Повна версія

Головна arrow Техніка arrow ТЕОРІЯ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

КОМПОНЕНТНІ І ТОПОЛОГІЧНІ МАТРИЦІ ЕЛЕКТРИЧНОГО КОЛА

Топологічні матриці і топологічні рівняння.

При застосуванні ЕОМ для складання рівнянь електричної рівноваги ланцюга потрібно формалізоване уявлення вихідних даних про топології ланцюга і параметрах входять до неї елементів. Найбільшою мірою цій вимозі задовольняє уявлення вихідної інформації про ланцюга в матричної формі. Відомо, що топологічні властивості ланцюга повністю визначаються її графом, причому властивості графа залежать тільки від числа його гілок і вузлів, а також способу з'єднання гілок між собою. Ця інформація про графа може бути представлена або у вигляді списку (переліку) гілок графа із зазначенням, яким вузлам вони інцидентні і з якою орієнтацією, або за допомогою повної матриці вузлів А, ..

Повна матриця вузлів (повна матриця інціденцій, матриця з'єднань, структурна матриця ) - це таблиця, число стовпців якої дорівнює числу гілок графа р, а число рядків - числу вузлів q. Номери рядків збігаються з номерами вузлів (рядок з нульовим номером зазвичай розташовується останньої), номери стовпців - з номерами гілок. Елемент матриці а ,,, розташований на перетині г-й рядки і у-го стовпця, може приймати значення +1, -1 і 0: я ,, = +1, якщо гілка j инцидентна вузлу i і спрямована від цього вузла; я ( у - 1, якщо гілка j инцидентна вузлу i і спрямована до цього вузла; Яу = 0, якщо гілка j НЕ инцидентна вузлу р Так, графу, зображеному на рис. 1.27, я, відповідає повна матриця інціденцій

Неважко переконатися, що ця ж повна матриця вузлів (10.1) відповідає і всіма графами, ізоморфні графу, зображеному на рис. 1.27, я, зокрема графам, наведеними на рис. 1.27, б, в.

Таким чином, всі ізоморфні графи описуються однією і тією ж повною матрицею вузлів.

Маючи повну матрицю вузлів, завжди можна відновити вихідний граф з точністю до ізоморфізму.

Число ненульових елементів в кожному рядку матриці А з дорівнює числу гілок, інцидентних відповідного вузла, тобто ступеня вузла. У кожному стовпці є тільки два ненульових елементи: +1 і -1, так як кожна гілка инцидентна двом вузлам і спрямована від одного з них до іншого.

Сума всіх елементів кожного стовпця, а отже, і сума всіх рядків повної матриці вузлів А з дорівнює нулю, тобто . рядки повної матриці вузлів є лінійно залежними.

На практиці зазвичай використовують скорочену ( скороченої) матрицю вузлів А, яка виходить з повної матриці вузлів шляхом відкидання будь-якої з її рядків (зазвичай відкидають рядок, відповідну вузлу з номером 0). Так, відкидаючи рядок з номером 0 у повній матриці вузлів (10.1), отримуємо скорочену матрицю вузлів А ланцюга, граф якої зображений на рис. 1.27:

Знаючи скорочену матрицю вузлів, відповідну деякого графу, завжди можна знайти його повну матрицю вузлів, для чого необхідно доповнити матрицю А одним рядком гак, щоб сума всіх рядків матриці А з , дорівнювала нулю [1] .

У зв'язку з тим, що кожен рядок матриць А з і А несе інформацію про те, які галузі і з якою орієнтацією підключені до певного вузла ланцюга, ці матриці можна використовувати для запису рівнянь за першим законом Кірхгофа. Дійсно, множачи повну матрицю вузлів на матрицю-стовпець струмів гілок i, отримуємо

Кожен рядок цього виразу є алгебраїчна сума струмів гілок, підключених до відповідного вузла ланцюга, причому якщо гілка спрямована від вузла, то відповідний струм має знак «плюс» (а, у = +1), якщо гілка спрямована до вузла, то знак «мінус » (а ^ = -1). Якщо ж вітка не инцидентна розглянутого вузла, то відповідне доданок дорівнює нулю (ау = 0). Тоді відповідно до першого закону Кірхгофа остаточно маємо

У зв'язку з тим, що рядки повної матриці вузлів є лінійно залежними, система рівнянь (10.3) також буде лінійно залежною.

Для отримання системи лінійно незалежних рівнянь, складених за першим законом Кірхгофа, можна скористатися скороченою матрицею інціденцій, рядки якої є лінійно незалежними:

Для матричної записи рівнянь балансу струмів в узагальнених вузлах ланцюга і рівнянь балансу напруг використовують матрицю головних перетинів і матрицю головних контурів.

Матриця головних перетинів Q (матриця перетинів) являє собою таблицю, число стовпців якої дорівнює числу гілок графа р } а число рядків - числу головних перетинів т = q - 1 (номери стовпців збігаються з номерами гілок, а номери рядків - з номерами головних перетинів, тобто з номерами відповідних гілок дерева).

Кожен рядок матриці головних перетинів характеризує склад гілок графа, що входять в дане перетин. Елементи / -го рядка qjj приймають значення +1, якщо j-я гілка графа входить до складу / -го перетину, причому її орієнтація збігається з орієнтацією перетину, тобто з орієнтацією відповідної гілки дерева щодо лінії перетину; q ^ - -1, якщо j-я гілка входить в / -е перетин, а її орієнтація протилежна орієнтації перетину; q ^ = 0, якщо j-я гілка не входить в ie розтин.

Матриця головних перетинів, відповідна графу, наведеним на рис. 1.35, а , має такий вигляд:

Використовуючи матрицю головних перетинів, можна в компактній формі записати систему з т = q - 1 рівнянь, складених на підставі першого закону Кірхгофа для головних перетинів графа, що відповідають обраному дереву:

де i - вектор струмів гілок.

Якщо будь-яка з головних перетинів графа є канонічним , то рівняння балансу струмів для цього перерізу з точністю ма до знака збігається з рівнянням балансу струмів для відповідного ізольованого вузла. Якщо все головні перетину графа є канонічними, то матриці вузлів А і перетинів Q збігаються з точністю до знака елементів рядка. У загальному випадку рядки матриці перетинів Q можуть бути отримані шляхом лінійної комбінації рядків матриці вузлів А.

Порівнюючи вираз (1.39) і (10.4) або (10.5), переконуємося, що коефіцієнти авходящіе в рівняння (1.39), є елементами матриці вузлів або матриці перетинів відповідного кола.

Матриця головних контурів В являє собою таблицю, число стовпців якої дорівнює числу гілок графа р у а число рядків - числу головних контурів, тобто числу головних гілок графа п = р - q + 1 (номери стовпців збігаються з номерами гілок, а номери рядків - з номерами головних контурів). Елементи / -го рядка by можуть набувати значень +1, -1 і 0; by = +1, якщо j-я гілка входить до складу / -го контура, причому її орієнтація збігається з орієнтацією контуру; by = -1, якщо орієнтація j -й гілки, що входить в / -й контур, не збігається з орієнтацією контуру; by = 0, якщо ^ -я гілка не входить в / -й контур. Наприклад, матриця головних контурів У графа (див. Рис. 1.27), відповідна дереву графа, наведеного на рис. 1.32, в, має такий вигляд:

Матрицю головних контурів можна використовувати для запису рівнянь, складених на підставі другого закону Кірхгофа. Нехай досліджувана ланцюг містить р гілок, q вузлів і п = р-q + 1 головних контурів. Помноживши матрицю головних контурів В на матрицю-стовпець напруг гілок і, отримуємо

Кожен рядок цього виразу являє собою алгебраїчну суму напруг гілок, що входять в г-й головний контур, причому правило підсумовування напруг гілок збігається з відповідним правилом, установленим для запису рівнянь балансу напруг в контурі (1.40). Так як відповідно до другого закону Кірхгофа сума напруг гілок, що входять в кожен контур, в будь-який момент часу дорівнює нулю, то остаточно маємо

Вираз (10.6) є матричної формою записи рівнянь балансу напруг для головних контурів цінуй. Очевидно, що коефіцієнти bik рівняння балансу напруг (1.40) є елементами матриці головних контурів В відповідним ланцюгом.

Матриці А, В і Q, звані топологічними , містять повну інформацію про топології ланцюга. Елементи топологічних матриць пов'язані між собою певними співвідношеннями, так що , знаючи одну з них, завжди можна знайти і будь-яку іншу, причому вид матриці вузлів А залежить тільки від вибору базисного вузла і порядку нумерації вузлів і гілок, а вид матриць В і Q залежить ще і від вибору дерева графа розглянутої ланцюга.

Властивості топологічних матриць. До сих пір ми не накладали ніяких обмежень на порядок нумерації гілок графа і його головних контурів (головних перетинів). Домовимося тепер нумерувати гілки графа наступним чином: спочатку всі гілки дерева, а потім - головні гілки. Відповідним чином розташуємо і стовпці матриць А, В і Q: спочатку в порядку зростання номерів поставимо стовпці, що відповідають гілкам дерева, а потім - стовпці, що відповідають головним гілкам; рядки матриць Q і В запишемо в порядку зростання номерів гілок дерева і головних гілок відповідно. У цьому випадку порядок нумерації головних перетинів відповідає порядку нумерації гілок дерева, а порядок нумерації головних контурів - порядку нумерації головних гілок, причому кожна з матриць Q і В може бути розбита на дві подматріци, відповідні гілкам дерева і головним гілкам:

де Q 1 { , B u - подматріци, що містять стовпці, що відповідають гілкам дерева; Q x і В х - подматріци, що включають стовпці, що відповідають головним гілкам (хордам).

З огляду на, що кожна гілка дерева входить тільки в одне головне перетин, а кожна головна гілка - тільки в один головний контур, приходимо до висновку, що квадратні матриці Q B і В х , є поодинокими:

Підставляючи вирази (10.7) і (10.8) в (10.5) і (10.6) і розбиваючи матриці-стовпці струмів i і напруг і на подматріци струмів і напруг гілок дерева i B , u B і струмів і напруг головних гілок i x , u x , отримуємо

З урахуванням того що матриці Q x і В х вляются одиничними, вирази (10.11) і (10.12) перетворюються до наступного вигляду:

Вирази (10.13) і (10.14) випливають безпосередньо з рівнянь балансу струмів і напруг і показують , яким чином струми гілок дерева можуть бути виражені через струми головних гілок , а напруги головних гілок - через напруги гілок дерева.

Подматріци Q x і В і пов'язані між собою простими співвідношеннями, для визначення яких необхідно спочатку переконатися в справедливості виразів

які отримали назву співвідношень ортогональности (тут В 1 - транспонована матриця контурів).

Співвідношення (10.15) рівносильно твердженням, що твір пана го рядка матриці А на у-й стовпець матриці В 'або на транспоновану у-у сходинку матриці В дорівнює нулю:

З правил формування топологічних матриць А і В випливає, що елементи г-й рядки матриці А не рівні нулю тільки в тому випадку, коли k-я гілка инцидентна пана му вузлу, а елементи у-го рядка матриці В не дорівнюють нулю тільки в випадку, коли k-я гілка входить ву-й контур. Якщо г-й вузол не інцидент жодної гілки, що входить в у-й контур, то ненульовим елементам i-го рядка матриці А відповідають нульові елементи у-го рядка матриці В і, отже, сума творів буде дорівнює нулю. Якщо вузол г інциденту будь-якої гілки, що входить в у-й контур, то він обов'язково інциденту також ще однієї гілки, що входить в цей контур. Якщо ці гілки однаково зорієнтовані щодо вузла г (обидві спрямовані до вузла або від вузла), то вони по-різному зорієнтовані щодо направлення обходу контуру у. Якщо ж вони однаково зорієнтовані щодо направлення обходу контуру у, то вони по-різному зорієнтовані щодо вузла р У будь-якому випадку або два ненульових елемента г-й рядки матриці А мають однакові, а відповідні їм елементи у-го рядка матриці В різні знаки, або , навпаки, ненульові елементи г-й рядки матриці а мають різні знаки, а відповідні їм елементи у-го рядка матриці В - однакові. В обох випадках співвідношення (10.17), а отже, і (10.15) будуть виконуватися.

Аналогічним чином доводиться і справедливість співвідношення (10.16). В цьому випадку необхідно врахувати, що якщо будь-які перетин і контур мають загальні гілки, то їх число повинне бути парним (лінія перетину ділить граф на дві частини, при цьому будь-який замкнутий шлях повинен починатися і закінчуватися в одній і тій же частині графа) , причому якщо будь-які дві гілки, що входять і в перетин, і в контур, однаково зорієнтовані щодо перетину, то вони по-різному зорієнтовані щодо направлення обходу контуру і, навпаки, якщо вони однаково зорієнтовані щодо направлення обходу контуру, то вони ра приватно зорієнтовані щодо перетину.

Підставляючи вирази (10.7) і (10.8) в співвідношення (10.16) і з огляду на співвідношення (10.9) і (10.10), одержуємо

звідки

або

Вирази (10.18), (10.19) встановлюють зв'язок між подматріца В 1} і Q x , що дозволяє записати рівняння (10.13) і (10.14) або за допомогою подматріци Q x :

або за допомогою подматріци В ":

Рівняння (10.20) або (10.21) рівносильні рівнянь (10.4), (10.6) або (10.5), (10.6); при машинному аналізі ланцюгів вони часто використовуються замість рівнянь (10.4) - (10.6). На практиці при складанні топологічних рівнянь частіше застосовується подматріца Q x , яка отримала назву матриці перетинів-хорд. Подматріца В " називається матрицею контурів-гілок.

Аналізуючи правила формування матриці головних перетинів Q і те, яким чином вона була розбита на подматріци Q H і Q x встановлюємо, що матриця перетинів-хорд Q x є прямокутної і містить т = q - 1 рядків w п = р - q + 1 стовпців . Рядки матриці Q x показують, які головні гілки входять до відповідного головне перетин, причому елемент = 1, якщо j-я головна гілка входить в ie головне перетин і її напрямок збігається з напрямком перетину; q l} = -1, якщо j-я головна гілка входить в ie перетин і її напрямок протилежно напрямку перетину. Стовпці матриці перетинів-хорд Q x показують, які гілки дерева входять в головний контур, замикає головною гілкою, що відповідає кожному стовпцю. Елемент qjj = -1, якщо i-а гілка дерева входить в j -й головний контур, причому її напрям збігається з напрямом обходу контуру; = 1, якщо i-а гілка входить в j-й головний контур, а її напрямок не збігається з напрямком обходу контуру; q # = 0, якщо j-я головна гілка не входить в ie головне перетин або i-я гілка дерева не входить в j -й головний контур.

Приклад 10.1. Побудуємо матрицю перетинів-хорд і складемо топологічні рівняння в формі (10.20) для ланцюга, схема якої зображена на рис. 10.1, а.

Виберемо в якості гілок дерева гілки, що містять джерело напруги в, опір і ємності C t С ^ Пронумеруємо струми і відповідні гілки наступним чином: ц = / в1 , z 2 = ich h = icb Ч = Ч = до = h = кь is = = ij = j j. Граф ланцюга з урахуванням прийнятої нумерації гілок зображений на рис. 10.1 у 6. Матриця головних перетинів цього графа

розбивається па подматріци

Використовуючи матрицю перетинів-хорд Q x , складаємо топологічні рівняння розглянутої ланцюга в формі (10.20):

Наприклад 10.1

Мал. 10.1. Наприклад 10.1

У справедливості отриманих співвідношень неважко переконатися, складаючи рівняння балансу струмів і напруг для головних перетинів і головних контурів даної ланцюга.

Алгоритми машинного формування топологічних матриць А, В і Q розглянуті в роботах [8, 9].

  • [1] Надалі будемо використовувати тільки скорочену матрицю вузлів А, яку для кратності будемо називати матрицею вузлів.
 
<<   ЗМІСТ   >>