ЛІНІЙНІ ОПЕРАТОРИ

Розглянемо рівняння

де / і g - елементи лінійних просторів V і W відповідно, а А - відображення простору V в простір W. Якщо V і W - простору функцій, відображення А будемо називати оператором. Наше завдання: знаючи geW і оператор А, визначити, якщо це можливо, / ЄК. Домовимося спочатку про терміни і визначеннях. Нехай V і W - лінійні простори, А - оператор, визначений на D ( А) СК, зі значеннями в R ( А) <= W. Якщо оператор А такий, що будь-якому g еR ( А) відповідає єдиний елемент / е D (А), то він називається взаємно однозначним (а також ін'єкційних , або вкладенням). Якщо R { А) = W (т. Е. Область значень - все простір W), то оператор А називається сюр'ектівним (або накладенням). Якщо він до того ж взаємно однозначна, то в цьому випадку він називається биективное.

Розглянемо деякі приклади відображення А: /? '- » R ² :

• 1) у = Ах = х . Очевидно, R (A) = R ^] , і А ін'ектівен, отже, А - біекція;
• 2) у = Ах = х ² . Область значень R (A) = {у: у > 0}, отже, А нс сюр'ектівен. Він також нс ін'ектівен, так як відображає точки ± х в точку х ² ;
• 3) у = Ах = х (х ² -1). Оператор сюр'ектівен: R (A) -R ^l , але не ін'ектівен, а отже, і не біектівен, так як точки 0, ± 1 відображаються в точку 0;
• 4) у = Аг = ехр (х). R (A) = {у: у> 0} - оператор не сюр'ектівен, але взаємно однозначна (ін'ектівен).

Багато операторів мають властивість безперервності. Оператор називається безперервним в точці / ₀ , якщо будь-яку послідовність {/ "}, що сходиться до / ₀ , він відображає в послідовність {АТ}, що сходиться до АТ, т. Е.

Якщо оператор безперервний у кожній точці / е D ( А), то він називається безперервним. Найпростішою функцією, з якої починається їх вивчення, є лінійна функція. Аналогічно найпростішим оператором є лінійний оператор (позначимо його буквою L), т. Е. Такий оператор, який лінійну комбінацію елементів

відображає в лінійну комбінацію

Очевидно, Z? (L) і D (L) повинні бути лінійними просторами, щоб визначення мало сенс. Розглянемо кілька прикладів лінійних операторів.

1. Найпоширеніша завдання - рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь

зводиться до виду L / = g , якщо позначити через L матрицю, елементами якої є коефіцієнти а _{; /} , через / - елемент (х ,, х ₂ , ..., х ") і через g - елемент (Ь _{ , Ь ₂ , ..., Ь _п ). В цьому випадку L є оператор, що відображає R " в R". Він лине і безперервний.

2. Як приклад інтегрального оператора розглянемо рівняння Фредгольма

де f, g е С ° ([а, 6]); до е С ° ([с /, 6] х [а, Ь]), до і g - задані функції. Якщо визначити оператоо L вьшаженіем

то L буде лінійним оператором L: С ° ([а, й]) -> до е С '([ «, 6]) і вихідне рівняння запишеться у вигляді

Покажемо, що цей оператор безперервний у просторі неперервних функцій з рівномірною нормою. Нехай послідовність {/,} * _{= |} така, що / "-" / е З ^{ [а, Ь]). Розглянемо норму різниці

Очевидно, що інтеграл в останньому виразі прагне до нуля при /, -> /.

3. З різноманітних диференціальних операторів розглянемо спочатку оператор диференціювання

Ясно, що цей оператор визначений лише на безлічі функцій, що мають похідну. Він лине, що легко перевірити, але не безперервний. Для того щоб це показати, нам досить знайти один елемент, для якого безперервність не має місця. Виберемо послідовність {/ "}" _ !, де f "= - sin (/ jx). У просторі безперервних

п

функцій, визначених на [ а, Ь ] з рівномірною нормою, ця послідовність прагне до нуля. Послідовність же hf _n = f ' _n - cos (/ u) нс сходиться, т. З. безперервність оператора диференціювання в точці

• -sin (/? X) порушується. п
• 4. Розглянемо тепепь ліЛЛепенііальное упавненіе

де хе [п, й], а _х , а ₂ , а _г е /? '. Нехай g е С ° ([а, й]), тоді / повинна належати безлічі функцій, у яких існує друга похідна, т. Е. З ² ([a, b ]). Тепер ми можемо розглянути лінійний диференційний оператор L: З ² {[а, Ь]) - "С ° ([а, А]), де Lf = a ₀ f + aj ' + a ₂ f. Саме рівняння при цьому приймає «стандартний» вид L f - g.

5. Розглянемо, нарешті, два спеціальних оператора. Нехай / е V, V - векторний простір. Оператор I, такий, що f - /, V / е V , називається одиничним ( тотожним ) оператором (I: F-> F, f I-> f ). Нехай W - ще одне векторне простір (можливо, що збігається з V). Оператор О, що відображає довільний елемент / е V в нульовий елемент простору IV, т. Е. О / = 0, називається нульовим оператором (Про: V -> W, / н »0).

Нехай задано опопятопноо упяяноніо

де V і W - векторні простори. Формально проблема вирішення цього рівняння зводиться до відшукання (якщо це можливо) оператора L ' ¹ , такого, що

Якщо такий оператор існує, то він називається зворотним. Якими ж властивостями повинен володіти оператор L, щоб було можливо побудова зворотного оператора L '? Розглянемо наступні варіанти.

• 1. Оператор L ін'ектівен, або взаємно однозначна. В цьому випадку L " ¹ існує, є лінійним оператором з R (L) в D (L). Рівняння L / '= g має рішення для g е /? (Ь) і не має рішення для g € R (L).
• 2. Оператор L біектівен. Тут очевидно, що L " ¹ існує для будь-якого g е W і для будь-якого g е W існує єдине рішення.
• 3. Оператор L Не ін'ектівен, т. Е. Не взаємних однозначний. У такій ситуації побудова оператора L ^-1 неможливо, так як існує, принаймні, один елемент g е Л (Ь), для якого рішення неєдиним, т. Е. Є більше одного рішення.