Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ДВОВИМІРНИЙ СИМПЛЕКС-ЕЛЕМЕНТ

Двовимірний симплекс-елемент зображений на рис. 18.

Двовимірний симплекс-елемент

Мал. 18. Двовимірний симплекс-елемент

Будемо нумерувати вузли проти годинникової стрілки. Інтерполяційний поліном має вигляд

Умови в вузлах i, j, до приводять до системи рівнянь Рішення цієї системи дає

Тут А - площа трикутника ij до, яка пов'язана з визначником системи (3.84) наступним чином:

Підставляючи значення ci, а 2 , а 2 в формулу (3.83), можна перетворити вираз для ю до виду, подібного (3.82):

Легко показати, що значення N, в / -му вузлі дорівнює одиниці, N, = Про в другому і третьому вузлах, а також в усіх точках прямої, проведеної через ці вузли.

МІСЦЕВА СИСТЕМА КООРДИНАТ

Отримання системи рівнянь для вузлових значень невідомих величин включає інтегрування по площі елемента функцій форми або їх приватних похідних. Інтегрування може бути спрощено, якщо записати інтерполяційні співвідношення в системі координат, пов'язаної з елементом. Цю систему називають місцевою або локальною.

Розглянемо трикутний елемент, в якому скалярна величина представлена у вигляді

а функції форми визначаються формулами (3.86а, 3.866, 3.86в).

Помістимо початок локальної системи в центрі елемента (рис. 19) і запишемо формули перетворення координат:

Місцева система координат Тут X і Y - координати центру трикутника

Мал. 19. Місцева система координат Тут X і Y - координати центру трикутника

Функція форми N, після підстановки (3.87) набуде вигляду Враховуючи тепер (3.86а) і співвідношення (3.88), можна отримати, що

Таким чином, функція форми в місцевій системі координат набуває вигляду

Інтеграл від функції, заданої в глобальній системі координат, то, можливо вирахувано в місцевій системі координат з допомогою співвідношення

де R і R * - відповідно стара і нова області інтегрування; | J | - модуль якобіана перетворення системи координат, який дорівнює відношенню площ в двох системах координат A xy jA st .

Так як обидві системи прямокутні і масштаби виміру в них збігаються, то | J | = 1.

Крім того, зауважимо, що форми елементів R і R * зберігаються. Таким чином, співвідношення (3.91) набирає вигляду

Функція f (x, y ) в лівій частині цієї рівності являє собою функцію форми елемента, виражену в глобальній системі координат, тоді як f [x (s, t), > '(. V, /)] відповідає функції форми елемента, представленої в локальній системі координат.

 
<<   ЗМІСТ   >>