мм.

Довжини відрізків на кресленні, що зображують ланки механізму, представимо у вигляді

Обчисливши довжини відрізків, простим геометричним побудовою отримаємо план положення механізму для даного значення кута (φ1 (див. Рис. 1.12, а).

Завдання про швидкостях (рис. 1.12, б). Це завдання вирішують методом побудови плану швидкостей. Планом швидкостей (прискорень) називається фігура, складена з векторів абсолютних швидкостей ( прискорень ) точок ланок, що виходять з однієї точки р ( для плану прискорень), званої полюсом плану швидкостей ( прискорень), і векторів відносних швидкостей ( прискорень ), що з'єднують кінці векторів абсолютних швидкостей (прискорень).

Спочатку для заданого положення механізму (задано значення кута ) з відомими розмірами його ланок будується план положень. При заданій кутовий швидкості провідної ланки потрібно визначити кутові швидкості , ω, -j ланок 2, 3, а також швидкості характерних точок В, С і Е ланок механізму (див. Рис. 1.12, а).

Швидкість точки В ланки приводу v B (м / с) і масштабний коефіцієнт (мс_1 / мм) визначаються виразами

Тут (pb) - довжина відрізка, який зображує швидкість па плані швидкостей (вибирається довільно).

Для побудови плану швидкостей складаються два векторних рівняння швидкостей на кожну групу Ассура 2-го класу, починаючи з першої групи, приєднаної до ведучого ланці. Швидкості точок, що належать зовнішнім кинематическим парам групи, відомі: позовом є швидкість точки С, що належить внутрішньої кінематичній парі групи, а отже, ланкам 2 і 3 одночасно.

Перше рівняння швидкостей запишемо, розглянувши рух ланки 2. Шатун 2 здійснює плоскопараллельное рух, тому абсолютну швидкість точки С можна уявити сумою швидкостей переносного і відносного рухів. Переносним рухом є поступальний рух ланки 2 зі швидкістю точки В, а відносним - обертальний рух цієї ланки навколо точки В. Використовуючи теорему додавання швидкостей, маємо

(1.5)

де - вектор швидкості точки С в обертальному руху

ванні ланки 2 відносно точки В.

За аналогією складі другої векторне рівняння швидкостей для руху ланки 3:

(1.6)

де - вектор швидкості точки С в обертальному русі ланки 3 відносно нерухомої точки D.

Прирівнявши праві частини рівностей (1.5) і (1.6), отримаємо рівняння, яке безпосередньо використовується при побудові плану швидкостей:

(1.7)

Для плоскої задачі векторне рівняння рівносильне двом скалярним рівнянням, з яких можна визначити дві невідомі величини і . Їх знаходять побудовою векторних трикутників швидкостей - плану швидкостей.

Побудова плану швидкостей починаємо з вибору полюса: на площині креслення відзначаємо довільну точку р (див. Рис. 1.12, б). З полюса р відкладаємо відрізок (pb) довільної довжини, спрямований перпендикулярно ланці AB в сторону, відповідну напрямку обертання ланки АВ. Потім з точки b проводимо лінію дії вектора , перпендикулярну ланці СВ, і виконуємо побудову векторного трикутника, відповідного правій частині рівняння (1.7). Так як , кінець вектора (точка d на плані швидкостей) збігається з полюсом р. З точки d проводимо лінію дії вектора , спрямовану перпендикулярно ланці CD. Перетин побудованих ліній (точка с) визначає положення кінця вектора швидкості . Вектор швидкості зображується на плані швидкостей відрізком ( cb ).

При визначенні напрямків векторів на плані швидкостей керуємося наступними правилами. Вектор абсалютно швидкості завжди спрямований з полюса; вектор відносної швидкості - до точки плану, що відповідає першій букві індексу в позначенні цієї швидкості. Таким чином, стрілку вектора на плані швидкостей направляємо з точки b в точку с. Вектор , зображуваний відрізком , також спрямований в точку з плану.

З огляду на, що точка А ланки АВ нерухома, відповідну точку а на плані поєднуємо з полюсом р. На цьому закінчується побудова плану швидкостей механізму. Значення шуканих швидкостей і знаходяться шляхом заміру довжин відрізків (cb) і (cd):

При визначенні кутових швидкостей ланок механізму використаємо отримані вище результати. Модуль кутовий скс зростання обертання шатуна (ланки 2) підраховуємо по формулі

Для визначення напрямку обертання шатуна зі швидкістю ω2 перенесемо вектор паралельно самому собі з плану швидкостей в точку С механізму. Напрямок вектора показує, що обертання шатуна буде направлено проти годинникової стрілки.

Аналогічні операції проводимо при визначенні кутової швидкості обертання ланки 3:

Паралельний перенос вектора v Cd в точку С механізму дозволяє встановити, що обертання ланки 3 з кутовий швидкістю направлено, як і обертання шатуна 2, проти годинникової стрілки. На схемі механізму, зображеної на рис. 1.12, а, напрямку обертання ланок вказані круговими стрілками.

Після побудови плану швидкостей і визначення кутових швидкостей ланок механізму з'являється можливість визначення швидкості будь-якої точки механізму. Припустимо, потрібно знайти швидкість точки Е шатуна 2 (див. Рис. 1.12, а). Складаємо два векторних рівняння, аналогічних рівнянь (1.5) і (1.6):

(1.8)

(1.9)

Напрямок векторів і :

Об'єднаємо рівняння (1.8) і (1.9) в одне рівність:

Тепер можна визначити абсолютну швидкість , добудувавши план швидкостей. З точки b плану проводимо лінію, перпендикулярну BE, а з точки с - лінію, перпендикулярну РЄ. Точка е перетину цих ліній визначає положення кінця вектора . Поєднавши точку е з полюсом р, получім відрізок (ре), з допомогою якого обчислюємо значення швидкості:

Звернемо увагу на наступне властивість плану швидкостей. Сторони плану швидкостей і АВЕС плану положень механізму взаємно перпендикулярні, а отже, ці трикутники подібні. Вершини трикутників подібно розташовані, тобто обхід контурів ( Bес ) і (ВЕС) відбувається в одному напрямку, в даному випадку по ходу годинникової стрілки. Це властивість справедливо як для плану швидкостей, так і для плану прискорень будь-яких точок одного і того ж ланки механізму. Воно формулюється у вигляді теореми подібності : відрізки прямих, що з'єднують кінці векторів абсолютних швидкостей (ши прискорень) точок одного і того ж ланки на плані швидкостей (або прискорень), і відрізки прямих, що з'єднують відповідні точки самого ланки на плані положень механізму, утворюють подібні і подібно розташовані фігури [12].

За допомогою цієї теореми можна знайти швидкість (або прискорення) будь-якої точки ланки шляхом побудови подібних і подібно розташованих фігур по відомим швидкостям двох точок цієї ланки.

Завдання про прискорення (рис. 1.12, в). Для визначення прискорень точок ланок механізму побудуємо план прискорень. Побудови проведемо на прикладі того ж шарнірного четирехзвенніка при заданому значенні узагальненої координати φ1. Визнаються як картки кутова швидкість ω1 і кутове прискорення ε1 провідної ланки.

Як відомо, прискорення будь-якої точки ланки, що здійснює обертальний рух навколо нерухомої осі, можна уявити сумою

де і - відповідно дотична (тангенціальна) та нормальна складові прискорення .

Провідне ланка (кривошип) четирехзвенніка обертається навколо точки А. Тому прискорення точки В

(1.10)

де

Нормальна складова прискорення точки В спрямована до центру обертання (до точки A ) паралельно АВ. Дотична складова спрямована перпендикулярно АВ в сторону, збігається з напрямком прискорення ε1.

На плані прискорень кінець вектора нормальної складової прискорення точки позначимо літерою п з відповідним точці індексом: п B - кінець вектора на плані прискорень; п СВ - кінець вектора

Задамося відрізком , що зображує нормальну складову прискорення точки В, і визначимо масштабний коефіцієнт плану прискорень (в м-с-2 / мм):

За аналогією з завданням про швидкостях складемо два векторних рівняння для прискорення точки С, що належить ланкам 2 і 3:

Звідси

(1.11)

У рівнянні (1.11) a D = 0, а прискорення і вже визначені за величиною і напрямком. Значення і обчислюємо за формулами відрізки, до

торие зображують ці прискорення на плані прискорень (див. рис. 1.12, в), - за формулами

Побудова плану прискорень проводимо безпосередньо за рівнянням (1.11). Від довільної точки π відкладаємо відрізок паралельно в напрямку від В до A.

З точки п в проводимо відрізок , що зображає прискорення . Поєднавши точку b з полюсом π, отримаємо відрізок (π b ), який зображає прискорення . Стрілки, що вказують напрямок отриманих векторів, розставляються згідно з правилом векторного підсумовування.

Для завершення побудови лівої частини рівняння (1.11) з точки b відкладаємо відрізок паралельно шатуну 2 в напрямку від точки С до точки В, а з точки п СВ перпендикулярно шатуну проводимо лінію дії вектора .

При побудові прискорень, розташованих в правій частині (1.11), врахуємо, що , і сумісний точку d плану прискорень з полюсом π. З точки d побудуємо паралельно CD відрізок , спрямований від точки С до точки D і зображає вектор . З точки перпендикулярно CD проведемо лінію дії вектора , Перетин ліній дії прискорень і визначить точку з - кінець вектора шуканого прискорення . Поєднуючи точку з і полюс π, заміряємо довжину відрізка . Закінчивши побудову плану прискорень, знаходимо невідомі прискорення ; а потім - кутові прискорення ланок

Напрямки прискорень ε2 і ε3, умовно показані на рис. 1.12, а круговими стрілками, визначають вектори і , перенесені з плану прискорень в точку С механізму.

Для знаходження прискорення а Е точки Е шатуна використовуємо властивість подібності плану прискорень. На відрізку ( ) плану прискорень будуємо , подібний плану положень і подібно з ним розташований. Отриману точку е з'єднаємо з полюсом π. Тоді .

Аналогічними побудовами визначається прискорення будь-якої іншої точки механізму.

 
<<   ЗМІСТ   >>