Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ І РЯД ФУР'Є

З нерівності Коші-Буняковського (4.18) випливає, що функція

(/ If)

.. .. нс перевершує по модулю одиниці. Ця обставина дозволяє ототожнити її з косинусом кута між векторами fug, а скалярний добуток записати у вигляді

Числа / s || / || cos (^) і g f = || g || cos (^) називаються проекціями / на g і g на / відповідно. У тому випадку, коли норма одного з векторів, наприклад g, дорівнює одиниці, маємо (f, g) = || / || cos0> = f g , т. Е. Скалярний твір вектора / на одиничний вектор g одно проекції / на g. Якщо (f, g) = 0 і || / || * 0, || g || ^ (), то <р = ± у. В цьому

випадку вектори називаються ортогональними, що позначається / 1 g. Якщо є послідовність ненульових векторів {/ я } і для кожної пари векторів f, /. справедливо рівність (/, g,) = 0, i Ф j, то

така послідовність називається ортогональної. Легко показати, що ортогональні вектори лінійно незалежні, т. Е.

тільки якщо а х = а 2 = ... = а п = 0. Дійсно, нехай {f} " = l - ортогональні вектори і припустимо, що вони лінійно залежні, тобто. е.

= 0 - нульовий вектор. Візьмемо будь-який вектор f. е {/} " = 1 і помножимо на нього скалярно обидві частини рівності

У той же час з ортогональности векторів випливає, що

За припущенням, послідовність {/ Д " = 1 нс містить нульового вектора і, отже, /. Ф 0, звідки а / ? = 0. Те ж справедливо і для будь-якого іншого елемента з {/}" = 1 , а значить, все сг, = 0. Якщо послідовність {/].} Така, що

то вона має назву ортонормованій. У цьому випадку норми всіх векторів f рівні одиниці. Будемо позначати таку систему векторів через {

Процедура, що дозволяє будувати з рахункового безлічі лінійно незалежних векторів ортонормірованнос безліч, називається процесом ортогоналізацчі Грама-Шмідта і полягає в наступному. Нехай в гільбертовому просторі Н задана послідовність лінійно незалежних векторів ( .} " = 1 . Оскільки норми ортонорміро- ванних векторів дорівнюють одиниці, то для того, щоб побудувати перший вектор е ] ортонормованій послідовності {е ; }" = 1 , досить

h

покласти його рівним е, = -р-р.

INI

Наступний вектор е 2 повинен бути ортогональним е ,. Спробуємо з елементів е , і побудувати таку лінійну комбінацію g 2 , щоб вона була ортогональна g 2 = 1г 2 -, де а 21 - число, тоді

Звідки а 21 = (е ,, / ц) або g 2 = h 2 - {h 1 , e x ) e i , і вектор е 2 вибираємо

о р

рівними, = 1р ^ Т7. Далі аналогічно будуємо вектор е 3 = де

1кг | И

g 3 = h 3 -a 32 e 2 -a 3] e ] , а коефіцієнти і а 32 знаходяться з умови ортогональності g 3 векторах е 2 і е х , т. е.

або a 3l = (h 3 , e l ), а 32 = (1ц, е 2 ) і т. д. Всі елементи { ортонормовані а, отже, линійно незалежні

Володіючи ортонормованій послідовністю : } ^ =] , ми можемо формально записати будь-який вектор / з гильбертова простору Н у вигляді ряду по e i :

де / '- деякі числа. Коефіцієнти / 'легко знайти, користуючись тим, що {е} - ортонормированном послідовність. Помножимо ска лярні обидві частини рівності (4.20) на будь-якої вектор е.

і врахуємо (4.19). Отримаємо, що число f одно проекції / на одиничний вектор ej:

Ряд (4.20), коефіцієнти якого знаходяться за формулами (4.21), називається рядом Фур'є для /, а коефіцієнти / '- коефіцієнтами Фур'є. Будь відрізок ряду Фур'є, т. Е. Його часткова сума, володіє властивістю найкращого наближення, а саме: припустимо, ми хочемо апроксимувати певний елемент / їй функцією /, що є лінійною комбінацією т векторів e i :

Ill

Геометрично це означає, що сума квадратів проекцій вектора / на ортогональні напрямки не перевищує квадрата довжини самого вектора (безконечномірний аналог теореми Піфагора). Якщо S є деяка підмножина гильбертова простору Н, т. Е. 5сЯ, то елементи з Н, ортогональні всіма векторами з S, утворюють безліч, зване ортогональним доповненням до S (позначається о); природно, S з Н.

Простим і дуже наочним прикладом в R 3 служить пряма і перпендикулярна їй площину (рис. 34): будь-який вектор на прямий S ортогонален кожному вектору, який лежить на перпендикулярній площині 5, і навпаки.

Приклад безлічі і його ортогонального доповнення

Мал. 34. Приклад безлічі і його ортогонального доповнення

 
<<   ЗМІСТ   >>