Повна версія

Головна arrow Техніка arrow ТЕОРІЯ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

КОЛА З РОЗПОДІЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ

Завдання аналізу ланцюгів з розподіленими параметрами

Загальні відомості. Нагадаємо, що ланцюгами з розподіленими параметрами називаються ідеалізовані електричні ланцюги, процеси в яких описуються диференціальними рівняннями в приватних похідних. Токи і напруги водномерной ланцюга з розподіленими параметрами є функціями двох змінних - часу t і координати х.

Історично склалося так, що першими в якості одновимірних ланцюгів з розподіленими параметрами стали представляти так звані довгі лінії, тобто лінії передачі енергії від джерела до навантаження, довжина яких значно перевищує довжину хвилі передаваних електромагнітних коливань. Тому одномірні ланцюги з розподіленими параметрами часто називають довгими лініями або лініями , а рівняння (1.44), (1.45), що описують залежності між струмами і напругами елементарної ділянки одновимірної ланцюга з розподіленими параметрами, - диференціальнимирівняннями довгої лінії або телеграфними рівняннями.Будемо використовувати терміни «довга лінія» або «лінія» як синоніми терміна «одномірна ланцюг з розподіленими параметрами», пам'ятаючи при цьому, що наведена на рис. 1.42 схема елементарної ділянки одновимірної ланцюга з розподіленими параметрами і відповідна їй система рівнянь електричної рівноваги (1.44) і (1.45) носять загальний характер і можуть бути застосовані не тільки для моделювання процесів в реальних лініях передачі, але і для наближеного уявлення багатьох інших радіотехнічних елементів і пристроїв в області досить високих частот.

Одномірні ланцюги з розподіленими параметрами, які застосовуються для моделювання різних реальних ланцюгів і їх елементів, відрізняються одна від одної в основному значеннями погонних параметрів R u L 1? З 1? G і характером їх залежності від координати, часу або режиму роботи ланцюга. В лінійних інваріантних в часі ланцюгах з розподіленими параметрами погонное опір R h індуктивність Lj, ємність С і провідність витоку G не залежать від часу і режиму роботи ланцюга; вони можуть змінюватися уздовж ланцюга за певним законом або мати однакові значення на всіх її ділянках. Лінійні інваріантні в часі ланцюга з розподіленими параметрами, погонні параметри яких постійні і не залежать від координати, називаються однорідними ( регулярними ). Ланцюги, погонні параметри яких є функціями координати, називаються неоднорідними ( нерегулярними ).

Залежно від того, які процеси в досліджуваній реальної ланцюга мають переважний характер, а також від ступеня ідеалізації схема заміщення елементарної ділянки лінії може не містити тих чи інших з показаних на рис. 1.42 елементів. Відповідно до цього кола з розподіленими параметрами поділяють на ланцюзі загального вигляду (RLCG-л инии), ланцюги без втрат (LC-лінії), лінії з втратами (LCR- лінії), резистивної-ємнісні (RC-л инии), резістівно- індуктивні (KL-лінії) і резистивні (RG-л и- ванні). Найцікавіші процеси в лініях без втрат і в лініях загального вигляду з малими втратами, які використовуються в основному для моделювання реальних ліній передачі і коливальних систем надвисоких частот. З розвитком мікроелектроніки зріс інтерес до розгляду процесів в /? С-лініях, які застосовують в якості моделей різних пасивних елементів інтегральних мікросхем (плівкових і дифузійних резисторів, конденсаторів, з'єднувальних провідників і перемичок), а також до дослідження резистивних ліній, які служать для моделювання контактів до різних мікроелектронним елементів [17].

Загальне рішення диференціальних рівнянь довгої лінії. Завдання аналізу ланцюгів з розподіленими параметрами зазвичай зводиться до визначення законів зміни струмів і напруг уздовж ланцюга і до дослідження частотних або тимчасових характеристик ланцюга щодо зовнішніх затискачів. З цією метою необхідно знайти част-

Схема заміщення однорідної довгої лінії

Мал. 8 .1. Схема заміщення однорідної довгої лінії

ні рішення диференціальних рівнянь лінії (1.44), (1.45) при відповідних початкових та граничних умовах. У зв'язку з тим, що рішення даних рівнянь в замкнутій формі для неоднорідних ліній може бути отримано тільки при деяких приватних видах залежностей погонних параметрів від координати, обмежимося розглядом однорідної лінії довжиною / (рис. 8.1).

Для вирішення диференціальних рівнянь лінії скористаємося операторних методом, який дозволяє перейти від рішення диференціальних рівнянь в приватних похідних для миттєвих значень струмів i = i (x, t) і напружень і = і (х, t) лінії до вирішення звичайних диференціальних рівнянь, складених відносно операторних зображень відповідних струмів 1 {х, р) = i (x, t) і напружень щх, р ) == і (х, t).

Помноживши праву і ліву частини рівнянь (1.44), (1.45) на е ~ р ' і інтегруючи в межах від t = 0 до t = ° о, отримуємо

де функції і (х, 0), i (x, 0) описують розподіл напруги і струму вздовж лінії при t - 0, тобто визначають початкові умови задачі. У зв'язку з тим, що в рівняннях (8.1) і (8.2) містяться похідні невідомих функцій U (x, р) і /(.г, р) тільки по одній змінній, приватні похідні цих функцій по х замінені звичайними (повними) похідними .

При нульових початкових умовах рівняння (8.1), (8.2) приймають вид

де - операторні погонное опір і погонне провідність лінії.

Рівняння (8.3), (8.4) шляхом виключення змінних можуть бути зведені до одного диференціального рівняння, складеного відносно струму або напруги. Продифференцировав праву і ліву частини рівняння (8.4) по х і підставляючи в нього значення dl (x, p) / dx з рівняння (8.3), знаходимо

Аналогічний вигляд має і операторний рівняння розглянутої ланцюга, складене щодо струму - 1 {х, р). Вхідна в ці рівняння величина

називається операційним коефіцієнтом поширення.

Таким чином, розподіл операторних зображень струмів і напруг в лінійної однорідної інваріантної в часі ланцюга з розподіленими параметрами описується рішеннями лінійного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами, загальне рішення якого має вигляд

де А (р), Л 2 (р) - постійні інтегрування, які визначаються граничними умовами завдання, тобто значеннями невідомих функцій U (x, p) і 1 (х, р) на початку (х = 0) або в кінці = /) лінії. Підставляючи рішення (8.7) в рівняння (8.4), знаходимо вираз для операторного зображення струму лінії

величина

називається операційним хвильовим опором лінії.

Визначаючи значення постійних інтегрування, відповідні тим чи іншим граничним умовам, і підставляючи їх в вирази (8.7), (8.8), можна отримати операторні зображення струму і напруги в будь-якому перетині лінії при довільному зовнішньому впливі, а також знайти будь-які частотні і тимчасові характеристики досліджуваної ланцюга.

Питання і завдання для самоперевірки

  • 1. У чому принципові відмінності ланцюгів з розподіленими параметрами (ЦРП) від ланцюгів із зосередженими параметрами (ЦСП) в різних аспектах: 1) фізичному; 2) математичному?
  • 2. Дайте визначення довгої лінії (ДЛ).
  • 3. Які параметри ДЛ називаються погонними і чому?
  • 4. Чим відрізняється нерегулярна ДЛ від регулярної?
  • 5. Перерахуйте основні класи ДЛ. Які ознаки ліній були покладені в основу класифікації?
  • 6. Охарактеризуйте ДЛ наступних класів: 1) LC-; 2) RC-; 3) RLC -; 4) RG- лінії. Які реальні пристрої можуть бути промоделювати з використанням цих класів ДЛ?
  • 7. Які додаткові умови необхідно задати, щоб знайти розподіл струмів і напруг уздовж одновимірної ланцюга з розподіленими параметрами при заданих параметрах джерела енергії і навантаження?
  • 8. Перерахуйте основні етапи рішення диференціальних рівнянь лінії щодо зображень напруг і струмів в довільному перерізі ОДЛ.
  • 9. Як і навіщо визначають постійні інтегрування?
 
<<   ЗМІСТ   >>