Повна версія

Головна arrow Техніка arrow ТЕОРІЯ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ВИЗНАЧЕННЯ РЕАКЦІЇ ЛАНЦЮГА НА ДОВІЛЬНЕ ЗОВНІШНІЙ ВПЛИВ НА ЇЇ ПЕРЕХІДНОЮ ХАРАКТЕРИСТИЦІ.

Розглянемо довільну лінійну електричний ланцюг, що не містить незалежних джерел енергії, перехідна характеристика якої g (t) відома. Нехай зовнішній вплив на ланцюг задається у вигляді довільної функції х = x {t), що дорівнює нулю при? 0 і безперервної при всіх?, За винятком точки? =? 0, де x (t) може мати кінцевий розрив (рис. 6.21). Функцію x (t) можна наближено представити у вигляді суми непоодиноких стрибків або, що те ж саме, у вигляді лінійної комбінації одиничних стрибків, зміщених один відносно іншого на Дт:

де x (t 0 ) - висота початкового стрибка функції x (t); Ах (т ^) «~ AT (lx / dt t - 4 - висота стрибка, що подається в момент часу? = Т k (на рис. 6.21 цей стрибок заштрихован).

Подання довільного зовнішнього впливу у вигляді суми непоодиноких стрибків

Мал. 6.21. Подання довільного зовнішнього впливу у вигляді суми непоодиноких стрибків

Відповідно до визначення перехідної характеристики (6.108) реакція ланцюга на вплив непоодинокі стрибка, прикладеного в момент часу t = т *, дорівнює добутку висоти стрибка на перехідну характеристику ланцюга g (t - т /,). Отже, реакція ланцюга на вплив, що представляється сумою непоодиноких стрибків (6.114), дорівнює сумі творів висот стрибків на відповідні перехідні характеристики:

Очевидно, що точність представлення вхідного впливу у вигляді суми непоодиноких стрибків, як і точність представлення реакції ланцюга у вигляді (6.115), зростає зі зменшенням кроку розбиття по часу Дт. При Дт -? 0 підсумовування замінюється інтегруванням:

Вираз (6.116) відомо під назвою інтеграла Дюамеля (інтеграла накладення). Використовуючи цей вислів, можна знайти точне значення реакції ланцюга на заданий вплив х = х (t) в будь-який момент часу t після комутації. Інтегрування в вираженні (6.116) здійснюється на проміжку? 0 < т <t, причому вираження для х (т) і x (t - т) виходять з виразів для x (t) і g (t) шляхом заміни t на т і t - т.

За допомогою інтеграла Дюамеля можна визначити реакцію ланцюга на заданий вплив і в тому випадку, коли зовнішній вплив па ланцюг описується кусково-неперервною функцією, тобто функцією, яка має кінцеве число кінцевих розривів. У цьому випадку інтервал інтегрування необхідно розбити на кілька проміжків відповідно до інтервалів безперервності функції х = x (t) і врахувати реакцію цінуй на кінцеві скачки функції х = x (t) в точках розриву.

Приклад 6.8. Знайдемо реакцію ланцюга на зовнішній вплив, що задається функцією х = x (t) виду (рис. 6.22):

Наприклад 6.8

Мал. 6.22. Наприклад 6.8

Розбиваємо вісь часу на чотири проміжку відповідно до інтервалів безперервної функції х - x (t).

При t < 0 реакція ланцюга s = s (t ) тотожно дорівнює нулю (реакція ланцюга нс може випереджати за часом зовнішній вплив на ланцюг).

На ділянці 0 ^ t <t функція х = x (t) неперервна, тому реакція ланцюга визначається безпосередньо за допомогою виразу (6.116)

При Г] < t < f 2 інтервал інтегрування] 0, t [ містить одну точку розриву функції x (t). Розбиваючи інтервал інтегрування на два проміжки] 0, (ф] t, Г [і з огляду на реакцію ланцюга на вплив стрибка функції x (t) в точці t = t отримуємо

При t > t 2 інтервал інтегрування] 0, 00 1содержіт дві точки розриву функції x (t). Для визначення реакції ланцюга в цьому випадку необхідно розбити інтервал інтегрування на три проміжку | 0, t [, | T t , t->,>, t і врахувати реакцію ланцюга на скачки функції в точках t і f 2 . Беручи до уваги, що при t > t 2 dx / dt. = 0, знаходимо

Приклад 6.9. Знайдемо напругу на затискачах 2 - 2 'ланцюга, схема якої приведена на рис. 3.12, а, якщо напруга на затискачах 1 - Г цьому ланцюзі змінюється в часі за законом

Перехідна характеристика цього ланцюга в розглянутому включенні була визначена в прикладі 6.7: g (t ) = e Rt / L .

При t < 0 напруга на затискачах 2 - 2 'тотожно дорівнює нулю.

При 0 < t <t

Визначення реакції ланцюга на довільне зовнішній вплив але її імпульсної характеристиці. Нехай зовнішній вплив на лінійну електричний ланцюг, імпульсна

Подання довільного зовнішнього впливу у вигляді суми імпульсів

Мал. 6.23. Подання довільного зовнішнього впливу у вигляді суми імпульсів

характеристика h (t -1 0 ) якої відома, описується довільною функцією х = x (t), що дорівнює нулю при t <t 0 і безперервної при всіх t , за винятком точки t = t 0y де функція x (t) може мати кінцевий розрив (рис. 6.23). Функція x (t) може бути наближено представлена в вигляді суми імпульсів Xk (t) тривалістю Ат, зсунутих один щодо іншого на Ат:

Розглядаючи елементарний імпульс x ^ (t) (на рис. 6.23 заштрихован) як різниця двох непоодиноких стрибків заввишки х (тк), зсунутих за часом на Ат, вираз (6.117) можна представити у вигляді

де Ак = х (т ^,) Ат - площа елементарного імпульсу x ^ (t).

Точність подання зовнішнього впливу па ланцюг за допомогою виразу (6.118) зростає зі зменшенням кроку розбиття по часу Ат.

Враховуючи що

зовнішній вплив на ланцюг при досить малому кроці розбиття по часу можна представити у вигляді лінійної комбінації одиничних імпульсів

Відповідно до визначення імпульсної характеристики (6.109) реакція ланцюга s ^ t) на вплив одиночного імпульсу Xk = A k 8 (t - z k ) дорівнює добутку площі імпульсу Л /, на імпульсну характеристику ланцюга h (t - t / ; ):

Отже, реакція ланцюга на вплив виду (6.119) дорівнює сумі добутків площ імпульсів Л * на відповідні імпульсні характеристики h (t - т / ( ):

Спрямовуючи Дт до нуля і переходячи від підсумовування до інтегрування, остаточно отримуємо

Вираз (6.120) являє собою одну з форм запису інтеграла Дюамеля, і його можна отримати безпосередньо з формули (6.116), використовуючи правило інтегрування але частинам і з огляду на співвідношення між перехідною і імпульсної характеристиками ланцюга (6.113). Вираз (6.120) можна використовувати для визначення реакції ланцюга і в тому випадку, коли зовнішній вплив на ланцюг описується кусково-неперервною функцією, при цьому інтервал інтегрування розбивається на кілька проміжків відповідно до інтервалів безперервності функції x (t).

Приклад 6.10. Знаючи імпульсну характеристику ланцюга h (t - to), знайдемо реакцію ланцюга на зовнішній вплив, описане в прикладі 6.8.

Розбиваємо вісь часу на чотири проміжку відповідно до інтервалів безперервності функції х = x (t) і, використовуючи вираз (6.120), визначаємо реакцію ланцюга на заданий вплив на кожному проміжку:

Приклад 6.11. За даними прикладів 6.7 і 6.9 знайдемо реакцію ланцюга на заданий зовнішній вплив по се імпульсної характеристиці:

Розбиваємо вісь часу на три інтервали відповідно до інтервалів безперервності функції х = x (t). При t < 0 напруга на затискачах 2 - 2 'тотожно дорівнює нулю.

На ділянці] 0, t [ функція щ (?) Не має розривів, тому напруга на затискачах 2 - 2 ' знаходиться безпосередньо за допомогою виразу (6.120):

отримуємо вираз для напруги на затискачах 2 - 2 'при 0

рр 2 (0 = --- ae at + -e ~ Rt / L . a + R / Ll L

При t > t інтервал інтегрування | 0, t [містить одну точку розриву функції Розбиваючи інтервал інтегрування] 0, t [ на два проміжки] 0, t [,] t, t [ і беручи до уваги, що

знаходимо вираз для напруги на затискачах 2 - 2 'при t> t { :

Як і слід було очікувати, вирази для реакції ланцюга на заданий вплив, знайдені за допомогою імпульсної характеристики ланцюга, збігаються з відповідними виразами, отриманими з використанням перехідної характеристики цінуй (приклад 6.9).

Використовуючи відоме з математики 112J властивість інтеграла згортки

з виразів (6.116) і (6.120) можна отримати ще дві форми запису інтеграла Дюамеля:

Наведені форми запису інтеграла Дюамеля рівноцінні в сенсі отриманих результатів, тому вибір того чи іншого виразу визначається тільки зручністю обчислень і не носить принципового характеру.

ПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

  • 1. Опишіть постановку задачі визначення реакції ланцюга па довільне зовнішній вплив.
  • 2. Яка суть спектрального методу розв'язання задачі з питання 1?
  • 3. Вкажіть основні ідеї методів вирішення завдання з питання 1, заснованих на застосуванні інтегралів Дюамеля.
  • 4. Як і навіщо представляють довільне зовнішній вплив на ланцюг у вигляді суми непоодиноких стрибків? Як застосовують далі перехідну характеристику ланцюга?
  • 5. Вкажіть спосіб отримання і зміст інтеграла Дюамеля (інтеграла накладення).
  • 6. Як застосовують інтеграл Дюамеля для визначення реакції ланцюга на зовнішній вплив у вигляді кусочно-неперервної функції?
  • 7. Як і навіщо представляють довільне зовнішній вплив на ланцюг у вигляді суми імпульсів? Як застосовують далі імпульсну характеристику ланцюга?
  • 8. Наведіть різні форми інтегралів Дюамеля, поясніть їх зміст, математичну структуру і техніку застосування для вирішення завдання з питання 1.
 
<<   ЗМІСТ   >>