Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ГІЛЬБЕРТОВОМУ ПРОСТОРІ

Одним із способів введення норми в банаховому просторі є завдання в ньому скалярного (або внутрішнього) твори. Скалярний твір - це числова функція двох аргументів (•, •). Будь парі векторів воно ставить у відповідність число. При цьому скалярний твір має відповідати таким вимогам. Нехай V - векторний простір, f, g, heV і «їй 1 , тоді:

  • 1) (/, /)> О, (Л /) = 0о / = 0;
  • 2) (f> g + h) = (Jg) + (f, h) ~ асоціативність;
  • 3) (f, g) = (gj ) - симетрія;
  • 4) (af, g) = a (f, g) - однорідність.

Векторний простір V з введенням в ньому скалярним твором називається предгільбертовим, або евклідовим.

приклади

1. В R ", елементами якого є впорядковані сукупності чисел / = g = (g ', ..., g"), скалярний твір визначається формулою

Вага чотири аксіоми скалярного твори легко перевіряються.

2. Нехай К = С ° ([0,1]) - безліч безперервних функцій, визначених на [0, 1]. Скалярний твір в цьому випадку можна визначити так:

Визначивши скалярний твір (і отримавши тим самим предгільбертово простір), ми можемо природним чином ввести норму

Те, що це норма, неважко показати. Перші три властивості, очевидно, задовольняються, так що залишається перевірити нерівність трикутника. Для наших цілей його зручно записати у вигляді

Для будь-яких / і g з розглянутого простору маємо

Якщо вдасться показати, що | (/, g) | ^ || / || , || g ||, то тоді виявиться справедливим і нерівність трикутника. Це співвідношення дійсно виконується. Розглянемо норму вектора / -rag, де а - деяке число. Очевидно, що

Звідки

Оскільки а - довільне число, покладемо і, підставляючи в (4.17), отримаємо

107

або

Нерівність (4.18) називається нерівністю Коші-Буняковського. З його помошио отримуємо

або

Таким чином, будь-яке предгільбертово простір можна зробити нормованим, якщо норму визначити рівністю (4.16). Якщо предгільбертово простір виявляється повним по нормі (4.16), то воно називається Гільбертовим (такі простору будемо позначати буквою Н). Іншими словами, Гільбертовим називається Банахів простір, в якому норма визначена через скалярний добуток. Для цього, звичайно, спочатку потрібно спробувати визначити скалярний твір. Не всяке Банахів простір можна зробити Гільбертовим. Є, однак, важливий результат: якщо в банаховому просторі для будь-яких векторів f, g , виконується правило паралелограма

то в ньому можна ввести скалярний твір (т. е. перетворити простір в Гільбертів), визначивши його формулою

 
<<   ЗМІСТ   >>