Зворотні обчислення на многоаргументних функціях Процедура згортки / розгортки

В економічних розрахунках нерідко використовуються функції, кількість аргументів у яких більше двох. У цих випадках рекомендується застосування процедури згортки / розгортки, що дозволить істотно спростити процес зворотних обчислень шляхом застосування стандартних базових конструкцій.

Процедура згортки / розгортки досить проста і грунтується на введенні фіктивних змінних, які об'єднують блоки по два аргументи. Припустимо, є функція з трьома аргументами:

, де

Замінимо знаменник наступним чином:

Знак близько р зазначений "плюс", так як .

Спочатку виконується процедура згортки відповідно до наступних правил:

• • послідовно об'єднувати аргументи числом два в групи, позначаючи отримані пари новими ідентифікаторами;
• • якщо знаки приростів отриманих пар аргументів однакові, то загальний знак приросту буде той же, що і аргументів, в іншому випадку вказується знак аргументу, що має велику пріоритетність;
• • якщо знаки приростів отриманих пар аргументів різні, але при цьому пріоритетність однакова, то в якості загального знака приросту вказується будь-який з них;
• • коефіцієнт пріоритетності об'єднаної групи дорівнює сумі коефіцієнтів пріоритетності аргументів;
• • визначається загальний приріст, що залежить від суми коефіцієнтів пріоритетності групи об'єднаних аргументів.

Після згортки функції відбувається обчислення нових значень її аргументів. Здійснення зворотного процесу - розгортки - реалізується але такими правилами:

• виконується перемормірованіе коефіцієнтів пріоритетності для окремих аргументів, об'єднаних в групу, за формулами

• визначається приріст аргументів, об'єднаних в групу. Розглянемо приклад.

Приклад 7. Нехай задані формули

Ілюстрацією наведених правил може служити рис. 2.10, де представлена функція з трьома аргументами: спочатку її початковий вигляд (а), потім згорнутий ( б ), частина функції, що вимагає нормування ( в ), і, нарешті, результати нормування ( г ).

Мал. 2.10. Зведення трехаргументной функції до двох аргументів

Проведемо необхідні розрахунки.

Розрахунок для Р: якщо

, То тоді

Перевірка:

Розрахунок для при

Якщо то . тоді отримаємо

Перевірка:

Застосування систем з багатьма рівняннями

Цей метод передбачає вирішення системи рівнянь, кількість яких більше двох. При цьому застосування процедури згортки / розгортки або недоцільно, або неможливо. Розглянемо функцію з трьома аргументами.

Цільова установка:

Якщо для розрахунку приростів аргументів скористатися індивідуальними коефіцієнтами, то отримаємо

Завдання зворотних обчислень набуде вигляду

Обмеження на значення вихідних даних встановлюються з семантики індивідуальних коефіцієнтів: .

Приклад 8. Вкладення у необоротні активи (П), як правило, складаються з придбання об'єктів основних засобів (З), придбання нематеріальних активів (О) і придбання земельних ділянок (В). Формула розрахунку має вигляд

Припустимо, цільова установка така: необхідно збільшити загальні вкладення у необоротні активи за рахунок збільшення об'єктів основних засобів і нематеріальних активів та скорочення земельних ділянок. Все це відбивається на формулі наступним чином:

де - коефіцієнти відносної важливості цілей, що відображаються аргументами Р, О і В. Завдання будемо вирішувати за допомогою індивідуальних коефіцієнтів:

Запишемо задачу зворотних обчислень:

Вирішивши цю систему відносно , можна отримати прирости для аргументів Р, О і В.

Застосування рівнянь вищих порядків

Іноді жоден з розглянутих вище методів не дає коректних результатів (допускаються занадто малі діапазони приростів аргументів функцій, потрібні інші значення коефіцієнтів пріоритетності, в результаті рішення задачі відбувається поділ на нуль і т.д.). В цьому випадку можна вдатися до рівнянь вищих порядків. Нехай чисельність допоміжних робочих визначається за формулою

де Ч - чисельність допоміжних робітників; М - число місць допоміжних робітників; С - кількість робочих змін; К - коефіцієнт облікового складу.

Необхідно за рахунок збільшення всіх аргументів підвищити чисельність допоміжних робітників. При цьому цільова установка наступна:

Якщо ввести, як і раніше, єдину величину , множення па яку коефіцієнта пріоритетності дозволить отримати шукані прорости аргументів, то можна отримати наступне:

Це дозволяє записати задачу у вигляді

Звідси отримаємо

Вирішити це рівняння можна за допомогою методу Кардано. Подібним чином можна вивести рівняння для будь-якої кількості аргументів, що, однак, змушує вдаватися до чисельних рішень рівнянь вищих порядків.