Повна версія

Головна arrow Техніка arrow ТЕОРІЯ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

МЕТОДИ РЕАЛІЗАЦІЇ РЕАКТИВНИХ ДВОПОЛЮСНИКІВ

Методи виділення найпростіших складових (метод Фостера). Метод Фостера заснований на поданні заданої фізично реалізованої функції Н (р) в вигляді суми найпростіших функцій

кожну з яких можна розглядати як операційну вхідні характеристику деякого елементарного одно- або двоелементною двухполюсника. Якщо функція // (/?) Являє собою операторний вхідний опір, то шукана ланцюг може бути реалізована у вигляді послідовного з'єднання елементарних двухполюсников, відповідних кожної з найпростіших функцій - //, (/;). Якщо // (/;) являє собою операційну вхідні провідність, то шукана ланцюг реалізується у вигляді паралельного з'єднання елементарних двухполюсников, відповідних кожної з найпростіших функцій //, (/;).

Метод Фостера застосуємо для реалізації позитивних дійсних функцій, нулі і полюси яких розташовані тільки на уявної осі і негативною речової піввісь. Цьому обмеження задовольняють операторні вхідні функції реактивних, безиндуктівних і без'ємкісний двухполюсников, а також операційні вхідні функції деяких А '/. З-ланцюгів. Розглянемо застосування методу Фостера до синтезу реактивних двополюсників.

Нехай реактансная функція Z (p) = N (p) / M (p ) повинна бути реалізована в якості операційного вхідного опору лінійної пасивної ланцюга. Розкладемо функцію Z (p) на прості дроби

Тут N - число пар комплексно-сполучених полюсів функції Z (p); з of = [Im (/> v ,)] 2 - квадрат уявної частини будь-якого полюса, що входить в г-у пару комплексно-спряжених полюсів функції Z (p); а ж , cio- а ; - постійні дійсні позитивні коефіцієнти, причому (Хоо р

є цілою частиною функції Z (p): а з = lim Z (p) / p;

* 00

- відрахування функції Z (p) в полюсі р = 0;

- відрахування функції Z (p) в полюсах = ± усо ,.

Очевидно, що перший член розкладу (9.3) можна розглядати як операторний вхідний опір індуктивності

другий член - як операторний вхідний опір ємності

а кожне з доданків виду Z / (p) = 2а, р (р 2 + зі f) - як операторний вхідний опір паралельної 1С-ланцюга, складеної з елементів

де з / - резонансна частота i- й паралельної LC-цінуй.

Таким чином, розкладання (9.3) можна поставити у відповідність двухполюсник, що представляє собою послідовне з'єднання індуктивності Loo , ємності С 0 і N паралельних 1C-ланцюгів. Схема двухполюсника, що реалізує розкладання (9.3), називається першою канонічної схемою Фостера (рис. 9.7).

Перша канонічна схема Фостера

Мал. 9.7. Перша канонічна схема Фостера

Аналізуючи різні види реактансних функцій Z (ji) = N (j)) / M (jj), можна прийти до висновку, що перший член розкладу (9.3) не дорівнює нулю, якщо функція Z (p) має полюс на нескінченності (у таких функцій ступінь полінома, що стоїть в чисельнику, на одиницю вище ступеня полінома, що стоїть в знаменнику), а другий член розкладання не дорівнює нулю, якщо Z (p) має полюс при р = 0 (у таких функцій множник р в знаменнику може бути винесено за дужки).

Отже, реактивний двухполюсник , який реалізує задану функцію Z (p) по першій канонічній схемі Фостера , містить індуктивність Loo тільки в тому випадку ,

коли ступінь полінома N (p ) перевищує па одиницю ступінь полінома М (р), і ємність З тільки в тому випадку , коли в многочлене М (р) множник р може бути винесено за дужки.

Мал. 9.8.

Наприклад 9.5

Приклад 9.5. Використовуючи метод Фостера, побудуємо двухполюсник, операторний вхідний

опір якого Ом

(Рис. 9.8).

У прикладах 9.2, 9.3 було встановлено, що дана функція є реактансной і, отже, може бути реалізована за допомогою методу Фостера. Безпосередньо з вигляду функції встановлюємо, що шуканий двухполюсник є послідовне з'єднання ємності С 0 (в знаменнику функції р виноситься за дужки) і паралельної LC-ланцюга (функція Z (p) має одну пару комплексно-спряжених полюсів). Розкладаючи Z (p) на прості дроби

де а 0 = 4/9; щ = 5/18; зі? = 9, з урахуванням співвідношень (9.5), (9.6) визначаємо параметри елементів шуканої ланцюга (див. Рис. 9.8): З 0 = 2,25 Ф; З { = 1,8 Ф; L x = 5/81 Гн.

Мал. 9.9.

Наприклад 9.6

Приклад 9.6. Методом Фостера побудуємо двухполюсник, вхідний опір якого Z (p) = 3 + 9 р) / (р 2 + 4) Ом (рис. 9.9).

Задана функція є реактансной, оскільки реактансной є зворотна їй функція, розглянута в попередньому прикладі. Безпосередньо з вигляду функції Z (p) встановлюємо, що шуканий двухполюсник повинен являти собою послідовне з'єднання індуктивності Loo і паралельної LC-ланцюга (див. Рис. 9.9). Розкладаючи функцію Z (p) на найпростіші складові Z (p) = р + 5 р / (р 2 + 4) і використовуючи співвідношення (9.4) і (9.6), визначаємо параметри входять в двухполюсник елементів: Loo = 1 Гн; З { = 0,2 Ф; L, = 1,25 Гн.

Приклад 9.7. Методом Фостера побудуємо двухполюсник, вхідний опір якого Z (p) = (2 р А + 5 р 1 + 2 ) / (р 3 + р) Ом (рис. 9.10).

Очевидно, що шуканий двухполюсник може бути реалізований шляхом послідовного з'єднання індуктивності Loo, ємності З і паралельної LC-ланцюга (див. Рис. 9.10). Розкладаючи функцію Z (p) на прості дроби Z {p) = + 2 / р + р / (р 2 + 1) і з огляду на співвідношення (9.4) - (9.6), визначаємо параметри елементів: Loo = 2 Гн; З 0 = 0,5 Ф; С =

Мал. 9.10.

Наприклад 9.7

= 1 Ф; Ь { = 1 Гн.

Аналогічним чином синтезують двухполюсник і в тому випадку, коли задана ре- актансная функція повинна бути реалізована в якості операційної вхідної провідності лінійної пасивної ланцюга. До розкладання функції Y (j?) На прості дроби

де N - число пар комплексно-сполучених полюсів функції Y (p) ', з 2 = [Im (p w )] 2 - квадрат уявної частини будь-якого полюса, що входить в i-ю пару комплексно-спряжених полюсів функції Z (p) а 'оо = lim Y (p) / p, а' 0 = Res Y (p ),

р -оо р -0

а / = Res Y (p) - постійні дійсні позитивному

ні коефіцієнти, можна поставити у відповідність двухполюсник з паралельно з'єднаних ємності Соо = а'оо, індуктивності 1 0 = 1 / ат і N послідовних 1C-ланцюгів (рис. 9.11) з параметрами L, = 1 / (2а, -) і С , = 2а | / з 2 .

Друга канонічна схема Фостера

Мал. 9.11. Друга канонічна схема Фостера

Схема двухполюсника, відповідного виразу (9.7), називається другий канонічної схемою Фостера. Очевидно, що шуканий двухполюсник містить ємність Соо , якщо функція Y (p) має полюс на нескінченності (ступінь чисельника функції Y (p) на одиницю вище ступеня знаменника), і індуктивність L 0 , якщо функція Y (p) має полюс прир = 0 (в знаменнику функції Y (p) множник р виноситься за дужки).

Приклад 9.8. Використовуючи метод виділення найпростіших складових, побудуємо двухполюсник, провідність якого

Безпосередньо але виду функції У (р) встановлюємо, що шуканий двухполюсник може бути реалізований шляхом паралельного з'єднання двох послідовних LC-ланцюгів (рис. 9.12). Розкладаючи функцію Y (p) на прості Дроби Y (p) = р / [3 ( Г г + 2)] + р / [6 (р 2 + 0,5)], визначаємо параметри елементів двухполюсника: L { = 3 Гн ; З = 1/6 Ф; L 2 - 6 Гн; З 2 -

Мал. 9.12.

До прикладу 9.8

= 1/3 Ф.

Метод розкладання в ланцюгову дріб (метод Кауера).

Відповідно до методу Кауера реактивний двухполюсник, що володіє заданою операторної вхідний характеристикою # (/?), Реалізується у вигляді сходовій ланцюга, побудованої але першою або другою канонічної схемою Кауера.

Перша канонічна схема Кауера (рис. 9.13, а) містить індуктивності в поздовжніх і ємності в поперечних гілках, друга канонічна схема Кауера (рис. 9.13, б) - ємності в поздовжніх гілках, а індуктивності - в поперечних. Перша і остання осередку канонічних схем Кауера можуть бути неповними - в них можуть бути відсутні елементи, яким на рис. 9.13 привласнені номери 1 і N. Перша схема Кауера містить індуктивність Lj тільки в тому випадку, коли операторний вхідний опір ланцюга має полюс на нескінченності, і ємність C N , коли операторний вхідний опір має полюс на нульовій частоті. Друга схема містить ємність С { , якщо операторний вхідний опір ланцюга має полюс при р = 0, і ін- дуктівость L N , тільки в разі, якщо операторний вхідний опір має полюс на нескінченності.

Перша (а) і друга (б) канонічні схеми Кауера

Мал. 9.13. Перша (а) і друга (б) канонічні схеми Кауера

Як було показано в п. 2.6, комплексне (в загальному випадку, операторний) вхідний опір або комплексна вхідна провідність сходовій ланцюга можуть бути представлені у вигляді ланцюгових дробів (2.140), (2.141), елементи яких рівні комплексним опорам двухполюсников, що утворюють поздовжні гілки ланцюга , і комплексність двухполюсников, що утворюють поперечні гілки. Якщо в першій канонічній схемі Кауера є індуктивність L , то операторний вхідний опір може бути представлено у вигляді ланцюгового дробу з елементами твань /; а ,:

Якщо в першій канонічній схемі Кауера немає індуктивності L (операційна вхідна провідність має полюс на нескінченності), у вигляді ланцюгового дробу з елементами типу РЩ може бути виражена операційна вхідна провідність ланцюга

Для ланцюгів, побудованих за другою канонічної схемою Кауера, вирази для операційного вхідного опору

або операторної вхідної провідності

представляються у вигляді цінних дробів з елементами типу 1 / (РР /) - Отже, якщо задана операційна вхідні функція Н (р) може бути записана у вигляді ланцюгового дробу

з елементами типу pa t або 1 / (РР /), г Д е ос "р, - постійні дійсні позитивні коефіцієнти, то такої функції може бути поставлений у відповідність реактивний двухполюсник, побудований за першою або другою канонічної схемою Кауера.

Реалізація реактивного двухполюсника за методом Кауера зводиться до розкладання заданої реактансной функції Я ( р) в ланцюгову дріб з елементами типу ріс, або 1 / (РР,).

Функцію Н (р) = N (p) / M (p) розкладають в цінну дріб виду (9.8) шляхом послідовного виділення елементів дробу Hj (p) в результаті поділу полінома N (p) на поліном М (р ), потім полінома М (р ) на залишок від першого ділення Про i (p), потім залишку від першого поділу Про { (р) на залишок від другого поділу Про 2 (р) і т.д. до тих пір, поки залишок від останнього розподілу не буде дорівнює нулю:

Для реалізації першої канонічної схеми Кауера вибирають ту з вхідних функцій (операторний опір або операційну провідність), яка має полюс на нескінченності, причому члени полиномов Н (р) і М (р) розташовують в порядку убування ступенів р.

Для реалізації другої канонічної схеми Кауера використовують ту з вхідних функцій, яка має полюс при р = 0, а поліноми N (p) і М (р) записують в порядку зростання ступенів р. При виконанні ділення необхідно стежити, щоб коефіцієнти а, і р, були позитивними. Якщо в процесі ділення будь-якої з коефіцієнтів а, виявиться менше нуля, то необхідно перейти від розташування полиномов але убутним ступенями р до розташування по зростаючим ступенями р. Навпаки, якщо який-небудь з коефіцієнтів р, виявиться менше нуля, то необхідно перейти від розташування полиномов по зростаючим ступенями р до розташування по убутним ступенями.

Як і метод Фостера, розглянутий метод може бути використаний при синтезі RC-, RL- і RLC- ланцюгів, нулі і полюси операторних вхідних характеристик яких знаходяться на уявної осі і негативною речової піввісь. Необхідно мати на увазі, що область застосування методу Кауера кілька вже, ніж методу Фостера, так як ряд операційних вхідних функцій, що реалізуються за допомогою методу Фостера, не може бути представлений як операторний вхідний опір або операційна вхідна провідність будь-якої сходовій ланцюга.

Приклад 9.9. Використовуючи метод Кауера, побудуємо реактивні двухполюсники, операторний вхідний опір яких Ом.

Функція Z (p) має полюси на нескінченності і при р = О, тому вона може бути використана як при реалізації першої, так і другої канонічної схем Кауера. Маючи в своєму розпорядженні поліноми чисельника і знаменника функції Z (p) в порядку убування ступенів р і послідовно виділяючи члени виду /; а,

1 + 1

розкладемо функцію в ланцюгову дріб Z (p) = [2 р-р 9 р -р] Ом

3 6 і

і визначимо параметри елементів першої канонічної схеми Кауера (рис. 9.14, a): L = 2 Гн; З 9 = 1/3 Ф; 1 3 = 9 Гн; З 4 = = 1/6 Ф.

Наприклад 9.9

Мал. 9.14. Наприклад 9.9

Маючи в своєму розпорядженні поліноми чисельника і знаменника функції Z (p) в порядку зростання ступенів р і послідовно виділяючи члени виду 1 // ф,

розкладемо функцію Z {p) в ланцюгову дріб

і визначимо параметри елементів другої канонічної схеми Kavapa (рис. 9.14, б): C t = 1/2 Ф; L 2 = 3 Гн; З 2 = 1/9 Ф; L 4 = = 6 Гн.

Аналізуючи приклади 9.7-9.9, переконуємося, що рішення задачі синтезу ланцюга по заданій операторної вхідний характеристиці дійсно не є єдиним. Всі чотири отриманих в цих прикладах двухполюсника (див. Рис. 9.10, 9.12, 9.14) мають однакові операторними вхідними характеристиками, але побудовані за різними схемами з елементів з різними параметрами.

У той же час всі чотири отриманих двухполюсника містять однакове число елементів. Це число є мінімальним, за допомогою якого можна реалізувати задану функцію в даному елементному базисі.

Питання і завдання для самоперевірки

  • 1. На яких принципах побудований метод Фостера? Які елементарні двухполюсники входять до складу ланцюга, що реалізує задану операційну вхідні характеристику: 1) одноелементні; 2) двоелементний; 3) багатоелементні? Як з'єднуються елементарні двухполюсники, щоб утворити синтезируемую ланцюг?
  • 2. Якого типу двухполюсники можуть бути реалізовані шляхом Фостера: 1) LC- 2) RC- 3) RL-; 4) RLC- типу?
  • 3. Як виглядає математичний опис методу Фостера для операційного вхідного опору (ОВС)?
  • 4. Продовжіть відповідь на питання 3 в припущенні, що синтезується ОВС описується реактансной функцією.
  • 5. Поясніть, як реалізується реактансная функція може бути представлена у вигляді суми найпростіших складових. Яка структура цих складових: схематична; математична?
  • 6. Що являють собою канонічні схеми Фостера, призначені для реалізації реактансних функцій: 1) перша;
  • 2) друга?
  • 7. Як обчислюють значення параметрів елементів першої канонічної схеми Фостера?
  • 8. Покажіть, як перша канонічна схема Фостера (вихідна і її варіанти) може реалізувати всі чотири типи ЧХ реактивних двополюсників.
  • 9. Покажіть, як операційна вхідні характеристика (ОВХ) будь сходовій ланцюга може бути записана у вигляді ланцюгового дробу.
  • 10. Чи можна стверджувати, що будь-яка ланцюгова дріб комплексного аргументу можна реалізувати як ОВХ сходовій ланцюга?
  • 11. Яка математична основа методу Кауера?
  • 12. Намалюйте першу і другу канонічні схеми Кауера. Як обчислюють значення параметрів елементів відповідних ланцюгів?
  • 13. Покажіть, як за допомогою будь-якої з схем Кауера можна реалізувати всі чотири типи ОВХ.
  • 14. Порівняйте метод Кауера з методом Фостера з різних позицій: 1) складності математичних обчислень; 2) розмірів області застосовності. Зробіть висновки.
  • 15. Припустимо, що задана операційна вхідні характеристика (ОВХ) реалізована методом Фостера і методом Кауера. Скільки варіантів двухполюсников при цьому можна отримати? Чи однаково число елементів у цих двухполюсников? Однакові або різні у них значення параметрів елементів?
 
<<   ЗМІСТ   >>