Поняття тензора швидкості деформації

Нехай частинки середовища рухаються зі швидкістю

Протягом нескінченно малого проміжку часу середу відчуває нескінченно малу деформацію, яка визначається вектором переміщення U i = V i dt.

Тоді аналогічно тензору деформації зрушень тензор швидкостей деформації можна представити у вигляді

(4.7)

де - кульовий тензор, що характеризує швидкість розтягування (стиснення); - девіатор швидкості деформації.

Крім швидкості деформації, що характеризується тензором, елементарний об'єм середовища відчуває жорстке зміщення з поступальною швидкістю і обертання з кутовою швидкістю

(4.8)

Прискорення рухомій частинки середовища визначається повної похідною швидкості:

(4.9)

Перший член цього рівняння характеризує локальні зміни швидкості, другий - зміна внаслідок перенесення частинки в сусідню точку простору.

У кожній точці суцільного середовища напружений стан характеризується симетричним тензором напруг δik.

У розписаному по компонентах вигляді він являє собою матрицю

(4.10)

Тензор називається девіатором напруг (де r - щільність середовища), а інтенсивність дотичних напружень дорівнює

(4.11)

де τ - головне дотичне напруження.

Рівняння руху та закон Гука

Рівняння руху має вигляд

(4.12)

де F i - компоненти вектора масової сили.

Якщо тіло, піддане деформації під впливом зовнішніх навантажень, після зняття їх повертається до вихідного увазі, то деформації такого виду називаються пружними. Рівняння стану пружного тіла являють закон Гука:

(4.13)

де δ - тензор напруги; До - модуль об'ємного стиснення; μ - модуль зсуву.

Перший вираз описує зв'язок між відносною зміною обсягу і всебічним стисненням. Друге - зв'язок між деформаціями зсуву та дотичними напруженнями.

Модулі об'ємного стиснення та зсуву визначаються виразом

(4.14)

де Е - модуль Юнга; ν - коефіцієнт Пуассона.

Модуль Юнга описує рівняння руху

(4.15)

У інваріантному вигляді закон Гука можна записати

(4.16)

або через девіатор напруг

(4.17)

або через оператор Лапласа

(4.18)

де AU - функція напруги, яка є бігармонічні.

Таким чином, вивчення плоскої задачі теорії пружності зводяться до дослідження бігармонічного рівняння, поясняющго дія вибуху в пружно-крихких матеріалах, освіта осколків і тріщин.

Математична теорія пластичності і рівняння Леві - Мезіса

Якщо деформоване тіло після зняття зовнішньої навантаження не повертається в початковий стан, а має залишкові деформації, то кажуть, що мала місце пластична деформація.

Умова пластичності можна виразити математично, за допомогою компонент напруги

(4.19)

Для опису пластичної деформації грунтів і зруйнованих гірських порід найчастіше використовують рівняння Леві-Мезіса, найбільш точно описує цей процес.

Для головних значень девіатора напруг і тензора швидкостей пластичної деформації можна отримати вираз

(4.20)

звідси для головних дотичних напружень і головних швидкостей деформації зсуву отримуємо:

(4.21)

Ці співвідношення називається рівнянням Леві-Мезіса. Вони мають ту ж форму, як і рівняння, що описують протягом нестисливої в'язкої рідини.

Тільки у випадку рідини коефіцієнт пропорційності є константа речовини (коефіцієнт в'язкості), а для пластичних твердих тіл це коефіцієнт дорівнює l / λ *, де λ * є функцією напруги і деформації.

Стосовно до дії вибуху в грунтах і гірських породах маємо:

(4.22)

(умова пластичності Мезіса).