РІШЕННЯ ЗМІШАНОЇ ЗАДАЧІ

Покажемо тепер, як за значеннями і ° _т і й _т обчислити значення і ²т. У силу (3.66) і (3.70) маємо

Різницеве рівняння в схемі (3.70) перепишемо у вигляді

нехай рівняння

задано в ооласті

Будемо вважати, що до рівняння (3.73) приєднані початкові умови

і граничні умови третього роду

Виберемо рівномірну прямокутну сітку, поклавши

Для заміни рівняння (3.73) різницевим скористаємося, як і в разі завдання Коші, явним п'ятиточковим трсхслойним шаблоном. Сітковий область?> /, Розіб'ємо на безліч?> "Внутрішніх вузлів

і безліч Г ,, граничних вузлів

На множині D "рівняння (3.73) і початкові умови (3.74) аппроксимируются разностной схемою виду (3.70). Для заміни граничних умов на прямих х = а і х = /? скористаємося формулами типу (3.68):

і = 0, 1, ..., N, причому г, "= г, О), т _2п = т ₂ (у") і т. д.

Різницеві умови (3.76) апроксимують граничні умови (3.75) з похибкою порядку 0 (h).

Чисельна реалізація схеми (3.70) з умовами (3.76) здійснюється майже так само, як і чисельна реалізація схеми (3.70). Спочатку, використовуючи формули виду (3.71), обчислюємо значення на нульовому шарі н °, потім значення на першому шарі і ' _т ; в обох випадках т змінюється в пределах0 < т <М . Далі за рівнянням (3.72) при я = 1 обчислюємо значення і ² , «2, ..., u ²M_ _v

Для обчислення на другому шарі значень і і скористаємося різницевими граничними умовами (3.76) при я = 2. Аналогічно за значеннями і _м , і ²м, т = 0, ..., М обчислюються и1, і ^ь2, ..., і, _ _х і т. Д.

На закінчення зазначимо, що достатнім для стійкості але початковими даними різницевої схеми L _h (u ^(h) = f ^h є умова

Відзначимо, що для рівнянь гіперболічного типу розглядаються також і неявні різницеві схеми.