Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

МЕТРИКА І НОРМА

Вище ми вже використовували поняття відстані, не обумовлюючи, як його виміряти. Розглянемо це питання докладніше. Якби ми обмежувалися точками на прямій, площині чи в тривимірному просторі, то інтуїтивно все було б зрозуміло. Однак тепер точками ми називаємо елементи векторних просторів. Що ж вкладається в поняття відстані між ними? Оскільки площину - це окремий випадок векторного простору, то і під відстанню між точками векторного простору ми будемо розуміти щось аналогічне відстані між точками на площині. По-перше, відстань є невід'ємне число. По-друге, воно залежить від взаємного розташування точок і не залежить від їх положення щодо нуля. По-третє, неважливо, як ми вимірюємо відстань: від першої точки до другої або навпаки. По-чствсртих, якщо точки збігаються, то відстань між ними дорівнює нулю. І, нарешті, якщо ми розглядаємо відстані між трьома крапками, то будь-яка з них не перевищує суми двох інших (довжина сторони трикутника не перевищує суми довжин двох інших сторін). Ось такими ж властивостями ми наділимо і відстань між точками будь-якого векторного простору або навіть просто довільного безлічі (адже на площині відстань між двома точками має сенс і тоді, коли ми розглядаємо лише якусь її частину, а не всю цілком). Формально все, що було сказано, запишеться так. нехайX - довільна множина і f, g, heX. Поставимо кожній парі / і g у відповідність невід'ємне число d (J ', g), таке, що для будь-яких f, g і до з X справедливо:

  • 1) d (f, g)> 0, якщо / * g;
  • 2) d (f, f) = 0;
  • 3) d (f, g) = d (g, f);
  • 4) d (f, g)

Очевидно, що d (f, g ) є функція (відображення), певна на будь-якій парі векторів з X зі значеннями в числах (в /? '). Певна так функція називається метрикою на X, а саме X, забезпечене метрикою (або, як кажуть, пара {X, d)), - метричних простором. Зверніть увагу, що для того, щоб деякий безліч стало метричних простором, на ньому необхідно ввести метрику і тільки. При цьому воно, природно, не стає векторним простором, бо на ньому ще не визначені складання елементів і множення їх на число. У тому випадку, коли ми працюємо з векторним простором V, можна скористатися тим, що у нас вже є одна виділена точка 0, і ввести більш сильне поняття норми вектора , т. Е., По суті, відстань від елемента до 0. Оскільки тут передбачається наявність деякого правила, що ставить у відповідність кожній точці з V дійсне число, яке ми називаємо відстанню до точки 0, ми маємо функцію (відображення), що відображає V в R 1 . Для позначення норми використовується спеціальний значок II • II. Норма вектора / позначається || / ||. Запишемо визначення норми формально для більш загального комплексного випадку, який нам знадобиться згодом. Нехай V- векторний простір і / е V. Нормою вектора / називається неотрицательная числова функція || / ||, певна на V, така, що для будь-яких f і / у <= R 1 ВИКОНУЮТЬСЯ умови:

(Нерівність трикутника).

Заміною елемента g на (А - /) і подальшим переобозначеніе легко отримати і інші варіанти нерівності трикутника. Всі їх можна записати в вигляді наступних нерівностей:

Лінійне простір, забезпечене нормою, називається нормованим векторним простором. Якщо для кожної точки V відомо її відстань до нуля (норма), то легко домовитися і про те, як виміряти відстані між точками з V, т. Е. Отримати метрику. Для цього відстанню між двома точками / і g можна вважати норму їх різниці

Дане вище визначення норми не задає нам її єдиним чином. Часто для одного і того ж векторного простору можна ввести кілька норм. Отримувані при цьому нормовані простору вважаються різними.

  • 1. Лінійне простір R ' стає нормованим, якщо нормою х елемента х е R' вважати його модуль | х |. Очевидно, що таке визначення норми в /? ' коректно.
  • 2. У просторі R " норму вектора х = (хх 2 можна ввести багатьма способами. Найбільш часто використовуються наступні норми:
    • а) октаедричні норма, або норма || ? || :

3. Наочне уявлення про ці норми дає безліч елементів х е R ", для яких || х || = 1, або так звана одинична сфера. В плоскому випадку, т. Е. Для R 2 , одинична сфера для різних норм показана на рис. 30.

Тип індивідуальної сфери на R  для різних норм

Мал. 30. Тип індивідуальної сфери на R 2 для різних норм

4. Дуже важливими є векторні простору, елементи яких є функції (т. Е. Функції будуть в цьому випадку точками або векторами даного простору). Розглянемо безліч / г ([а, />]) дійсних функцій, визначених на відрізку [а, Л]. нехай

J ', geF і aR ] . Визначимо нові функції f + g і а /, вважаючи, що

ДЛЯ ВССХХ € [й, Ь]

Інакше кажучи, значення суми функцій в точці х дорівнює сумі значень функцій-доданків в тій же точці. Аналогічно для а /. Аксіоми векторного простору, очевидно, виконуються. Як правило, такі загальні лінійні простори функцій нс розглядають, а вивчають підмножини F, які, в свою чергу, також утворюють лінійні простори, наприклад, простір С ° ([я, />]) безперервних функцій, визначених на [а, Ь, або простір С * ([ «,?]) функцій, що володіють до обмеженими безперервними похідними на [я, Л]. Функціональні лінійні простори, як правило, безконечномірний. Ці простору також можна зробити нормованими, якщо побудувати для них відповідну норму. Так, С ° ([а, /?]) Часто забезпечується так званої рівномірної нормою

Очевидно, що це безконечномірний аналог норми || •. інша

можлива норма - норма || •.:

Існують і інші варіанти норм. Рівномірної нормі можна дати наочну інтерпретацію. Нехай М - безліч функцій, таких, що | / «1 < а , для всіх / (х) е М і а> 0, а е R '. Тоді все / з М повинні «вкладатися» в смугу ± а щодо осі абсцис (рис. 31).

Якщо Р - безліч функцій /, для яких відстань від заданої функції g не перевищує у ?, т. Е. || / -g || < / 3 , то всі зміни / повинні бути укладені в смузі шириною 2Д, що охоплює функцію g. Для норми I • I, це не так, оскільки обмежуватися буде лише інтеграл, а значення функції в окремих точках можуть цього обмеження не задовольняти. Обмеження || / (х) || < А , таким чином, більш сильне, ніж || / || < А , і з першого слідують другі, але не навпаки.

Коливання функцій / для яких || / (л ') || < А

Мал. 31. Коливання функцій / для яких || / (л ') || < А,

повинні відбуватися в смузі А; а функції f відстань яких від функції g не перевищує (3> Про

(Т. Е. Fg

 
<<   ЗМІСТ   >>