Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

МЕТОД СТРІЛЬБИ

Це чисельний метод, що полягає в зведенні крайової задачі до вирішення послідовності завдань Коші для тієї ж системи диференціальних рівнянь. Розглянемо його на прикладі простої завдання для системи двох рівнянь першого порядку з крайовими умовами досить загального вигляду

Виберемо довільно значення U (а) = г /, розглянемо ліве крайове умова як рівняння алгебри (р {г /, V ( «)) = 0 і знайдемо з нього F (a) =? (/;). Візьмемо значення U (a) = r /, V (a) =% в якості початкових умов задачі Коші для системи (2.12а) і інтегруємо це завдання Коші будь-яким чисельним методом. При цьому отримаємо рішення (J (x, rj), V (x, T]), залежне від / 7 як від параметра.

Значення? вибрано так, що знайдене рішення задовольняє лівому крайовій умові (2.126). Однак правому крайовій умові це рішення, швидше за все, не задовольняє: при його підстановці ліва частина крайового умови в точці Ь, що розглядається як функція параметра ц

щоб більш не вернувся в нуль.

Необхідно будь-яким способом змінювати параметр / 7, поки не підберемо таке значення, для якого

Найпростішим методом його рішення є метод дихотомії (ділення відрізка навпіл).

Роблять «пробні постріли» - розрахунки з навмання вибраними значеннями t] j до тих пір, поки серед величин (/ (/ 7,) не опиниться різних за знаком. Пара таких значень г! П г / / +] утворює «вилку». ділячи її послідовно навпіл до отримання потрібної точності, виробляємо «пристрілювання» параметра г /. Завдяки цьому процесу весь метод отримав назву стрільби.

Однак знаходження кожного нового значення функції ц / {г /) вимагає чисельного інтегрування системи (2.12а), т. Е. Досить трудомістким.

Тому корінь рівняння (2.14) бажано знаходити більш швидким чисельним методом.

Спробуємо зробити це методом Ньютона:

Однак обчислення похідної у / '(г / ( ) важко, і краще

її замінити різницевим відношенням

Підставляючи (2.16) в (2.15), отримаємо итерационную формулу методу січних:

У методі січних перші два розрахунки роблять з навмання вибраними близькими значеннями г / 0 і / 7 ,, а наступні значення параметра обчислюють за формулою (2.17) для / = 1, 2, .... Ітерації виконуються до задоволення заданої точності.

Зауважимо, що цей метод швидко сходиться поблизу кореня рівняння (2.14). Збіжність далеко від кореня залежить від того, наскільки вдало вибрані початкові наближення г / 0 і / 7 ,.

Як приклад вирішимо методом стрільби крайову задачу у "= е х + sin у до граничних умов у (0) = 1, у (1) = 2 на відрізку [0, 1].

Заміною змінних у = у 0 , у = y t зведемо диференціальне рівняння другого порядку до системи двох диференціальних рівнянь першого порядку з крайовими умовами у 0 (0) = 1, у 0 (1) = 2.

Завдання Коші для отриманої системи з початковими умовами на лівому кінці jy 0 (0) = 1, "(0) -р / (т. Е. У '(0) -р /) будемо вирішувати методом Рунге-Кутта 4-го порядку з кроком // = 0.1. Функція ^ (/ 7) = (Л, / 7), К (Л>, / 7)) на правій межі тоді є

7o (1) | Vo (0) = 1 > Vi (0) = , ; -2. Тут y 0 (l) | Vo (0) = | , " (0) = , ; означає рішення задачі Коші, отримане методом Рунге-Кутта в точці b = 1 для величини у 0 (1) з початковими умовами у 0 (0) = 1, jKi (0) = / 7. Параметр г / знайдемо, використовуючи схему січних (2.20), виробляючи «постріли» (т. Е. Багаторазово вирішуючи завдання Коші) до задоволення умови на правому кінці

У7 (п) ^ 0, яке тут набуває вигляду у п (1) | .... ... -2 <е, де е -

заздалегідь задана точність. Точність е виберемо рівною 10 4 .

Приймемо, наприклад, в якості перших двох значень параметра р наступні: rj () = 1.0, rj x = 0.8. Двічі вирішуючи завдання Коші з цими параметрами, отримаємо наступні рішення: у п (1) | .... ..... = 3.168894836 і> ',, (1) 1 "" = 2.97483325. Далі будемо обчислювати нові прибли-

і (О) -О.б

вання параметра р за формулою (2.17). Результати представимо в таблиці нижче:

Так як | ^ (/ 7 4 ) |

,то ітерації на цьому кроці припиняються. Наближене рішення вихідної крайової задачі наведемо в табличній формі, отриманої в результаті рішення задачі Коші з знайденим параметром

р 4 , т. е. з умовами у 0 (0) = 1, у, (0) = р 4 = -0.160862503:

Розглянемо тепер лінійну крайову задачу, рішення якої методом стрільби особливо просто:

Скористаємося відомим результатом з теорії диференціальних рівнянь: спільне рішення лінійної неоднорідної системи дорівнює сумі її якогось приватного рішення і спільного рішення відповідної однорідної системи.

Знайдемо приватне рішення неоднорідної системи (2.18а), поклавши в лівому умови (2.186), наприклад, U (a) = p () = 0. Позначимо це приватне рішення через U 0 (x), V 0 (x ) і зауважимо, що V 0 (a) = t [ / q r Розглянемо тепер відповідну однорідну систему з однорідними початковими умовами

Обчислимо рішення цієї задачі Коші і позначимо його через U x (x V x (x). Розглянемо функції U {x) = U 0 (x) + CU x (x) і V (x) = V 0 (x) + С ? V t (x ). Очевидно, що в точці а ці функції задовольняють крайовій умові:

Тому спільне рішення неоднорідною задачі Коші, що задовольняє лівому крайовій умові (2.186), дається наступним однопараметричним сімейством

Значення параметра С вибираємо так, щоб задовольнити правому крайовій умові (2.186):

Шукане рішення крайової задачі (2.18) тоді знаходиться за формулою (2.19).

Отже, рішення лінійної крайової задачі вимагає тільки двох «пострілів» - допоміжні завдання Коші вирішуються двічі.

 
<<   ЗМІСТ   >>