Повна версія

Головна arrow Техніка arrow ТЕОРІЯ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ НЕВИЗНАЧЕНИХ МАТРИЦЬ ПРОВІДНОСТЕЙ І ОПОРІВ ЛІНІЙНИХ НЕАВТОНОМНИХ БАГАТОПОЛЮСНИКІВ.

Первинні параметри багатополюсника при будь-якому виборі системи незалежних струмів і напруг мають фізичний зміст комплексних частотних характеристик багатополюсника в режимах короткого замикання або холостого ходу. Як і будь-які комплексні частотні характеристики лінійних ланцюгів, первинні параметри лінійного неавтономного багатополюсника не залежить від амплітуд і початкових фаз струмів і напруг, що діють на затискачах багатополюсника, а визначаються тільки його внутрішньою структурою, параметрами входять до нього елементів і частотою зовнішньої дії. При довільному зовнішньому впливі основні рівняння багатополюсника зберігають таку ж структуру, як і при гармонійному впливі, причому його струми і напруги представляються операторними зображеннями, а в виразах для первинних параметрів усо замінюється на р.

Таким чином, первинні параметри лінійного неавтономного багатополюсника в загальному випадку є функціями комплексної частоти р.

У зв'язку з тим, що сума елементів кожного рядка і сума елементів кожного стовпця невизначених матриць опорів і провідностей дорівнюють нулю, стовпці і рядки цих матриць лінійно залежні. Отже, визначники матриць Zjj і Yjj дорівнюють нулю і системи рівнянь (7.7) і (7.14) не можуть бути дозволені щодо напруг полюсів UjQ або струмів зовнішніх контурів } відповідно.

Аналізуючи структуру основних рівнянь багатополюсника, неважко встановити, що k-щ полюсу багатополюсника відповідають k-я рядок і k-й стовпець невизначеною матриці провідності, а k-й стороні багатополюсника (k-му контуру, утвореного однієї зі сторін багатополюсника і іншою частиною ланцюга ) - k-я рядок і k-й стовпець невизначеною матриці опорів.

Зміна нумерації полюсів або сторін багатополюсника не викликає зміни елементів невизначених матриць, а призводить лише до перестановки відповідних рядків і стовпців. Так, при взаємній заміні номерів двох будь-яких полюсів багатополюсника необхідно поміняти місцями рядки і переставити стовпчики матриці Y, y, які мають відповідні номери. Аналогічно, при взаємній заміні номерів двох будь-яких сторін необхідно провести перестановки відповідних рядків і перестановки відповідних стовпців матриці

Приклад 7.3. Знайдемо невизначену матрицю провідностей польового транзистора, розглянутого в прикладі 7.1, в тому випадку, коли висновків затвора, стоку і витоку присвоєні відповідно номера 2, 3 і 1 (нагадаємо, що в прикладі 7.1 цих висновків були привласнені номери 1, 2 і 3).

Невизначена матриця провідностей, відповідна такої нумерації висновків, може бути отримана способом, наведеним у прикладі 7.1, однак цей спосіб досить трудомісткий.

У той же час для вирішення завдання досить в матриці провідностей, отриманої в прикладі 7.1, поставити перший стовпець на місце другого, другий - на місце третього, третій - на місце першого, перший рядок перенести на місце другої, другу - на місце третьої, а третю - на місце першої, причому послідовність виконання перестановок не має значення.

В результаті отримаємо

За допомогою невизначених матриць опорів і провідностей лінійного неавтономного багатополюсника можна отримати матриці первинних параметрів, які відповідають різним схемам включення цього багатополюсника.

Нехай будь-який висновок багатополюсника, наприклад з номером N, з'єднаний з базисним вузлом (обраний в якості загального або базисного вузла). Тоді напруга N- го висновку щодо базисного 0 NQ дорівнює нулю і, отже, дорівнюють нулю часткові струми всіх висновків / {, / 2, ..., / y jV викликані дією джерела Eff = Ох о- Виключаючи з системи рівнянні (7.7) рівняння для струму виведення N, що дорівнює сумі струмів інших висновків, взятої з протилежним знаком, отримуємо систему основних рівнянь багатополюсника в розглянутій схемі включення:

Матриця первинних параметрів багатополюсника в цьому випадку

виходить з невизначеною матриці провідності цього ж багатополюсника Y ,, шляхом викреслення ЛГ-го стовпця і N- го рядка. У загальному випадку матриця У-параметрів багатополюсника, k-й полюс якого обраний в якості базисного Y jj, формується з невизначеною матриці провідності цього багатополюсника Y, y шляхом викреслювання стовпця і рядка, відповідних оазисного полюсу. Сума елементів кожного рядка і сума елементів кожного стовпця матриці Yj не рівні нулю. Визначник цієї матриці, як правило, не дорівнює нулю, і, отже, система рівнянь (7.15) може бути дозволена щодо напруг полюсів 6Л 0 -

Приклад 7.4. Знайдемо матриці У-парамстров нульової транзистора, включеного по схемі із загальним витоком і за схемою з загальним затвором.

Невизначена матриця провідностей польового транзистора наведена в прикладі 7.1. Викреслюючи з цієї матриці третій рядок і третій стовпець, отримуємо матрицю У-парамет- рів транзистора із загальним витоком:

Викреслюючи з невизначеною матриці перший рядок і перший стовпець, знаходимо матрицю У-параметрів польового транзистора в схемі із загальним затвором:

Знаючи матрицю провідностей багатополюсника Y ^ k включеного за схемою із загальним k-м висновком, можна знайти невизначену матрицю провідностей цього багатополюсника Y у. З цією метою матриця доповнюється k-й рядком

і k-м стовпцем, елементи яких вибирають з умови рівності нулю суми елементів кожного рядка і кожного стовпця невизначеною матриці провідності.

З урахуванням вищесказаного неважко встановити, що для переходу від матриці У-параметрів багатополюсника, включеного за схемою із загальним ^ вивід, до матриці У-параметрів багатополюсника із загальним 1-м висновком необхідно спочатку доповнити матрицю Yp k-й рядком і k -м стовпцем, елементи яких вибирають з умови рівності нулю суми елементів кожного стовпця і кожного рядка невизначеною матриці провідності, а потім викреслити з отриманої матриці l-й стовпець і l-ю рядок.

Приклад 7.5. Визначимо матрицю У-іараметров біполярного транзистора Yp, включеного за схемою із загальною базою, за відомою матриці У-параметрів цього транзистора в схемі із загальним емітером:

Доповнюючи матрицю рядком і стовпцем, відповідними висновку емітера

і викреслюючи рядок і стовпець, відповідні висновку бази, отримуємо матрицю провідностей біполярного транзистора в схемі із загальною базою:

Якщо два будь-яких виведення багатополюсника, наприклад з номерами до і N, об'єднуються в один полюс, якому присвоюється номер k, то напруга цього полюса про тносітельно базисного вузла одно? / * 0 , а його струм дорівнює сумі струмів к-то і N -то висновків. При цьому в основній системі рівнянь багатополюсника (7.7) рівняння для струмів k-го і JV-го висновків

замінюються одним рівнянням

Отже, при об'єднанні до -го і JV-ro полюсів в один kv полюс до -я і JV-я рядки невизначеною матриці провідності багатополюсника підсумовуються і стають до-і рядком, а к-та і JV-й стовпці підсумовуються і утворюють до- і стовпець.

Приклад 7.6. Знаючи невизначену матрицю провідностей багатополюсника А, наведеного на рис. 7.8, а ,

визначимо невизначену матрицю провідностей Y, / B нового багатополюсника Б, що виходить з вихідного в результаті об'єднання полюсів 3 та 4 (рис. 7.8, б). Основні рівняння вихідного багатополюсника в формі Y мають вигляд

У багатополюсника, отриманого з вихідного шляхом об'єднання висновків 3 і 4, напруга об'єднаного виведення одно t / 30 , а струм - сумі струмів третього і четвертого висновків результат но го м н oroi Юл юс і та ка:

або в матричної формі

Мал. 7.8. До прикладів 7.6 і 7.7

Таким чином, елементи третього рядка і третього стовпця матриці Yу Б дійсно дорівнюють сумі відповідних елементів третьої і четвертої рядків і третього і четвертого стовпців невизначеною матриці провідності вихідного багатополюсника.

Якщо який-небудь висновок багатополюсника, наприклад N-й, не використовується при його поєднанні з іншою частиною ланцюга, тобто є внутрішнім вузлом багатополюсника, то струм цього висновку

Визначаючи з рівняння (7.16) напруга ЛГ-го виведення

і виключаючи напруга U ^ 0 з основної системи рівнянь електричної рівноваги вихідного багатополюсника, отримуємо

Система рівнянь (7.17) може бути представлена в матричної формі

де матриця

виходить з невизначеною матриці провідності вихідного багатополюсника шляхом викреслення N- го рядка і JV-ro стовпця і заміни інших елементів Уу новими YJ, обумовленими за допомогою співвідношення

Приклад 7.7. Знаючи невизначену матрицю провідностей багатополюсника, наведеного на рис. 7.8, а (див. Приклад 7.6), знайдемо невизначену матрицю провідностей Yу В багатополюсника, який виходить з вихідного, якщо полюс 4 стає внутрішнім (див. Рис. 7.8, в).

Невизначена матриця провідностей багатополюсника, наведеного на рис. 7.8, в, формується з невизначеною матриці провідності вихідного багатополюсника шляхом викреслення рядка 4 та стовпця 4, а також заміни інших елементів новими, розрахованими за допомогою виразу (7.18):

Неважко переконатися, що сума елементів будь-якого рядка і сума елементів будь-якого стовпця матриці Y // B дорівнюють нулю.

Розглядаючи основні рівняння багатополюсника в формі Z, можна встановити, що при розмиканні будь-якого з зовнішніх по відношенню до багатополюсника кон- турів, наприклад k-vo (контурний струм цього контуру стає рівним нулю), з невизначеною матриці опорів багатополюсника викреслюють k-ю рядок і k-й стовпець. Отримана в результаті цього матриця опорів Zj як правило, не є особливою, тому основна система рівнянь багатополюсника, один із зовнішніх контурів якого розімкнути, може бути дозволена щодо струмів інших контурів.

На відміну від невизначених матриць опорів і провідностей багатополюсника матриці zfj і Y ^ одержувані з матриць Zjj і Y t j шляхом викреслення рядка і стовпця, будемо називати укороченими матрицями опорів і провідностей багатополюсника.

При об'єднанні k-vo і JV-ro висновків багатополюсника в один & -й висновок з невизначеною матриці опорів вихідного багатополюсника викреслюють N-ю рядок і JV-й стовпець, а інші елементи вихідної матриці Z 2 y замінюють новими Z [ p розрахованими по формулі

Якщо який-небудь з полюсів багатополюсника, наприклад ki , що є загальним для k-ro або / -го контурів, стає внутрішнім, то контури k і / об'єднуються в один / -й контур. В цьому випадку в невизначеною матриці опорів багатополюсника викреслюють k-ю рядок і k-й стовпець, а потім до елементів / -го рядка і / -го стовпця додають відповідні елементи k-й рядки і k-ro стовпця.

Співвідношення між елементами невизначених матриць провідностей і опорів багатополюсника. Основні рівняння довільного лінійного неавтономного багатополюсника в формах Y і Z описують залежності між струмами і напругами на затискачах цього багатополюсника. Очевидно, що коефіцієнти основних рівнянь (Yі Z параметри багатополюсника) повинні бути пов'язані між собою співвідношеннями, що дозволяють знайти елементи однієї з невизначених матриць багатополюсника з відомих елементів іншого. Визначити ці співвідношення шляхом зіставлення виразів для однойменних величин, наприклад струмів або напруг полюсів, отриманих з рівнянь (7.7) і (7.14), неможливо, оскільки матриці Z- і Y -є особливими і рівняння (7.7) не можуть бути дозволені щодо напруг полюсів , а рівняння (7.14) - щодо струмів, зовнішніх по відношенню до багатополюсника контурів. Однак, як було встановлено раніше, укорочені матриці опорів і провідностей багатополюсника не є особливими і, отже, основні рівняння багатополюсника, один з висновків якого обраний в якості загального або один із зовнішніх, по відношенню до якого, контурів є розімкненим, можуть бути дозволені щодо однойменних величин.

Приклад 7.8. Визначимо співвідношення між Y- і Z-парамет- рами лінійного неавтономного трехполюсніка (рис. 7.9, а). Нехай невизначена матриця провідностей цього трехполюсніка відома:

Виберемо будь-який з полюсів трехполюсніка, наприклад полюс 3, в якості загального (рис. 7.9, б ) і знайдемо відповідну цієї нагоди вкорочений матрицю провідностей:

Основна система рівнянь трехполюсніка в даній схемі включення має вигляд

Висловимо струми полюсів трехполюсніка 1, / 2 через струми зовнішніх контурів / і , / 33 (рис. 7.9, в):

а напруги полюсів трехполюсніка щодо базисного Uю, U 2 про - через напруги між полюсами U, U 3 .

Підставляючи співвідношення (7.20), (7.21) в (7.19) і вирішуючи отриману систему рівнянь

Наприклад 7.8

Мал. 7.9. Наприклад 7.8

щодо U, U 3 , переходимо від основних рівнянь трехполюсніка із загальним полюсом 3 (див. рис. 7.9, б) до основних рівнянь трехполюсніка з розімкненим зовнішнім контуром 2 (рис. 7.9, в):

або

тут

- укорочена матриця опорів трехполюсніка, зовнішній контур 2 якого розімкнути.

Доповнюючи вкорочений матрицю ще одним рядком і одним стовпцем, відповідними розімкненим контуру, і виносячи з матриці загальний для всіх елементів множник, знаходимо невизначену матрицю опорів рассматривав мого трехполюсніка:

Отримані вирази для Z-параметрів можуть бути спрощені, якщо взяти до уваги, що суми елементів будь-якого рядка і елементів будь-якого стовпця матриці дорівнюють нулю:

Використовуючи аналогічні перетворення, неважко виразити елементи невизначеною матриці провідності трехполюсніка через елементи невизначеною матриці опорів:

Вирази (7.22), (7.23) отримали назву формул переходу. Як випливає з формул переходу, взаємні перетворення невизначених матриць провідностей Yy і опорів Zy багатополюсника можливі тільки в тому випадку, коли укорочені матриці провідності і опорів Zp нс є особливими.

 
<<   ЗМІСТ   >>