РІЗНИЦЕВІ СХЕМИ ДЛЯ РІВНЯНЬ ЕЛІПТИЧНОГО ТИПУ

Цей тип завдань ми розглянемо на прикладі рівняння Пуассона з постійними коефіцієнтами.

Побудова різницевої апроксимації для рівняння Пуассона

Розглянемо в деякій області D з кордоном / "рівняння Пуассона Виберемо прямокутну сітку за правилом

До гратчастої області D _h віднесемо все вузли, що належать області D = D + Г (рис. 5).

Мал. 5. До побудови різницевої апроксимації

Візьмемо ятиточковий шаблон

Користуючись розташуванням точок в цьому шаблоні, розіб'ємо вузли області на дві категорії: внутрішні і граничні. Вузол (т, п) будемо вважати внутрішнім , якщо він сам і чотири сусідніх точки шаблону належать області D _h (ці вузли позначені символом °). Позначимо безліч внутрішніх вузлів через D. Решта вузли назвемо граничними (позначені *) і їх безліч позначимо через Г _Л .

Таким чином, D _h - ?> "+ Г _І .

Очевидно, що розбиття вузлів з D _h на внутрішні і граничні залежить від вибраного шаблону.

Нехай вузол (ш, і) е?) ". Заміну диференціального рівняння (3.25) різницевим будемо здійснювати тільки у внутрішніх вузлах.

маємо

Скориставшись аппроксимацией других похідних, отримаємо

д ⁴ і д ⁴ і "-

Нехай -j і -р-обмежені по абсолютній величині в D. тоді

дх ду

у формулі (3.27) при досить малих h і / можна знехтувати членами, що містять в якості множників / Г і I ² , і ми отримаємо шукане різницеве рівняння

де

де u _h (x, y) - точне рішення в вузлах,

д ^А і д ^А і

При зроблених припущеннях щодо -j і -, як

дх ду

видно з (3.30), має місце оцінка

Тут М - постійна, не залежить від І і l = a h.

Оцінка (3.31) означає, що різницеве рівняння (3.28) апроксимує рівняння (3.25) на рішення і (х, у) з похибкою порядку 0 (h ² ).