ЧИСЕЛЬНЕ РІШЕННЯ РІВНЯНЬ В ПРИВАТНИХ ПОХІДНИХ

Різницеві схеми. Основні поняття

Нехай D - деяка область зміни незалежних змінних х, у, обмежена контуром Г. Кажуть, що в області D задано лінійне диференціальне рівняння другого порядку для функції і (х, у), якщо для будь-якої точки з області D має місце співвідношення

де а (х, у), Ь (х, у), ... - коефіцієнти; f (x, y) - вільний член рівняння. Ці функції відомі і їх зазвичай вважають певними в замкнутій області Ю - (D + Г . Позначимо S (x, y) = b ² - ас.

Рівняння L (u) -f називається еліптичним, параболічних або гіперболічним в D, якщо відповідно виконуються умови? (Х, у) <0, S (x, y) = 0, S {x, y)> 0 для всіх (x , y) eD.

Залежно від типу диференціального рівняння по різному ставляться граничні і початкові умови, пов'язані з цим рівнянням. Далі ми будемо розглядати окремі випадки рівняння (3.1):

рівняння Пуассона (еліптичне рівняння)

• рівняння теплопровідності (параболіческоеуравненіе)

• хвильове рівняння (гіперболічне рівняння)

Відповідність, апроксимації та стійкість різницевих схем

Нехай і є рішення диференціального рівняння

заданого в області D. Розглянемо деякий безліч D _h = | М _h }, що складається з ізольованих точок M _h , що належать замкнутої області D = D + Г. Число точок в D _h будемо характеризувати величиною / ?; чим менше / ?, тим більшим буде число точок в D _h . Безліч D _h називається сіткою, а точки M _h од, - вузлами сітки. Функція, певна в вузлах, називається гратчастої функцією.

Позначимо через U простір безперервних в D функцій і (х, у). Через U _h позначимо простір, утворене сукупністю сіткових функцій u _h (x, y) , визначених на D ,,. У методі сіток здійснюється заміна простору U на простір U _h .

Нехай і (х, у ) - точне рішення рівняння (3.2) і і (х, у) належить U. Поставимо задачу відшукання значень u _h (x, y). Ці значення в сукупності утворюють таблицю, в якій число значень дорівнює числу точок в Д ,. Точно поставлене завдання вдасться вирішити рідко. Як правило, можна обчислити деякі сіткові значення і ^0,) , щодо яких можна думати, що

Величини м ^(/,) називаються наближеними сітковими значеннями рішення і (х, у). Для їх обчислення будують систему численних рівнянь, яку ми будемо записувати у вигляді

де L _h є різницевий оператор, відповідний оператору L, / ^(Л) е F _h . Якщо f {x, y) е F , то F _h утворюється по F аналогічно тому, як Ц, утворювалося по U. Формулу (3.3) будемо називати разностной схемою.

Нехай в лінійних просторах U _h і F _h введені відповідно норми Ц.Цу і || • II /. , Які є сітковими аналогами норм

IMIt; ^і || • II // вихідних просторах.

Будемо говорити, що різницева схема (3.3) є такою, що сходиться, якщо при / г -> 0 виконується умова

Якщо виконується умова

де з - постійна, яка не залежить від h і .v> 0, то говорять, що має місце збіжність зі швидкістю близько s щодо кроку h.

Кажуть, що різницева схема (3.3) апроксимує задачу (3.2) на вирішенні і (х, у), якщо

Величина 5 / ^<Л) називається похибкою апроксимації (або нев'язкої) різницевої схеми. Якщо || d> / ^<Л) || _А .a,де М - константа, що не

залежна від h і а > 0, то говорять, що різницева схема (3.3) апроксимує задачу (3.2) на вирішенні і (х, у ) з похибкою порядку а щодо кроку І.

Різницева схема (3.3) називається стійкою, якщо існує таке Л ₀ > 0, що для всіх h <h _(l і будь-яких / ^(А) е F _h виконуються умови:

• 1) різницева схема (3.3) має єдине рішення;
• 2) ш ^(А) <М / ^(А) , де М - постійна, яка не залежить від І та / ^<А) .

II і u _k II 'Ilf ;,

Інакше кажучи, різницева схема є стійкою, якщо її рішення безперервно залежить від вхідних даних. Стійкість характеризує чутливість схеми до різного роду похибок, вона є внутрішньою властивістю разностной завдання, і це властивість не зв'язується безпосередньо з вихідної диференціальної завданням, на відміну від збіжності і апроксимації. Між поняттями збіжності, апроксимації та стійкості існує зв'язок. Вона полягає в тому, що з апроксимації та стійкості слід збіжність, що відбивається в наступній теоремі.

теорема

Нехай різницева схема L _h (u ^{h) ) = / ^<Л) апроксимує задачу L (u) = / на вирішенні і (х, у) з порядком s щодо І та стійка. Тоді ця схема буде сходитися, і порядок її збіжності буде збігатися з порядком апроксимації, тобто. Е. Буде справедлива оцінка

де до - постійна, яка не залежить від І.

За визначенням апроксимації маємо

Позначимо ? _h (x, y) = u _h (x, y) - м ^(Л) .

Звідси, використовуючи визначення стійкості, отримаємо

Легко бачити, що в силу лінійності L _h для ? _h (x, y) має місце формула

де К = МС . Таким чином, оцінка (3.4) встановлена і теорема доведена. Зазвичай застосування методу сіток полягає в наступному:

• 1. Спочатку вказується правило вибору сітки, т. Е. Вказується метод заміни області D і контуру Г деякої гратчастої областю. Найчастіше сітка вибирається прямокутної і рівномірною.
• 2. Потім вказується і будується конкретно одна або кілька різницевих схем. Перевіряється умова апроксимації і встановлюється її порядок.
• 3. Доводиться стійкість побудованих різницевих схем. Це один з найбільш важливих і складних питань. Якщо різницева схема має аппроксимацией і стійкістю, то про збіжність судять по доведеною теоремою.
• 4. Розглядається питання чисельного рішення різницевих схем.

У разі лінійних різницевих схем це буде система лінійних алгебраїчних рівнянь. Порядок таких систем може бути дуже великим.