Повна версія

Головна arrow Головна

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

Системи числення

Система числення - спосіб представлення чисел, що спирається на деяке число п знаків, званих цифрами. Число, рівне кількості знаків п, що вживаються для позначення кількості одиниць кожного розряду, називається підставою системи числення.

Походження найбільш поширеною десятковоїсистеми пов'язано з пальцевим рахунком. Існуюча в Стародавньому Вавилоні шестидесяткова система залишилася в розподілі години і градуси кута на 60 хвилин і хвилин - на 60 секунд. У Росії до XVIII в. існувала десяткова система числення, заснована на буквах алфавіту а, в, г ... з межею над буквою (від грецьких букв: альфа, бета, гамма).

Сучасна десяткова система заснована на десяти цифрах, накреслення яких 0, 1, 2, ..., 9 сформувалося в Індії до V ст. н.е. і прийшло в Європу з арабськими рукописами ( "арабські цифри"). Двійкова система використовує дві цифри: 0 і 1. Шістнадцяткова система використовує 16 символів: 0, 1, 2, ..., 29, А, В, С, D, E, F. Ці системи числення називаються позиційними , так як значення кожної цифри числа визначається по її місцю (позиції, розряду) в ряду чисел, що складають дане число. Позиція відраховується справа наліво; так, в десятковій системі: нульовий розряд - розряд одиниць, перший розряд - розряд десятків, другий розряд - розряд сотень, потім тисячі і т.д.

У непозиційних системах числення цифри не змінюють свого кількісного значення при зміні їх розташування в числі.

Наприклад, 1 - I, 2 - II, 5 - IIIII.

Римська система числення (I, II, III, IV, V) є змішаною, так як значення кожної цифри частково залежить від її місця (позиції) в числі. Наприклад, IV - це 4 = 5-1, а VI - це 6 = 5 + 1.

В десяткової системі кожен розряд може показати одне з 10 значень (цифру 0, 1, 2, ..., 9). Щоб в десятковій системі записати наступне за дев'яткою число, додають зліва новий розряд і ставлять в його позицію цифру 1, після неї нуль і виходить 10, тобто десять. Два розряду в десятковій системі дозволяють записати сто чисел: від 0 до 99, потім доведеться дописувати новий розряд для числа 100.

Цифри десяткового числа визначають число по підставі системи числення і по нумерації розрядів за допомогою, наприклад, такої формули: 256 = 2 • 102 + 5 • 101 + 6 • 100, де значення цифри множиться на 10 у степені "розряд цифри". У числі 256 цифра 2 стоїть на другому розряді і означає дві сотні, тому множиться на 102; цифра 5 коштує в першому розряді, означає 5 десятків і множиться на 101; цифра 6 варто в нульовому розряді і множиться на 1, тобто на 100.

Двійкова система числення

У двійковій системі числом в один розряд можна записати тільки два значення: 0 або 1, і все - можливості розряду скінчилися. Два розряду в довічним числі дозволяють записати чотири різних числа, а три розряди - вісім чисел. Збільшуючи розрядність цифр в числі до N розрядів, можна в двійковій системі описати 2 х різних чисел, порахувати 2 х об'єктів.

Нехай в системі числення з основою р записано чотиризначний число х , цифри в якому позначимо знаками з індексом внизу α 3 α 2 α 1 α 0. Тут а 0 - знак (цифра) для нульового розряду, a 1 - для першого розряду і т.д.

Число можна представити виразом

х = а 3 • р 3 + а 2 • р 2 + а 1 • р 1 + а 0 • р 0.

Порівняємо запис десяткового числа 1946 = 1 • 103 + 9 • 102 + 4 • 101 + 6 • 100 і довічного 1010 = 1 • 23 + 0 • 22 + 1 • 21 + 0 • 20. Показник ступеня, в яку необхідно звести підставу р вихідної системи числення, збігається з номером відповідної позиції.

Так як комп'ютер використовує двійкову систему числення, в ньому важливу роль відіграють і часто згадуються числа, службовці ступенем числа 2, наприклад: 8 (23), 64 (26), 128 (27), 256 (28). Найбільше 8-розрядне число з вісьмома двійковими одиницями 11111111 = 1 • 27 + 1 • 26 + 1 • 25 + 1 • 24 + 1 • 23 + 1 • 22 + 1 • 21 + 1 • 20 одно десятковому числу 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255. Разом з нулем виходить якраз 256 цілих чисел, що дорівнює 28.

Шістнадцяткова система - система чисел за основою 16, яка використовує цифри від 0 до 9 і прописні або малі літери латинського алфавіту від А (еквівалент десяткового числа 10) до F (еквівалент десяткового числа 15). Тобто в шістнадцятковій системі числення знаки-цифри - 0, 1, 2, 9, А, В, С, D, E, F. Число в двійковій системі розбивається на групи по чотири довічних знака. Одна група дає 24 = 16 комбінацій. Десяткове число 396 у двійковій системі позначається як 110001100, а в шістнадцятковій системі як 18С. Відповідність десяткових, довічних і шістнадцяткових чисел показано в табл. 1.1.

Шістнадцяткова система числення застосовується для позначень адрес осередків оперативної пам'яті комп'ютера, відтінків кольору і дає не такі довгі ряди цифр,

Таблиця 1.1

Відповідність чисел: десяткові, виконавчі, шістнадцяткові

десяткове число

двійкове

число

шестнадцатиричное число

десяткове число

двійкове

число

шестнадцатиричное число

0

00000000

0

8

00001000

8

1

00000001

1

9

00001001

9

2

00000010

2

10

00001010

А

3

00000011

3

11

00001011

в

4

00000100

4

12

00001100

з

5

00000101

5

13

00001101

D

6

00000110

6

14

00001110

Е

7

00000111

7

15

00001111

F

16

00010000

10

як давала б двійкова система. Іноді після шестнадцатиричного числа пишуть букву h (hexamal). Наприклад, 321 / г відповідає десятковому 801 = 3 • 162 + 2 • 161 + 1 • 160, a FCh - це десяткове число 252 = 15 • 161 + 12 • 160.

 
<<   ЗМІСТ   >>