ЛІНІЙНІ ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІ ПОЛІНОМИ

Класифікація кінцевих елементів може бути проведена відповідно до порядку многочленів - функцій цих елементів. При цьому розглядаються три наступні групи елементів:

• • симплекс-елементи;
• • комплекс-елементи;
• • мультиплекс-елементи.

Симплекс-елементам відповідають многочлени першого ступеня. Комплекс-елементам - многочлени більш високого порядку.

У симплекс-елементі число вузлів одно розмірності простору + 1. У комплекс-елементі число вузлів більше цієї величини.

Для мультиплекс-елементів також використовуються багаточлени високого порядку, але межі елементів при цьому повинні бути паралельні координатним осях.

ОДНОВИМІРНА СИМПЛЕКС-ЕЛЕМЕНТ

Одновимірна симплекс-елемент - це прямолінійний відрізок довжини L з двома вузлами, по одному на кінцях відрізка (рис. 17). Вузли позначаються індексами i та /, вузлові значення - Ф "Ф ,.

Функція елемента (р має вил

Мал. 1 7. Одновимірна симплекс-елемент

Коефіцієнти від, і а-, легко визначаються. При x = X _i (р = Ф, і формула (3.77) дасть

аналогічно

Вирішуючи два останніх рівняння щодо а _х , а ₂ , отримаємо

Підставляючи знайдені значення і а ₂ у формулу (3.79), отримуємо для (р вираз

яке можна переписати у вигляді

Лінійні функції від х у формулі (3.80а) називаються функціями форми, або інтерполяційними функціями. Будемо позначати їх через N; І Nj

Тут індекси / і j у N позначають вузол, до якого відноситься функція форми. Тепер співвідношення (3.80) можна записати в матричному вигляді:

Як видно з формули (3.81), функція N, дорівнює одиниці в вузлі з номером / і дорівнює нулю в вузлі з номером j. Аналогічно функція А, дорівнює нулю в / -му вузлі і одиниці в / -му вузлі.

Ці значення характерні для функцій форми. Вони дорівнюють одиниці в одному певному вузлі і нулю в усіх інших вузлах.