Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

КООРДИНАТНІ ВІДОБРАЖЕННЯ

З усього вищесказаного випливає, що будь-який елемент / з «-мірного векторного простору V може бути заданий набором чисел {/ '}, що відповідає обраному базису { V ставиться у відповідність набір« чисел е R 1 , т. Е. Задається

відображення <р, що переводить будь-який вектор векторного простору V в вектор R " або ср : V -> R" . Таке відображення називається координатним , а набір {/ '} називається координатами вектора (або точки) / щодо відображення пор. Згадка відображення так само необхідно, як і завдання базису. Різні відображення задають різні системи координат. Нехай, скажімо, відображення ср ставить у відповідність точці / набір координат {/ '}, а відображення у / - набір координат {g'} (рис. 28).

Два координатних відображення ср і у / відображають

Мал. 28. Два координатних відображення ср і у / відображають

точку f векторного простору V в різні точки R ".

Взаємно однозначні координатні відображення ср і у / породжують

перетворення координат у / о cp '-. R ^ R "

Оскільки різні точки {/ '} і {g'} з R " є образами однієї і тієї ж точки / е V , між ними повинна існувати зв'язок. Інакше кажучи, повинна існувати зв'язок між різними координатними системами {/ '} і {g' }. Ми будемо розглядати тільки взаємно однозначні координатні відображення (такі відображення ще називають 1-1 відображеннями). Оскільки відображення взаємно однозначно, воно має зворотне відображення <p ~ х , яке відображає точку {/ '} е R " в точку / е V. Точка ж / відображенням у / перекладається в точку {g '} е R " (див. рис. 26).

Таким чином, композиція у / ° <p ~ ' мережу відображення R " м> R" або

В результаті ми отримуємо функціональні співвідношення, що визначають перетворення координат:

Побудова координатних відображень

Мал. 29. Побудова координатних відображень

Нехай V є площину. Відобразимо її на R 2 наступним чином. Виберемо на площині точку 0, з якої зв'яжемо нульовий вектор R 2 , т. Е. (О, 0). Проведемо через точку 0 пряму (в обидва напрямки), яку будемо називати віссю абсцис, і кожній точці якої поставимо у відповідність вектор з R 2 виду ( «, ()), де а - дійсне число. Проведемо через точку 0 ще одну пряму, перпендикулярну першої, назвемо її віссю ординат і зв'яжемо з нею аналогічно вектори з R 2 виду (О, /?), Де р - також дійсне число. Всім іншим точкам площини поставимо у відповідність вектори з R 2 виду ( а, р ), якщо перпендикуляри, опущені з точки на осі, перетнуть ці осі відповідно в точках (аг, 0) і (0, /?). Отже, координатне відображення побудовано: кожен елемент з V відображений на елемент з R 2 (рис. 29). Такі координати точок площини називаються декартовими координатами.

Відобразимо тепер площину в R 2 інакше. Це нове відображення починаємо будувати так само, як і декартово, аж до побудови осі абсцис. Тільки в цьому новому відображенні вона буде називатися полярною віссю. Далі, кожній точці площини поставимо у відповідність вектор (р, ?), Якщо ця точка лежить на перетині кола радіуса р з центром в точці 0 (т. Е. Це коло перетинає полярну вісь в точці (/ ?, 0)) з променем , що йде з точки 0 під кутом 3 до полярної осі.

Кут вимірюється проти годинникової стрілки і називається полярним кутом. Ці координати точки називаються полярними координатами.

У першому випадку площину відображається на все R 2 , а в другому - на підмножина, що складається з векторів (р, 3), де

Тепер можна побудувати співвідношення (4.5), т. Е. Завімость р п 3 від а і р . Очевидно, що

і

Будемо називати функцією , заданою на V, правило, яке ставить у відповідність кожній точці / деяке число - значення функції в цій точці.

З цього визначення випливає, що координати {/ '} є функціями на векторному просторі V: кожній точці / е V ставиться у відповідність п координат і їх значення змінюються від точки до точки.

 
<<   ЗМІСТ   >>