Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

РІШЕННЯ КРАЙОВИХ ЗАВДАНЬ ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ І СИСТЕМ

Крайова задача - его задача відшукання приватного рішення системи

на відрізку а <х <Ь, причому додаткові умови накладаються на значення функцій U k {x) більш ніж в одній точці цього відрізка.

Самі додаткові умови можуть пов'язувати між собою значення кількох функцій; тоді для системи р -го порядку (2.1) вони візьмуть вид

Існують завдання з ще більш складними додатковими умовами.

Зауважимо, що диференціальне рівняння порядку р

де у {до х) - похідна порядку до, до = 0,1, ..., / ?, У 0) (х) = у (х), може бути зведене до системи диференціальних рівнянь виду (2.1) заміною змінних

Дійсно, по заміні (2.4)

і рівняння (2.3) зведеться до наступної системи виду (2.1):

Тут останнє рівняння отримано підстановкою (2.4) в (2.3).

Прикладом простої крайової задачі для диференціального рівняння другого порядку є завдання знаходження статичного прогину у (л ') навантаженої струни із закріпленими кінцями

Тут J {x) - зовнішня згинатися навантаження на одиницю довжини струни, поділена на пружність струни.

Наведемо приклад більш складної крайової задачі, яка виникає при розрахунку дзеркала антени, виконаного у вигляді тонкої армованої параболічної оболонки обертання. Ця крайова задача зводиться до послідовності крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь методом поділу змінних із застосуванням тригонометричного базису. У загальному випадку кожна з одержуваних систем звичайних диференціальних рівнянь записується у вигляді

де у т (г) - вектор-функція дозволяють коефіцієнтів при гармоніці з номером т; г - відстань від відлікової поверхні до осі обертання; А т (г) - матриця системи розмірності 8x8; Ь т (г) - вектор вільних членів. До цієї системи приєднуються граничні умови виду

де G ,, G r - матриці розмірності 8x4; g lm , g n т - вектори розмірності 4.

Зауважимо, що загальна крайова задача (2.1) може:

  • • не мати рішень;
  • • мати єдине рішення;
  • • мати кілька і навіть нескінченно багато рішень.

приклади

крайова задача

має нескінченно багато рішень де С - довільна стала.

крайова задача

у "+ у = О, ^ (0) = 0, y (b) = 1 при 0 <Ь <я має єдине

Рішення

а при Комерсант - л зовсім не має рішень.

Надалі будемо припускати, що рішення крайової задачі існує.

Розглянемо більш докладно важливий окремий випадок, коли диференціальне рівняння і крайові умови лінійні. Така крайова задача називається лінійної крайової завданням.

Лінійне диференціальне рівняння «-го порядку скорочено можна записати у вигляді

де

причому зазвичай передбачається, що р, (х) (/ = 0,1, ..., л) і / (х) - відомі безперервні функції на даному відрізку [а, Ь].

Для простоти будемо припускати, що в крайові умови входять дві абсциси х, - а й х 2 = Ь ( а <Ь ) - кінці відрізка [а, Ь. Такі крайові умови називаються двоточковими. Крайові умови називаються лінійними, якщо вони мають вигляд

де

і a [ v y v - задані постійні, причому

Наприклад, крайові умови, наведені в попередніх прикладах, лінійні.

Лінійними крайовими умовами є також умови періодичності, які в разі диференціального рівняння другого порядку мають вигляд

Лінійна крайова задача називається однорідною, якщо:

  • • по-перше, f (x) = 0 при а <х <Ь, т. Е. Диференціальне рівняння (2.6) є однорідним;
  • • по-друге, y v = 0, v = 1,2, .т. е. мають місце однорідні крайові умови.

В іншому випадку крайова задача (2.6) - (2.7) називається неоднорідною.

Приклад 1. Розглянемо задачу про вигин горизонтальної балки довжиною /, що лежить на двох опорах х - 0 і х -1 , під дією розподіленої поперечного навантаження з лінійної щільністю q = q (x) (рис. 1).

/. До задачі про вигин горизонтальної балки

Мал. /. До задачі про вигин горизонтальної балки

З курсу опору матеріалів відомо, що вертикальний прогин однорідної балки наближено задовольняє лінійному диференціальних рівнянь

де Е1 (х) - жорсткість балки при вигині, причому вигинає момент М і поперечна сила Q визначаються з співвідношень

Крайові умови залежать від способу закладення кінців балки. Наведемо основні випадки.

1. Кінець вільний. Нулю рівні вигинає момент М і поперечна сила Q. ТОМУ крайові vrnneua дня гяпбпднп ^ п коііп бяпкі б »ГТК

2. Кінець спирається шарнірно. Нулю рівні прогин у і вигинає момент М. Тому крайові умови для шарнірно спирається кінця є

3. Кінець жорстко забитий. Нулю рівні прогин у і кут повороту (р = arctg у '. Тому крайові умови жорстко закріпленого кінця є

Можливі також інші більш складні випадки крайових умов. Завдання (2.8) - (2.9), очевидно, є лінійної крайової завданням.

Приклад 2. Нехай жорсткість балки EI постійна, тоді рівняння (2.8) для прогину у замінюється таким рівнянням:

Припустимо, що балка шарнірно закріплена на кінці х = О і жорстко забита на кінці * = /. У такому випадку для прогину у виконані крайові (граничні) умови:

Крайові умови (2.11) є, очевидно, лінійними однорідними. Крайову задачу (2.10) - (2.11) вирішити неважко. Припускаючи для простоти, що щільність навантаження постійна:

оудем мати

З граничних умов (2.11) випливає Таким чином, шукане рішення є

Цей приклад показує, що в разі, коли можна знайти спільне рішення диференціального рівняння, двоточкова крайова задача не більше важка, ніж завдання з початковими умовами. Однак якщо загальний розв'язок рівняння не може бути знайдено регулярним шляхом, то рішення крайової задачі призводить до нових труднощів, так як нс є початкової точки, виходячи з якої можна було б побудувати рішення одним з розглянутих вище методів.

 
<<   ЗМІСТ   >>