Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ВВЕДЕННЯ

Моделювання - це заміщення одного об'єкта (оригіналу) іншим (моделлю) і фіксація або вивчення властивостей оригіналу шляхом дослідження властивостей моделі.

Важко переоцінити роль моделювання в наукових дослідженнях і інженерної роботі. Розробка і пізнання будь-якої системи зводиться по суті, до створення її моделі. Особливу цінність мають конструктивні моделі, т. Е. Такі, які допускають не тільки фіксацію властивостей, але і дослідження залежностей характеристик від параметрів системи.

Модель об'єкта - це фізична або абстрактна система, адекватно представляє об'єкт дослідження. В теорії моделювання використовуються переважно абстрактні моделі - опису об'єкта дослідження на деякій мові. Абстрактність моделі проявляється в тому, що компонентами моделі є не фізичні елементи, а поняття, в якості яких найбільш широко використовуються математичні. Абстрактна модель, представлена на мові математичних відносин, називається математичною моделлю.

Математична модель - це сукупність рівнянь (алгебраїчних, диференціальних, інтегральних), що описують процеси, що відбуваються в моделируемом явище. Результатом математичного моделювання є формули (якщо вдається отримати аналітичний розв'язок рівнянь моделі), які дозволяють розрахувати характеристики модельованого процесу або таблиці значень цих характеристик (якщо аналітичне рішення отримати не вдається, або воно не дуже зручно). Найчастіше зустрічається саме останній випадок, коли рішення можна отримати лише у вигляді таблиці за допомогою будь-яких обчислювальних процедур. Такого роду моделі носять спеціальну назву чисельних моделей. Специфіка цих моделей полягає в тому, що вони дозволяють отримати принципово наближене рішення, що пов'язано з дискретністю обчислювальних пристроїв, обмеженим обсягом пам'яті, кінцевим швидкодією і т. П. Наша мета - навчитися досліджувати алгоритми отримання чисельного рішення рівнянь моделі.

Рух систем малого числа частинок математично описують, як правило, звичайними диференціальними рівняннями. Якщо ж число часток дуже велике, то стежити за рухом окремих частинок практично неможливо. При цьому зручніше розглядати систему частинок як суцільну середу, характеризуючи її стан середніми величинами: щільністю, температурою в цій точці і т. Д.

Математичні моделі суцільного середовища призводять до рівнянь в приватних похідних, яким задовольняють згадані середні величини. Наприклад, зміна температури в нерухомому тілі описується рівнянням теплопровідності

де і - температура; з - теплоємність; до - коефіцієнт теплопровідності; q - щільність джерел тепла.

До рівнянь в приватних похідних приводять завдання газодинаміки, теплопровідності, перенесення випромінювання, поширення нейтронів, електромагнітних полів, теорії пружності, процесів переносу в газах, квантової механіки і багато інших.

Незалежними змінними в фізичних задачах зазвичай є час t і координати г; бувають і інші змінні, наприклад, швидкості частинок v в задачах переносу. Рішення потрібно знайти в деякій області зміни незалежних змінних G (t, r, v, ...). Повна математична постановка задачі містить диференціальне рівняння, а також додаткові умови, що дозволяють виділити єдине рішення серед сімейства рішень диференціального рівняння. Додаткові умови звичайно задаються на кордоні області G.

Якщо однією з змінних є час t, то найчастіше розглядають області виду

т. е. рішення шукають в деякій просторової області g (r, ...) на відрізку часу t 0В цьому випадку додаткові умови, задані при t = t 0 , називають початковими, а додаткові умови, задані на кордоні Г (г) області g (r), - граничними або крайовими.

Завдання, у якій є тільки початкові умови, називають задачею Коші. Наприклад, для рівняння теплопровідності (1.1) в необмеженому просторі можна поставити задачу з початковими умовами

Якщо ju (r) - кусочно-безперервна обмежена функція, то рішення задачі (1.1), (1.3) єдино в класі обмежених функцій (при деяких обмеженнях на коефіцієнти рівняння).

Завдання з початковими і граничними умовами називають змішаною крайової завданням або нестаціонарної крайової завданням. Для рівняння (1.1) додаткові умови такого завдання можуть мати, наприклад, вид

I Iptl MVWI ^ V'UUllIirj VV 1Ш IVUIlUllltmVA WVIVAlirm ПЛМ V, 1 ИЦГ1, / 11UI / 1IUI / 1

(що не залежать від часу) процесів в суцільному середовищі формулюються математичні завдання, які не залежать від часу. Їх рішення шукається в області g (r ), а додаткові умови є граничними. Такі завдання називають крайовими.

У цьому посібнику ми обмежимося розглядом коректно поставлених задач, коли для деякого класу початкових і граничних даних рішення (в заданому класі функцій) існує, єдино і безперервно залежить від цих даних. Будемо також припускати, що рішення безперервно залежить від всіх коефіцієнтів рівняння.

Багато задач, про які ми говорили, можна записати в операторної формі. Так, рівняння теплопровідності д, Т - Рат + Q, хвильове рівняння 8 U U = adJJ, або рівняння переносу деякої величини С зі швидкістю v уздовж осі х д, С + vd Х С = 0 можна записати в такий операторної формі :

Те, що записано в дужках, називається оператором. Якщо позначити його через А, то всі ці рівняння приймуть вид:

Операторний рівняння A f = g можна інтерпретувати в такий спосіб. Нехай дано два безлічі функцій F і G і нехай / є елемент множини F, a g- елемент безлічі G. Оператор А в цьому випадку вказує відповідність між елементами множин F і G. І наше завдання, знаючи g з G і вид оператора А, знайти / з безлічі F.

Властивості лінійних операторів та інші необхідні поняття функціонального аналізу наведені в додатку (п. 4).

 
<<   ЗМІСТ   >>