Повна версія

Головна arrow Філософія arrow Історія і філософія науки

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

Природознавство і математика. Онтологічні та гносеологічні підстави математизації знання

Відомий фізик Євген Вігнер говорив про "незрозумілою застосовності" математики в природничих науках, а Н. Бурбаки писав: "У своїй аксіоматичної формі математика представляється скупченням математичних структур, і виявляється, невідомо чому, що деякі аспекти реальності ніби в результаті приречення укладаються в деякі з цих форм ". Дійсно, в деяких філософських концепціях містяться ідеалістичні й містичні моменти в спробах онтологічного обгрунтування застосовності математики в пізнанні. Так, Піфагор стверджував, що "все є число" і "світом правлять числа". Платон ототожнював вогонь, воду, землю, повітря, ефір з правильними многогранниками. Кеплер навіть побудував модель Сонячної системи на основі п'яти "Платонових тіл". Готфрід-Вільгельм Лейбніц стверджував, що між математикою і природою існує встановлена гармонія. У сучасній філософії "логічні атомісти" зводять математику до логіки.

Давалися і різноманітні гносеологічні підстави математизації знання. Так, Платон вважав, що математичне знання відображене в душі людини, а не засноване на практичному досвіді. Кант універсальну застосовність математики пояснював тим, що арифметика і геометрія суть апріорні форми нашої "чуттєвості" і тому присутні у всякому досвіді, так що тривимірні не речі і не простір, а наше сприйняття. У сучасній філософії математики інтуіціоністи також засновують арифметику на апріорному спогляданні часу, а решту математику - на арифметиці.

Раціональне пояснення універсальної застосовності математики в пізнанні полягає в тому, що якість і кількість речей окремо існують лише в абстракції, об'єктивним ж існуванням володіє лише їх єдність, зване "міра".

Категорія міри грала фундаментальну роль вже у філософії досократики, про що свідчать висловлювання Піфагора і Геракліта. Тому, зокрема, греки уникали користуватися абстракцією актуальної нескінченності, яка не підкоряється закону заходи. П'ятий постулат Евкліда про паралельні лінії, в якому приховано присутня ідея актуальної нескінченності, що не здавався їм настільки ж очевидним, як інші аксіоми і постулати, а аксіома "ціле більше частини" прямо забороняла розглядати такі об'єкти, як нескінченні множини, для яких частина дорівнює цілому . Відкриття грецькими математиками неспівмірності відрізків, тобто відсутності у них загальної міри, викликало перший криза підставах математики.

Так як метод пізнання завжди визначається природою пізнаваного об'єкта, онтологічна універсальність заходи пояснює гносеологічну універсальність математики. "До області математики, - писав Декарт, - відносяться тільки ті науки, в яких розглядається або порядок, або міра, і абсолютно несуттєво, чи будуть це числа, фігури, зірки, звуки або що-небудь інше".

Декарт вважав, що рішення будь коректно поставленої наукової проблеми може бути зведене до вирішення математичної задачі, будь-яка математична задача - до алгебраїчної, а будь алгебраїчна завдання - до вирішення одного-єдиного рівняння. Вирішити ж рівняння - значить висловити невідому величину через відомі. Будь-яка наукова задача може бути вирішена, якщо її формулювання звільнити від усього зайвого і звести до відносин найпростіших інтуїтивно ясних понять. Так, весь фізичний світ Декарт вважав можливим описати за допомогою одного поняття протяжності. Простір і час - різні види протяжності, а швидкість руху є відношення простору до часу. Рух точки повністю описується двома параметрами - швидкістю і напрямом. Якщо в просторі (двовимірному) введена метрика, то кожному положенню точки зіставляється пара чисел і траєкторія руху точки перетворюється в числову послідовність.

Таким чином, рухом точки створюється "геометричне місце точок", або безліч точок, що визначаються якимось загальним для них властивістю, а між "поточними" координатами точки є якесь закономірне відношення, що породжує ці точки одну за одною. Рівняння руху і є знакова модель процесу.

Отже, одне абстрактне відношення має два різні, але скоординовані "проекції" - геометричний наочний образ і числове вираження. У цьому і полягає, згідно Декарту, сутність математизації природи: "фізика" зводиться до геометрії, геометрія - до арифметики, а остання виражається мовою алгебри, який має ту особливість, що, будучи цілком символічним, може виражати все що завгодно. Створення зручних позначень стало вирішальною умовою математизації природознавства в XVII ст. Свій внесок в удосконалення символіки внесли Франсуа Вієт і Лейбніц. Останній вважав, що позначення повинні стимулювати уяву, тобто що самі символи повинні виконувати евристичну роль в отриманні нових результатів, а не просто фіксувати те, що вже знайдено без їхньої участі.

Правда, заслуга ефективного застосування математики для опису природи належить не Декарту, а Ньютону, так що кажуть, що Декарт все пояснював, але нічого не обчислював, а Ньютон все обчислював, але нічого не пояснював, - тому фізику Декарта називають "гіпотетичної", а фізику Ньютона - "математичної".

Гегель, зі свого боку, також підкреслював, що "математика природи, якщо вона прагне стати наукою, по суті своєму повинна бути наукою про заходи".

Оскільки структура є таке ж специфічне єдність кількості і якості, як і міра, то Н. Бурбаки не висловлює чогось іншого, коли визначає математику як науку про структурах. Навіть нескінченне як специфічний об'єкт математики не їсти тільки необмежену повторення, а є "нескінченність відносин заходи" або "вузлова лінія" заходів.

Математизація знання в астрономії та механіки.

Раніше інших наук математика проникла в механіку і астрономію. З механічними явищами люди стикалися з перших століть існування цивілізації. Плавання кораблів, переміщення вантажів за допомогою важеля, умови рівноваги сил - усюди вимагалося знання хоча б основ механіки.

Механіка вивчає найбільш загальний і фундаментальний вид руху, до якого зводили всяке інше зміна. Ця ідея лежить в основі атомістичної теорії Демокріта.

Початком математичного описи природи було створення календаря. Вавілонські жерці виявили, що сонячні затемнення повторюються через 6585 діб. Це зажадало тривалих спостережень в різних місцевостях, оскільки наступні один за одним затемнення бувають видно, як правило, в різних частинах Землі, що математично обгрунтував ще Гиппарх Родоський.

Рухи небесних тіл відрізняються винятковою регулярністю, тому Аристотель стверджував, що математика застосовна тільки до "надмісячну миру".

Геометрія і тригонометрія, яких потребували геодезія, мореплавання і будівництво, стали застосовуватися і в астрономії, так як небесне склепіння був подібний земної поверхні, причому в астрономії застосовувалася не тільки плоска, але і сферична тригонометрія. Створення геліоцентричної системи було б неможливо, якби Микола Коперник, крім медичних та юридичних знань, не набув би під час десятирічного перебування в Італії ще й грунтовних знань в геометрії. Математична обробка матеріалів спостережень Тихо Браге підштовхнула Йоганна Кеплера до гіпотези про еліпс як формах планетних орбіт.

Але саме Ньютон був першим, хто цілеспрямовано застосовував в астрономії метод математичного моделювання. Спочатку він замінив планети матеріальними точками, які виступають як центри сил, що залежать тільки від відстані. Потім він поступово ускладнював первісну просту модель, щоб вона могла пояснювати спостережувані факти. Евристична роль математики в цьому випадку полягала в напрямку інтуїції в потрібну сторону.

Математика як мова науки. В цілому по відношенню до природознавства математика відіграє роль формальної метатеорії, поставляючи запас готових форм для представлення знання. Але будучи корисним і зручним мовою подання знань, математика, як і всякий використовуваний нами мову, непомітно вводить і такі об'єкти, які існують тільки в самій мові. Ще Парменід зауважив, що мова нас вводить в оману, оскільки в ньому є слово "небуття", хоча небуття і немає. Так статистика створює "середні величини", відсутні в реальності, так в платоністской математики допускається, щоб елементами безлічі поряд з індивідами були також і множини, і таке вільне конструювання множин виявилося чревато парадоксами. Через це створюється враження, що "математичні формули існують незалежно від нас, що вони розумніші за своїх творців", як писав Г. Герц.

Разом з тим, працюючи з математичною моделлю процесу у вигляді рівняння, фізик, довільно змінюючи його, отримує нові співвідношення між величинами, які в досвіді ще не спостерігалися. У цьому полягає метод математичної екстраполяції, завдяки якому були отримані багато важливі результати. Так, Дж. К. Максвелл видозмінив рівняння електродинаміки так, що з них логічно випливало існування змінного електромагнітного поля, що поширюється в просторі зі швидкістю світла, або "хвиль Герца". Ейнштейн писав: "Я переконаний, що чисто математична побудова дозволить знайти закономірності, які дадуть ключ до пізнання явищ природи".

Значення математичної "ідеї інваріантності" у фізиці.

Прикладом продуктивного використання важливою математичної ідеї у фізиці може служити принцип інваріантності (симетрії). У 1841 р англійський математик і логік Дж. Буль відкрив клас алгебраїчних функцій, що володіли властивістю інваріантності при деяких перетвореннях, а потім А. Келі і Дж. Сильвестр створили нову область алгебри - теорію інваріантів. У фізиці математичної ідеї інваріанта відповідає ідея відносності. В якості основного властивості механічного руху його відносність була встановлена Галілеєм і придбала фундаментальне значення в теоріях, створених у XX ст. А. Ейнштейном. Останній вказав, що властивістю інваріантності обов'язково повинні володіти всі фізичні закони.

В інших науках властивість інваріантності деяких величин виявилося при використанні математичних і системно-структурних методів пізнання.

Так, структура виступає як інваріантний аспект систем в хімії, кристалографії, біології, соціології та лінгвістиці. Ізоморфізм структур різних по субстрату явищ створює передумову для єдності їх математичного опису. Наприклад, формула Кулона для взаємодії електричних зарядів має ту ж саму математичну форму, що і закон "всесвітнього тяжіння" Ньютона.

Ейнштейн зрозумів, що просторові і тимчасові параметри, траєкторія руху, маса можуть бути різними в різних системах відліку, тобто змінюватися за своєю величиною при зміні способів їх подання або опису (перетворення, перефразування), але є й інваріантні характеристики, а також закон, що зв'язує змінюються характеристики і координуючий їх спільну змінюваність.

І сама математика, як це було показано ще Феліксом Клейном в "Ерлангенском програмі" (1872), впорядковується за допомогою ідеї інваріантності. Так, геометрія стає окремим випадком теорії інваріантів. Теорія груп як деяка частина алгебри дозволяє по-новому поглянути не тільки на фізичний світ, а й на математику. Між поняттям числа і поняттям групи виявляється глибокий зв'язок. З погляду теорії пізнання поняття групи ставить на більш високому рівні ту ж проблему, що виникла у зв'язку з поняттям числа. Створення натурального ряду чисел починалося з встановлення "першого елемента" і правила, що породжує наступні числа. Як би ми не просувалися в ускладненні породжуваних "елементів", всі вони належать до тієї ж сукупності, "групі". У теорії груп долається протиставлення "елемента" і "операції". Операції стають елементами. Сукупність операцій утворює групу, коли два будь послідовно проведених перетворення дають той же результат, що дає і одна-єдина операція. Так що група є закрита система операцій. Тільки при посередництві поняття групи Герман Мінковський зміг надати строго математичну форму спеціальної теорії відносності Ейнштейна і тим самим показати її з абсолютно нового боку.

Роль вимірювання в математизації знання. У природничо знання числові величини вводяться при посередництві вимірювань.

o Виміром називається процедура, за допомогою якої властивості об'єктів подаються у формі числових величин або чисел.

У природознавстві спостереження зазвичай супроводжуються вимірами спостережуваних параметрів. Спочатку наявні властивості розбивають на якісні класи та впорядковують їх шляхом порівняння відносно більше - менше за ступенями інтенсивності деякого обраного параметра. Кожної градації можна приписати деяке умовне числове значення, або бал. Так, твердість мінералів оцінюється за десятибальною шкалою. Ртутний термометр представляє на шкалі суб'єктивні відчуття тепла, або ступінь нагретости, як ряд значень, що відповідають величині теплового розширення робочого тіла - ртуті. Винахідник термометра спирався на гіпотезу про рівномірному збільшенні обсягу при нагріванні. Творець класичної теорії вимірювань Г.Гельмгольц називає "фундаментальними" вимірювання, що не припускають попередніх їм вимірювань, а вимірювання, залежні від інших, - "похідними". Р. Карнап говорив про "классифицирующих", "порівняльних" і "метричних" наукових поняттях і т.д. В основі будь-якої теорії вимірювань лежить ідея ізоморфізму між якою-небудь емпірично находимой реляційної системою і деякої числової системою, наприклад системою натуральних або дійсних чисел. Так що вимірювання можна віднести до різновиду математичного моделювання, де в якості моделі реальних відносин виступає числова система.

У наукових дослідженнях вимірювання кожної величини виробляються по можливості багаторазово (так як при достатній точності результати не повторюються), з тим щоб застосувати статистичну теорію обробки результатів, вивести середнє значення і визначити характерну для даного виду вимірювань похибка.

Математичне моделювання.

Математичні моделі є різновидами знаково-символічних моделей. Так, формула окружності в знаковій формі представляє всі її властивості. Всі природничі науки, використовують математику, можна вважати математичними моделями досліджуваних ними явищ.

Модель не тотожна явищу, оскільки складається з штучних об'єктів - знаків. Вона тільки в логічно пов'язаному вигляді являє деякі його аспекти і дає наближення до реальності. Наприклад, гідродинаміка - це модель руху рідини.

У моделі явним чином перераховані всі припущення, які покладені в її основу і використовуються при її побудові. Так, при формалізації змістовної математичної теорії перераховуються всі аксіоми і правила виводу формул, і ніякі інші вирази, крім допустимих, там просто не можуть з'явитися, хіба що помилково.

Припущення, покладені в основу моделі природного явища, можуть бути вельми грубими. Так, ньютонівська модель Сонячної системи використовувала такі припущення: небесні тіла суть матеріальні точки відповідної маси, локалізовані в їх центрах тяжкості, між якими діє сила, що дорівнює добутку мас, поділеній на квадрат відстані між зазначеними центрами і помножена на деякий коефіцієнт, обчислений експериментально. При всій грубості такої моделі вона давала можливість передбачати розташування небесних тіл на тривалий термін і навіть існування не спостерігалися раніше небесних тіл по їх взаємодіям з спостерігаються тілами. Так в 1846 р У. Левер'є і Дж. Адамсом була відкрита "на кінчику пера" планета Нептун, а в 1930 р П. Лоуеллом - планета Плутон. Більш точна релятивістська модель дозволила пояснити поведінку Меркурія, яке для колишньої моделі було аномалією.

В історії науки одне і те ж явище нерідко моделювалося по-різному. Для пояснення світла пропонувалися корпускулярні і хвильові моделі, поки не з'явилася електромагнітна. Кожна з цих моделей вимагала свого математичного опису. Корпускулярна оптика користувалася засобами евклідової геометрії і дозволяла вивести закони відбиття і заломлення світла. Хвильова модель використовувала вже інший математичний апарат і дозволяла пояснити явища інтерференції і діффракціі, що не були зрозумілі геометричній оптиці.

До появи комп'ютерів математичне моделювання зводилося до побудови аналітичної теорії явища, яку не завжди доводили до формул, бо природа виявлялася істотно складніше моделі.

Спрощення моделі (наприклад, заміна нелінійної моделі лінійної) неминуче означало зменшення числа одержуваних висновків, втрату частини інформації. При використанні комп'ютерів як і раніше складається логіко-математична модель задачі, а вже по ній складається програма роботи комп'ютера. Але дослідник ставить вже не ту мету, що перш, - висновок розрахункової формули. Тепер він прагне обчислювати все параметри явища. То була побудована модель наслідків ядерної війни, які можуть вплинути на екологію планети.

Математичне моделювання використовується і тоді, коли про фізичну природу відомо недостатньо. У цьому випадку будується гіпотетична модель і з неї виводяться допускають спостереження слідства. Гіпотетичні моделі виконують евристичну роль, наприклад наводять на ідеї нових експериментів.

Історія науки показує важливість гіпотез і заснованих на них моделей. Наприклад, на основі геліоцентричної гіпотези Микола Коперник побудував математичну модель Сонячної системи. "Планетарна модель" атома Ернеста Резерфорда дозволила Нільса Бора розраховувати квантові числа електронних орбіт і т.п.

У минулому математичні моделі природи будували, виходячи з принципу лапласовского детермінізму. Передбачалося, що між різними за часом станами системи існує однозначна зв'язок. Проте вже у XVIII ст. в науці стали застосовуватися і статистичні моделі, спочатку в описах соціальних явищ, а потім і в описі природи. Дж. К. Максвелл, Людвіг Больцман та інші побудували кінетичну теорію газів, засновану на гіпотезі, що будь-який обсяг газу складається з дуже великого числа хаотичнорухомих молекул. Виявилося, що на основі настільки простих припущень можна створити багату результатами теорію, подтверждаемую експериментами. Так теоретико-імовірнісні моделі стали основою сучасної фізики, особливо фізики мікросвіту. Рівняння Шредінгера є модель поведінки електрона в атомі водню, і воно служить, в принципі, теоретичною основою всієї хімії. Вирішити рівняння - значить знайти хвильову функцію, відповідну стаціонарному стану атома. Рішень завжди існує безліч, і кожному відповідає своє значення енергії. Основний стан - стан з мінімальною енергією. Але точне рішення рівняння Шредінгера можна знайти лише в простому випадку для одного електрона. Зі збільшенням числа електронів складність завдання катастрофічно зростає.

Математизація знань полягає не тільки у використанні готових математичних структур в якості моделей, але і в розвитку математичної теорії: потреби "небесної механіки" стимулювали створення Ньютоном "методу флюксій", тобто диференціального й інтегрального числення.

 
<<   ЗМІСТ   >>