Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ВЕКТОРНИЙ ПРОСТІР

З'ясуємо тепер, що можна сказати про тих величезних кількостях, між елементами яких відображення А встановлює відповідність. Розглянемо площину. Виберемо на ній деяку точку, назвемо її нулем і позначимо знаком 0. Після цього з будь-якою точкою площині ми можемо пов'язати вектор (такий, яким його уявляють в школі: спрямованим відрізком, стрілочкою, що йде з точки 0 в будь-яку точку площини). Тепер безліч точок площині можна трактувати як безліч векторів, що мають спільний початок в точці 0. Це трактування є, зрозуміло, не що інше, як взаємно однозначне відображення множини точок площини на безліч компланарних векторів, що виходять з точки 0. Нехай дві точки р і q лежать на одній прямій з точкою 0 (або, що те ж, два вектора рі q лежать на одній прямій). Припустимо, якимось чином ми вміємо вимірювати довжину. Позначимо довжину вектора через /. Якщо l p ll q = а , то будемо

говорити, що p = aq, коли р і q лежать по одну сторону від точки 0, і р - -aq , коли вони лежать по різні боки (рис. 27, а). Таким чином, ми визначили множення вектора на число. Далі, нехай р і q - два довільних вектора. Визначимо їх суму г як вектор, спрямований по діагоналі паралелограма, побудованого на цих векторах. Довжина цього вектора дорівнює довжині діагоналі, т . е. р - р + q (рис. 27, б).

Дії над векторами

Мал. 27. Дії над векторами

Необхідно розуміти, що способи знаходження aq і p + q ми саме визначили. Само по собі безліч точок нс передбачає будь-якого способу визначення aq і p + q. Ми можемо (якщо в тому виникне потреба) визначити ці операції іншим способом і навіть назвати по-іншому (немає, знову ж таки, ніяких внутрішніх причин називати вектор г сумою, а не, скажімо, твором). Те, як ми визначили множення на число і суму, є данина традиції і тим фізичним міркувань, які лягли в основу цієї традиції. Множення на число і сума векторів - приклади відображень, про які говорилося вище. Перше відображає площину в себе: деяка точка площині відображається в точку тієї ж самої площині. Друге відображає будь-яку пару векторів (елемент області визначення є будь-яка пара векторів) в вектор: будь-якій парі точок площини ставиться у відповідність третя точка цієї площини. Певні нами відображення мають ряд властивостей. По-перше, має місце коммутативность і асоціативність додавання і множення на число:

Тут а, р - числа, a p, q і г - вектори. Далі, точці 0, очевидно, відповідає нульовий вектор, для якого справедливо

Крім того, для будь-якого вектора р існує вектор q, такий, що

і він, природно, позначається через . І, нарешті, якщо вектор р помножити на одиницю, то він відобразиться в себе (і довжина, і напрямок залишаться колишніми). Безліч, для елементів якого визначено додавання і множення на число, що має зазначеними властивостями, називається векторним простором. Чудовим виявляється те, що вектором , т. Е. Елементом векторного простору, може бути не тільки точка площині, а об'єкт будь-якої природи (як ми побачимо далі - число, функція, оператор та інше). Необхідно лише визначити додавання і множення на число, що володіють зазначеними вище властивостями. Формалізуємо все вищесказане наступним чином. Нехай V - деякий непорожня множина і /, g, h - деякі його елементи. Це безліч називається векторним (або лінійним) простором , якщо вказано правило, за яким будь-яким двом елементам з V ставиться у відповідність третій елемент з V, званий сумою елементів, і правило, за яким будь-якого елементу з V і будь-якого числа (взагалі кажучи, комплексному ) ставиться у відповідність елемент з V, званий твором елемента на число, і ці правила підкоряються наступним аксіомам:

  • 1) / + g - g + f - комутативними закон;
  • 2) (./ + g) + h- f + (g + h) - асоціативний закон;
  • 3) існує елемент 0, званий нулів, такий, що / + 0 = 0;
  • 4) для будь-якого / існує протилежний елемент - / такий, що / + (- /) = 0;
  • 5) 1 • / = /;
  • 6) «(/ + g) = af + ag;
  • 7) {a + P) f = af + Pf
  • 8) (ap) f = a (Pf).

В аксіомах (5-8) 1, a, p - числа. Елементи f, g, h, ... sV називаються точками (або векторами).

Приклад 1. Дано R '- безліч дійсних чисел. Виконання аксіом (1-8) для звичайним способом певних додавання і множення неважко перевірити. Таким чином, R '- це векторний простір, точками або векторами якого служать речові числа. До речі, якщо розмістити всі речові числа на прямій (т. Е. Вибрати нульову точку, а точку р зв'язати з числом а, якщо відстань від 0 до р одно а), то і тут вектори можна представити у вигляді стрілок, спрямованих з точки 0 в точку р.

Приклад 2. Дано R " - безліч, елементом якого є будь-яка впорядкована сукупність з п чисел (х 1 , х 2 , ..., х") (значок над

х- не ступінь, а індекс). Число х 'будемо називати / -й компонентою елемента. Визначимо складання елементів R " і множення їх на число покомпонентно.

Якщо / = (/ ', / 2 , ..., / ") і g = (g', g 2 , ..., g '') - елементи R" і а - число, то

і

Нульовим елементом назвемо елемент (0, 0, ..., 0). Аксіоми (1) - (8) знову легко перевіряються, так що і безліч R " є векторним простором.

Зробимо попутно невеликий додаток до прикладу 2.

Нехай Р і Q - два довільних безлічі, що складаються з елементів p i і ср відповідно. Можна утворити нове безліч, елементами якого будуть всілякі впорядковані пари (р ,, ^,). Це нове безліч називається прямим твором множин Р і Q і позначається через PxQ . Нехай тепер V і W- векторні простору. Пряме твір V х W можна також перетворити в векторний простір, якщо додавання і множення на число визначити наступним чином:

для f, p е V, g, q е W , (/, g), (p, ^) eVxW і а - речовий або комплексне число. Очевидно, простір R " можна трактувати як пряме твір п векторних просторів R ]

Приклад 3. Нехай С - безліч комплексних чисел + //?), Де а, / 3 - речові числа, a i - уявна одиниця. Додавання і множення на число визначимо наступним чином:

Нульовим назвемо елемент (0 + / 0). Аксіоми (1) - (8) виконуються і тут, звідки випливає, що і С також є векторним простором.

Приклад 4. Безліч пхп матриць також буде векторним простором, якщо суму матриць і множення матриці на число визначити так, як це робиться в лінійної алгебри, т. Е. Покомпонентно. Нульовим елементом цього простору буде нульова матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю.

Число прикладів можна легко збільшити.

Якщо деяка підмножина 5 векторного простору V саме утворить векторний простір, то воно називається подпространством векторного простору V. Наприклад, будь-яка площина, що проходить через точку 0 в R 3 є подпространством R так як сама є векторним простором R 2 . Таким же чином будь пряма, походять через точку 0, є подпространством R Крім того, дана пряма є подпространством тих площин R 2 , в яких вона лежить.

Сума творів ненульових векторів на числа

називається лінійною комбінацією векторів Очевидно, якщо

V - векторний простір, то воно містить і будь-яку лінійну комбінацію своїх елементів, т. Е. Лінійна комбінація є вектор. Вектор, який є лінійною комбінацією будь-яких інших векторів, називається лінійно залежним від цих векторів. Якщо ж він не може бути представлений у вигляді лінійної комбінації зазначеного набору векторів, то він від ні х лінійно незалежний. Якщо ми в /? ' виберемо якийсь вектор /, що не рівний нулю, то всі інші вектори виявляються лінійно від нього залежними, так як можуть бути записані у вигляді а /, де а - число. У векторному просторі R 1 картина інша. Вибравши ненульовий вектор /, ми не можемо стверджувати, що всі інші вектори будуть лінійно залежати від нього, оскільки вектори, лінійно залежні від f будуть лежати на прямій, що проходить через точки 0 і /. Але вже двох векторів, які не лежать па одній прямій, досить для того, щоб всі інші вектори лінійно від них залежали. Сукупність ненульових векторів з деякого лінійного простору називається лінійно незалежною, якщо не існує такого ненульового набору чисел що

Для довільної множини векторів максимальне число п лінійно незалежних векторів називається його розмірністю. Так, безліч точок на прямій має розмірність один, т. Е. Одновимірно, а безліч точок на площині - двумерно. Якщо такого максимального числа не існує (число лінійно незалежних векторів більше будь-якого наперед заданого числа п ), то множина називається безкінечномірні, в іншому випадку - конечномірні.

 
<<   ЗМІСТ   >>