Повна версія

Головна arrow Техніка arrow ТЕОРІЯ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ І КРИТЕРІЇ ФІЗИЧНОЇ МОЖЛИВОСТІ БУТИ РЕАЛІЗОВАНИМ ОПЕРАТОРНИХ ВХІДНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛІНІЙНИХ ПАСИВНИХ ЛАНЦЮГІВ

Поняття про позитивних дійсних функціях.

Раніше (див. І. 6.4) було встановлено, що будь-які операційні характеристики лінійних електричних ланцюгів, що не містять незалежних джерел енергії, в тому числі операційні вхідні характеристики лінійних пасивних ланцюгів, можуть бути представлені у вигляді відношення двох поліномів з дійсними коефіцієнтами. Виникає питання, чи всяка раціональна функція Н (р) з речовими коефіцієнтами фізично реалізувати в якості операційної вхідний характеристики лінійної пасивної ланцюга або, іншими словами, будь-якої чи функції # (/;), що представляє собою відношення двох поліномів з дійсними коефіцієнтами

можна поставити у відповідність лінійний пасивний двухполюсник, складений з елементів з позитивними речовими параметрами, операторний вхідний опір або операційна вхідна провідність якого рівні Н (р). Суворе розгляд цього питання показує, що необхідна і достатня умова фізичної реалізованості раціональної функції Н (р) в якості операційної вхідний функції лінійної пасивної ланцюга полягає в тому , щоб Н (р) була позитивною речової функцією комплексної частоти р.

Позитивною речової функцією комплексного змінного р називається функція Н (р)> дійсна частина якої неотрицательна при невід'ємних значеннях дійсної частини р

а уявна частина дорівнює нулю при уявній частині р, що дорівнює нулю:

Безпосередньо за виразами (9.1), (9.2) важко визначити, чи є задана раціональна функція Н (р) позитивної речової функцією комплексної частоти р у тому зазвичай перевіряють виконання наступних умов, які повністю випливають з цих виразів:

  • 1) всі коефіцієнти я, і 6, полиномов N (p) і М (р) повинні бути речовинні і невід'ємні;
  • 2) найбільші і відповідно найменші ступеня поліномів N (p) і М (р) не можуть відрізнятися більш ніж на одиницю (будь-пасивний двухполюсник при р - * 0 і при

р оо веде еебя або як ємність Z c (p) = kp ~ , або як індуктивність Z / (p) = kp, або як опір ЛР °);

  • 3) нулі ро / і полюси р Л / функції // (/;) не можуть розташовуватися в правій півплощині: Re (p 0 ,) <0, Re (p v / ) <О (в іншому випадку в ланцюзі не виконуються умови загасання вільних процесів);
  • 4) нулі і полюси функції Н (р) у розташовані на

уявної осі, повинні бути тільки простими (некратними), причому похідні функції // (/;) в нулях і відрахування в полюсах повинні бути речовинні і позитивні. Якщо серед нулів або полюсів функції Н (р ), був хоча б один корінь рь = у'со ^ з кратністю v, то цього кореня відповідала б наростаюча в часі вільна складова рішення = (^ + _ + ^ v ^ v-1 ) cosco ^

5) речова частина функції Я (р), повинна бути неотрицательна на уявної осі: Re | # (p) | > 0 при Re (p) = 0 (при гармонійному впливі (р = jeo) речова частина комплексних вхідного опору або вхідної провідності лінійної пасивної ланцюга не може бути негативною).

Перераховані умови є необхідними і достатніми для того, щоб задана раціональна функція комплексного змінного Н (р) була позитивною речової функцією р } і тому можуть розглядатися як критерії фізичної можливості бути реалізованим цієї функції в якості операційної вхідний характеристики лінійної пасивної ланцюга. Слід зазначити, що не всі наведені умови є незалежними, зокрема умови 1 і 2 випливають з умов 3 і 4. Така надмірність є цілком виправданою, оскільки дозволяє в ряді випадків визначати фізично не реалізовуються функцію безпосередньо з її вигляду, без трудомістких операцій, пов'язаних з перебуванням коренів поліномів N (p) і М (р).

Приклад 9.1. Визначимо, чи є функції

позитивними речовими функціями комплексного змінного.

Безпосередньо з вигляду функції встановлюємо, що функція Н (р) не задовольняє умові 1 (коефіцієнт а $ < 0), а функції // 2 (7?) І # з (р) - умові 2 (різниці найвищих ступенів чисельника і знаменника функції Н 2 (р) і найменших ступенів чисельника і знаменника функції Я 3 (р) перевищують одиницю). Отже, задані функції не є позитивними речовими функціями р.

Приклад 9.2. Визначимо, чи є функція

фізично реалізованої в якості операційної вхідний функції лінійної пасивної ланцюга.

Безпосередньо з вигляду функції Я 4 (р) встановлюємо, що всі коефіцієнти поліномів N (p) = р 2 + АіМ (р) = / г + 9 /; речовинні і позитивні, а найбільші і найменші ступеня цих поліномів відрізняються на одиницю. Всі нулі p 0i = j 2, Р02 = ~ j 2 і полюси р х = 0, р х 2 = j3, Pxs = -УЗ функції розташовані на уявної осі і є простими. Похідні функції в нулях

і відрахування функції в полюсах

речовинні і позитивні. Матеріальна частина Я 4 (р) на уявної осі

Таким чином, функція Я 4 (р) фізично реалізувати в якості операційної вхідний характеристики лінійної пасивної ланцюга.

Аналізуючи критерії фізичної можливості бути реалізованим і розглядаючи наведені приклади, приходимо до висновку, що якщо деяка раціональна функція Н (р) відноситься до позитивних речовим функцій і, отже, є фізично реалізованої в якості операційної вхідний характеристики лінійної пасивної ланцюга, то зворотна їй функція Н ~ 1 (р) також фізично реалізувати, причому нулі функції Н (р) відповідають полюсів функції Я р), і навпаки.

Умови фізичної можливості бути реалізованим і основні особливості операційних вхідних характеристик реактивних ланцюгів. Ланцюги, складені тільки з реактивних елементів (ємностей і індуктивностей), що представляють собою окремий випадок лінійних пасивних електричних ланцюгів, називаються реактивними ланцюгами , LC-ланцюгами або ланцюгами без втрат.

Необхідна і достатня умова того, щоб задана раціональна функція Н (р ) могла бути реалізована в якості вхідної функції реактивної ланцюга, полягає в тому, щоб Н (р) представляла собою позитивну речову функцію р і, крім того, або поліном N (p) повинен бути парним, а поліном М (р) - непарних, або навпаки.

Функція, що володіє такими властивостями, називається реактансной або реактивної.

Приклад 9.3. Визначимо, чи є функція

фізично реалізованої в якості операційного вхідного опору або операторної вхідної провідності реактивного двухполюсника.

У прикладі 9.2 було показано, що така функція є позитивною речової функцією комплексного змінного р. У зв'язку з тим, що поліном N (p) = р 2 + 4 парний, а поліпом М (р) = / г + - непарний, функція Щ (р) відноситься до реактансним і може бути реалізована в якості операційної вхідний характеристики реактивного двухполюсника.

Реактансная функція, володіючи всіма властивостями позитивних дійсних функцій, має ряд додаткових особливостей:

  • 1) нулі і полюси її розташовані на уявної осі;
  • 2) нулі і полюси чергуються, причому як на початку координат ( р = 0), так і на нескінченності (р = ± j °°) обов'язково знаходиться або нуль, або полюс;
  • 3) значення реактивної функції на уявної осі є чисто уявними і збільшуються з ростом зі (в точках безперервності).

Розглянемо операторні вхідні характеристики деяких реактивних двополюсників.

Одноелементні реактивні двухполюсники. Операторний вхідний опір індуктивності Z L (p) = pL име-

Залежно від частоти уявних складових комплексного вхідного опору ( а ) і комплексної вхідної провідності (б) індуктивності

Мал. 9.1. Залежно від частоти уявних складових комплексного вхідного опору ( а ) і комплексної вхідної провідності (б) індуктивності

ет нуль на початку координат. При р-> оо функція Z L (p) приймає нескінченно велике значення (функція Zj (p) має полюс на нескінченності). Нулі і полюси Z L (p ) лежать на уявної осі (полюс або нуль , що знаходиться на нескінченності , вважається розташованим на уявної осі). Нулі і полюси чергуються, причому при р = усо значення функції Z L (j?) Є чисто уявним: Z L (j (o) = j ($ L = jx L (cd) y і зростає з ростом зі: dx (co ) / dco = L> 0 (рис. 9.1, а).

Операційна вхідна провідність індуктивності Y L (p) = 1 / (pL) має полюс при р = 0 і нуль при р = оо, тобто нулі функції Yj (p) відповідають полюсів функції Z L (p) y і навпаки. Значення функції Y L (p) на уявної осі є уявними: F / 0'co) = i / (jpL) = jb { ( зі) і збільшуються з ростом зі: db L (co) / dco = 1 (про rL) > 0 (рис. 9.1, б).

Оскільки ємність і індуктивність є дуальними елементами, операторні вхідні характеристики ємності володіють такими ж особливостями, як і операторні вхідні характеристики індуктивності.

Двоелементний реактивні двухполюсники. Операторний вхідний опір послідовної LC-ланцюга

має полюси на початку координат = 0 і на нескінченності Рх 2 = 00 і нулі, розташовані на уявної осі: p 0i = 7оз 0 , Л) 2 = _ Л ° о, де зі 0 = 1 / VZc (рис. 9.2, а ) (полюси і нулі, що знаходяться на нескінченності, на полюсний-нульових діаграмах зазвичай не зображують). Нулях операційного вхідного опору послідовної LC-ланцюга відповідають полюси операторної вхідної провідності цьому ланцюзі (рис. 9.2, б)

Полюсний-нульові діаграми операційного вхідного опору (а) і операторної вхідної провідності (б) послідовної LC-ланцюга

Мал. 9.2. Полюсний-нульові діаграми операційного вхідного опору (а) і операторної вхідної провідності (б) послідовної LC-ланцюга

Залежності від частоти уявних складових комплексного вхідного опору (а) і комплексної вхідної провідності (б) послідовної LC-ланцюга

Мал. 93. Залежності від частоти уявних складових комплексного вхідного опору (а) і комплексної вхідної провідності (б) послідовної LC-ланцюга

а полюсів операційного вхідного опору Z (p) - нулі Y (p). На уявної осі значення функцій Z (p) і Y (p ) є чисто уявними

і збільшуються з ростом зі (див. рис. 9.3, а , б).

Паралельна LC -ланцюг є дуальної але відношенню до послідовної LC-ланцюга, тому операторний вхідний опір Z (p) = р / [С (р 2 + coj;)] і операційна вхідна провідність Y (p) = С (р 2 + щ ) / р паралельної LC-ланцюга мають такі властивості, як і відповідні їм характеристики послідовної LC-ланцюга.

Багатоелементні реактивні двухполюсники. Аналізуючи операторні вхідні характеристики довільних реактивних двополюсників, неважко переконатися в тому, що загальне число нулів і полюсів відповідних функцій на позитивній уявної півосі, включаючи і зовнішні (на початку координат і на нескінченності), так само N + 1, де А - число незалежно включених реактивних елементів. Залежно від розташування нулів і полюсів на позитивній уявної півосі розрізняють операційні характеристики реактивних двополюсників:

  • 1) типу 0 - 0 (нулі при зі = 0 і з = °°);
  • 2) типу 0 - х (нуль при зі = 0 і полюс при зі = ° о);
  • 3) типу х - 0 (полюс при зі = 0 і нуль при зі = °°);
  • 4) типу х - х (полюси при зі = 0 і з = °°).

Для того щоб визначити, до якого типу відносяться операційні характеристики заданого довільного реактивного двухполюсника, досить встановити, чи є між його зовнішніми висновками шляхи, що проходять тільки через індуктивності і тільки через ємності. Якщо між висновками двухполюсника можна знайти шлях, що проходить тільки через індуктивності (очевидно, що опір такого двухполюсника постійному струму дорівнює нулю), то операторний вхідний опір має нуль при зі = 0. Якщо між висновками двухполюсника відсутня шлях, що проходить тільки через індуктивності (опір двухполюсника постійному струму нескінченно велике), то операторний вхідний опір має полюс на початку координат (тобто при зі = 0). Відповідно якщо між висновками двухполюсника існує шлях, що проходить тільки через ємності, то його операторний вхідний опір має нуль на нескінченності (тобто при зі = сю), в іншому випадку опір двухполюсника має полюс на нескінченності. Знаючи особливості операційних характеристик реактивних двополюсників, можна якісно, з вигляду схеми двухполюсника, побудувати частотні характеристики довільного реактивного двухполюсника.

Приклад 9.4. Визначимо тип частотних характеристик і побудуємо якісно залежності від частоти уявних складових комплексних вхідного опору і вхідної провідності реактивного двухполюсника, схема якого зображена на рис. 9.4, а.

Безпосередньо за схемою знаходимо, що між зовнішніми висновками двухполюсника є один шлях, що проходить тільки через індуктивності, і відсутні шляхи, що проходять тільки через ємності. Отже, частотна характеристика вхідного опору відноситься до типу 0 - х, а частотна характеристика вхідної провідності - до типу х- 0. Загальна

Наприклад 9.4

Мал. 9.4. Наприклад 9.4

число нулів і полюсів, включаючи зовнішні, на одиницю більше числа незалежно включених реактивних елементів, воно дорівнює чотирьом. Залежно від частоти уявних складових комплексних вхідного опору і вхідної провідності розглянутого двухполюсника наведені на рис. 9.4, б, в.

 
<<   ЗМІСТ   >>