Повна версія

Головна arrow Техніка arrow ТЕОРІЯ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ЄМНІСТЬ І ІНДУКТИВНІСТЬ ПРИ ІМПУЛЬСНИХ І СТРИБКОПОДІБНИХ ВПЛИВАХ.

Нехай до ємності С, що має нульове початкове напруга г / с (0) = 0, докладено зовнішній вплив у вигляді імпульсу струму ic = Лі8 (?) - Напруга ємності відповідно до вираження (1.14)

в момент додатка імпульсу струму стрибком збільшується від початкового значення і з ( 0) = 0 до AJC і далі зберігає це значення. Очевидно, що при цьому енергія, запасені в ємності, стрибком зміниться від w c (0 ) = 0 до wq (0 +) == А 2 / 2С. Таким чином, незважаючи на те, що тривалість одиничного імпульсу нескінченно мала, він повідомляє ємності кінцевий запас енергії.

Характер залежностей струму і напруги від часу не зміниться і в тому випадку, якщо на ємність подано зовнішній вплив у вигляді стрибка напруги

при цьому збережена в ланцюзі енергія стрибком зміниться від нуля до РЄ 2 / 2.

Аналогічним чином встановлюємо, що при впливі на індуктивність імпульсу напруги u f = А і 8 (?) Струм індуктивності стрибком збільшується від початкового значення i L ( 0) = 0 до AJL:

і далі зберігає незмінне значення, а при підключенні індуктивності до джерела струму i L = j (t) = J • 1 (Г) напруга індуктивності має вигляд нескінченно короткого імпульсу нескінченно великої висоти і кінцевої площі:

Стрибкоподібне (в порушення законів комутації) зміна енергії, запасеної в реактивних елементах ланцюга, в розглянутих задачах пов'язано з тим, що в самій постановці цих задач не виконуються вихідні положення, прийняті при виведенні законів комутації, про те, що струми і напруги джерел енергії не можуть досягати нескінченно великих значень.

Перехідна та імпульсна характеристики лінійних ланцюгів. Розглянемо лінійну електричний ланцюг, що не містить незалежних джерел струму і напруги. Нехай зовнішній вплив на ланцюг являє собою непоодинокий стрибок x (t) = X (t) = ХА (t - t 0 ) } а реакція ланцюга на це вплив при нульових початкових умовах дорівнює s ^ (t).

Перехідною характеристикою g (t - ? 0 ) лінійного ланцюга, яка не містить незалежних джерел енергії, називається відношення реакції цьому ланцюзі на вплив непоодинокі стрибка струму або напруги до висоти цього стрибка при нульових початкових умовах:

З виразу (6.108) випливає, що g (t - t 0 ) = s { (t)> якщо Х = 1, отже, перехідна характеристика ланцюга чисельно дорівнює реакції ланцюга на вплив одиничного стрибка струму або напруги. Розмірність перехідною характеристики дорівнює відношенню розмірності відгуку до розмірності зовнішнього впливу, тому перехідна характеристика може мати розмірність опору, провідності або бути безрозмірною величиною.

Нехай зовнішній вплив на ланцюг має форму нескінченно короткого імпульсу нескінченно великої висоти і кінцевої площі А І :

Реакцію ланцюга на це вплив при нульових початкових умовах позначимо s s (?).

Імпульсною характеристикою h (t - to) лінійного ланцюга, яка не містить незалежних джерел енергії, називається відношення реакції цієї цінуй на вплив нескінченно короткого імпульсу нескінченно великої висоти і кінцевої площі до площі цього імпульсу при нульових початкових умовах:

Як випливає з виразу (6.109), імпульсна характеристика ланцюга чисельно дорівнює реакції ланцюга на вплив одиничного імпульсу (/ 1 І = 1). Розмірність імпульсної характеристики дорівнює відношенню розмірності відгуку ланцюга до твору розмірності зовнішнього впливу на час.

Подібно комплексної частотної і операторної характеристикам ланцюга, перехідна і імпульсна характеристики встановлюють зв'язок між зовнішнім впливом на ланцюг і її реакцією, однак на відміну від комплексної частотної і операторної характеристик аргументом перехідною і імпульсної характеристик є час Г, а не кутова з або комплексна р частота. Так як характеристики ланцюга, аргументом яких є час, називаються тимчасовими, а аргументом яких є частота (в тому числі і комплексна) - частотними характеристиками (див. І. 1.5), то перехідна і імпульсна характеристики враховуються при визначенні часових параметрів ланцюга.

Кожній парі «зовнішній вплив на ланцюг x v (t) - реакція ланцюга можна поставити у відповідність певну комплексну частотну ///, v (/ co), операційну ll kv (p), перехідну g kx , {t. - t 0 ) і імпульсну h kx , (t: - t 0 ) характеристики.

Для встановлення зв'язку між цими характеристиками знайдемо операторні зображення перехідної й імпульсної характеристик. Використовуючи вирази (6.108), (6.109), запишемо

де S (p) = S) (0. S & (p) ^ sg (0 - операторні зображення реакції ланцюга на зовнішні впливи. Висловлюючи S (t) і 5 s (f) через операційні зображення зовнішніх впливів

отримуємо

При Го = 0 операторні зображення перехідної й імпульсної характеристик мають особливо простий вигляд:

Таким чином, імпульсна характеристика ланцюга -

це функція, зображення якої по Лапласа є операційну характеристику ланцюга Н ^. (р), а перехідна характеристика ланцюга gk v (t) - функція, операторний зображення якої дорівнює Н ^ (р) / р. Вирази (6.110) і (6.111) встановлюють зв'язок між частотними і временпи- ми характеристиками ланцюга. Знаючи, наприклад, імпульсну характеристику h / tv (t), можна за допомогою прямого перетворення Лапласа знайти відповідну операційну характеристику ланцюга

а за відомою операторної характеристиці H ^ ip) за допомогою зворотного перетворення Лапласа визначити імпульсну характеристику ланцюга

Використовуючи вирази (6.110) і теорему диференціювання (6.51), неважко встановити зв'язок між перехідною і імпульсної характеристиками:

Отже, імпульсна характеристика ланцюга дорівнює першої похідної перехідної характеристики за часом. У зв'язку з тим, що перехідна характеристика ланцюга g (t - to) чисельно дорівнює реакції ланцюга на вплив одиничного стрибка напруги або струму, прикладеного до ланцюга з нульовими початковими умовами, значення функції g (t - t 0 ) при t < 7 0 рівні нулю. Тому, строго кажучи, перехідну характеристику ланцюга слід записувати як g (t -1 () ) -1 (7- f 0 ), а не g (t - to). Замінюючи у виразі (6.112) g (t - to) на g (t - 1 {] )? 1 (t - to) і використовуючи співвідношення (6.104), отримуємо

Вираз (6.113) відомо під назвою формули узагальненої похідної. Перший доданок в цьому виразі представляє собою похідну перехідної характеристики при t> t 0 , а другий доданок містить твір 6-функції на значення перехідної характеристики в точці t = /.'о. Якщо при t = to функція g (t - to) змінюється стрибкоподібно, то імпульсна характеристика ланцюга містить 5-функ- цію, помножену на висоту стрибка перехідної характеристики в точці t = to. Якщо функція g (t - to) не зазнавав розриву при t = t 0 , тобто значення перехідної характеристики в точці t = t 0 дорівнює нулю, то вираз для узагальненої похідної збігається виразом для звичайної похідної.

Методи визначення тимчасових характеристик. Для визначення временних характеристик лінійного ланцюга в загальному випадку необхідно розглянути перехідні процеси, які відбуваються в даному колі при впливі на неї одиничного стрибка (одиничного імпульсу) струму або напруги. Це може бути виконано за допомогою класичного або операційного методу аналізу перехідних процесів. На практиці для знаходження тимчасових характеристик лінійних ланцюгів зручно використовувати інший шлях, заснований на застосуванні співвідношень, що встановлюють зв'язок між частотними та часовими характеристиками. Визначення тимчасових характеристик в цьому випадку починається з складання операторної схеми заміщення ланцюга для нульових початкових умов. Далі, використовуючи цю схему, знаходять операційну характеристику Н ^ (р), відповідну заданій парі «зовнішній вплив на ланцюг x v (t) - реакція ланцюга $ * (?)» • Знаючи операційну характеристику ланцюга і застосовуючи співвідношення (6.110) або ( 6.111), визначають шукані тимчасові характеристики.

При якісному дослідженні реакції лінійної ланцюга на вплив одиничного імпульсу струму або напруги перехідний процес в ланцюзі поділяють на два етапи. На першому етапі, при t, що належить відкритому інтервалу to _ - Го +. тобто при t е] f 0 _, Г 0 + [, ланцюг знаходиться під впливом одиничного імпульсу, який повідомляє ланцюга певну енергію. Токи индуктивностей і напруги ємностей при цьому стрибком змінюються на значення, відповідне надійшла в ланцюг енергії. На другому етапі (при t > t 0 +) дію прикладеної до ланцюга зовнішнього впливу закінчилося (при цьому відповідні джерела енергії вимкнені, тобто представлені внутрішніми опорами), і в ланцюзі виникають вільні процеси, що протікають за рахунок енергії, запасеної в реактивних елементах на першій стадії перехідного процесу. Таким чином, імпульсна характеристика ланцюга, чисельно рівна реакції на вплив одиничного імпульсу струму або напруги, характеризує вільні процеси в розглянутій ланцюга.

Приклад 6.7. Для ланцюга, схема якої приведена на рис. 3.12, а, знайдемо перехідну та імпульсну характеристики в режимі холостого ходу на затисках 2 - 2 '. Зовнішній вплив па ланцюг - напруга на затискачах 1 - Г x (t) = і, реакція ланцюга - напруга на затискачах 2 - 2 ' s (t ) =

Операційна характеристика даної цінуй, відповідна заданої парс «зовнішній вплив на ланцюг - реакція ланцюга», була отримана в прикладі 6.5:

Отже, операторні зображення перехідної й імпульсної характеристик ланцюга мають вигляд

Використовуючи таблиці зворотного перетворення Лапласа (див. Додаток 1), переходимо від зображень шуканих тимчасових характеристик до оригіналів (рис. 6.20, а, б):

Наприклад 6.7

Мал. 6.20. Наприклад 6.7

Замінюючи в отриманих виразах t на t - t 0 , знаходимо тимчасові е характеристики ланцюга при Г 0 ^ 0:

Відзначимо, що вираз для імпульсної характеристики цінуй може бути отримано і за допомогою формули (6.113), застосованої до вираження для перехідної характеристики ланцюга g (t).

Для якісного пояснення виду перехідної й імпульсної характеристик ланцюга в даному включенні (див. Рис. 6.20, а, б) подсоединим до затискачів 1 - 1 'незалежне джерело напруги e (t) = і л (рис. 6.20, в). Перехідна характеристика даної ланцюга чисельно дорівнює напрузі на затискачах 2 - 2 'при впливі на ланцюг одиничного стрибка напруги e (t) = 1 (f) У і нульових початкових умовах. У початковий момент часу після комутації опір індуктивності нескінченно велике, тому при t = t 0 = 0, напруга на виході ланцюга дорівнює напрузі на затискачах 1 - Г: і 2 ^ о + = U -o + = 1 В. З плином часу напруга на індуктивності зменшується, прагнучи до нуля при t - *? °°. Відповідно до цього перехідна характеристика починається від значення g (0) = 1 і прагне до нуля при t -? оо.

Імпульсна характеристика ланцюга чисельно дорівнює напрузі на затискачах 2 - 2 'при додатку до входу ланцюга одиничного імпульсу напруги e (t) = 1 • 8 (f) В.

При t G | 0_, 0 + [все вхідна напруга виявляється прикладеним до індуктивності. При цьому напруга на індуктивності приймає нескінченно велике значення (див. Рис. 6.20, б при t = 0), а струм індуктивності стрибком збільшується від нуля до

При t ^ 0 + джерело напруги може бути замінений ко роткозамикающей перемичкою, а струм індуктивності плавно зменшується від i L ( 0 +) до нуля. Напруга на індуктивності дорівнює напрузі на опорі R , тому при t > 0 + на- пряжс- ня ланцюга змінюється від і 2 ( 0 +) = -Ri L (0 +) = -R / L до 0 (див. Рис. 6.20 , б).

 
<<   ЗМІСТ   >>