МЕТОД МАТРИЧНОЇ ПРОГОНКИ

Перепишемо разностную схему (3.42) так:

Нехай M> N. введемо позначення

Завдання (3.57) аналогічна задачі, яка вирішувалася в п. 2.2 методом прогонки. Її відмінність лише в тому, що вона має векторну форму.

Наведемо тут алгоритм вирішення задачі (3.57), який називається матричної прогоном.

1. За формулою R _{m + l} = - (А + R _m ) ~ т = 1, ...., М -1, вважаючи 7?, = О, обчислюємо матриці R _m = (Rj ^m) ), т- 1, 2, ..., М. Порядок цих матриць (# -1) х (Я-1). Після цього покладемо вектор 5, =%, а потім по формулі

Покладемо в формулах (3.55) л = 1, N-1 і, використовуючи (3.56), запишемо систему рівнянь (3.55) у векторній формі:

де А - трехдіагональной матриця порядку N - 1 виду

обчислимо вектори

2. Покладемо і _м = <р _а . За формулою

обчислимо послідовно шукані значення рішення задачі (3.57):

3.3.5. Ітераційний метод вирішення різницевої схеми для задачі Діріхле

Висловимо з схеми (3.42) значення і _тп :

Значення на кордонах відомі:

У рівності (3.58) значення і _тп виражається через чотири сусідніх значення и- по пятіточечіому шаблоном.

У ітераційне методі рішення вважають значення і _тп у всіх внутрішніх точках області D _h рівним деяким довільним початковим значенням.

часто вважають

Потім за допомогою формул (3.58), (3.59) обчислюють нові значення Іщ , потім Іщ і т. Д., До тих пір, поки максимальне відхилення значень сіткових функцій на попередній і поточної ітераціях не стане менше по модулю, ніж деяка заздалегідь задана точність е . Отже, ітерації припиняють, коли виконається умова