Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

СТІЙКІСТЬ ДВОШАРОВИХ РІЗНИЦЕВИХ СХЕМ

Визначимо норму в просторі і до по правилу

Розглянемо явну різницеву схему (3.13). З'ясуємо, при яких значеннях г, г = rh можлива стійкість цієї схеми.

Для доказу стійкості треба показати, що різницева схема однозначно розв'язна і при будь-яких

має місце оцінка

де М- постійна, яка не залежить від h і g {h) і L ^ z ^ h) ) =

Різницева схема (3.13) - явна, і тому її однозначна розв'язність очевидна.

Перепишемо формулу = g {h) у вигляді

Нехай виконуються умови

Тоді з (3.17) отримаємо:

або

Нерівність (3.19) означає, що при а "= 0 max z" +1 не перевищує

дит max z ", т. е. max z" не збільшується зі збільшенням п .

т т

Це властивість однорідної різницевої схеми прийнято називати принципом максимуму. Покладемо в (3.19) п = 0,1 , ..., N - 1. Це дасть

Зауважимо, що max а пт є число, що не залежить від т і п. Просум-

т, п

мировалось останні нерівності, враховуючи, що = J3 m , отримаємо де позначено

На підставі (3.20) можна записати

Таким чином, різницева схема (3.13) при виконанні умови (3.18), що накладається на г і Л, стійка. Умова (3.18) досить жорстко, бо з нього випливає, що

Це призводить до того, що якщо ми бажаємо зберегти стійкість, то при обчисленнях за схемою (3.13) крок за часом г доводиться вибирати дуже малим.

Звернемося тепер до разностной схемою L ^ u ih) ) = / <А) (3.14), що відповідає шаблоном, зображеному на рис. 4.

Неявний двошаровий шаблон Нагадаємо, що в схемі (3.14)

Мал. 4. Неявний двошаровий шаблон Нагадаємо, що в схемі (3.14)

Перепишемо схему (3.14) у вигляді

Подивимося, які треба виконати обчислення, щоб, використовуючи

формули (3.22), можна було обчислити, наприклад, значення і т на першому часовому шарі зі значеннями і т на нульовому часовому шарі. Поклавши в формулах (3.22) п = 0, отримаємо:

Формули (3.23) являють собою нескінченну систему лінійних рівнянь щодо невідомих і [ 2 , і_ { , w ^ ,, і,

Рішення таких систем є складною і трудомісткою завданням, тому різницеві схеми (3.14) незручні для задач Коші на нескінченних відрізках і застосовуються рідко. Однак, якщо відрізок осі х, на якому розглядається задача Коші, кінцевий, т. Е. А <х- а <До , а на прямих х = а і х = ред додатково задані деякі обмеження на рішення u (x, t), то різницеві схеми виду (3.14) виявляються досить ефективними. Зокрема, можна показати, що такі схеми є абсолютно стійкими, т. Е. Стійкими при будь-яких значеннях г = т / І 2 > 0.

Але якщо, наприклад, на відрізках прямих х = а і х = Ь задані умови u {a, t) = y 0 (r), u (b, t) = у, (0 ? То ВИ Д системи (3.23) істотно зміниться:

Формули (3.24) являють собою систему М + 1 алгебраїчних рівнянь щодо і м . Матриця цієї системи трехдіа-

гональна і її можна вирішити методом прогонки. Звідси ясно, що реалізація неявних різницевих схем вимагає великих обчислювальних витрат для обчислення рішення на одному часовому шарі, але таких шарів може бути трохи через те, що в цьому випадку відсутні обмеження на співвідношення r / h 2 . Якщо користуватися явною разностной схемою, то обчислення рішення на наступному шарі здійснюється по рскурсіонному правилом і пов'язано з мінімальними обчислювальними

г 1

витратами, однак через обмеження - <- число тимчасових шарів в

h ~ 2

випадку явних схем може бути істотно більшим у порівнянні з числом тимчасових шарів для неявних схем.

Розглянемо тепер питання про збіжність схеми (3.13). Ця схема апроксимує задачу (3.5), (3.6) з похибкою порядку 0 (r + h 2 ) і

стійка при г <1/2.

Тому схема (3.13), по теоремі про апроксимації і стійкості, буде сходящейся. При цьому похибка для наближеного рішення буде величиною порядку 0 (г + І 2 ).

 
<<   ЗМІСТ   >>