Повна версія

Головна arrow Техніка arrow ТЕОРІЯ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ОПЕРАТОРНИЙ МЕТОД АНАЛІЗУ ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ

Перетворення Лапласа та його застосування до розв'язання диференціальних рівнянь.

Класичний метод аналізу перехідних процесів використовують в основному в тих випадках, коли досліджувана ланцюг має невисокий порядок складності, а зовнішній вплив на неї після комутації є гармонійної функцією часу або постійно. Якщо зовнішній вплив на ланцюг після комутації має більш складний характер, то визначення вимушеної складової реакції ланцюга істотно ускладнюється, а при підвищенні порядку ланцюга ускладнюється знаходження постійних інтегрування. Значно більші можливості представляє операторний метод аналізу перехідних процесів, заснований на застосуванні перетворення Латас. Подібно раніше розглянутому} 'методу комплексних амплітуд, операторний метод відноситься до символічних методів, в яких операції над функціями часу замінюються операціями над їх символами (зображеннями). Взаємна відповідність між функцією часу a (t) і її зображенням А (р) на операційному методі встановлюється за допомогою прямого

і зворотного

перетворень Лапласа і позначається знаком відповідності ==:

Функція Л (р) називається операційним зображенням функції a (t) або зображенням функції a (t) по Лапласа. Вихідна функція часу a {t) по відношенню до свого операторному зображенню є оригіналом. Комплексне число /? будемо називати оператором перетворення Лапласа або комплексної частотою (сенс останнього поняття буде пояснений в і. 6.4).

З курсу вищої математики відомо, що для функцій a (t), рівних нулю при t < 0, що інтегруються при t > 0 і задовольняють нерівності

де К, ст 0 - деякі постійні числа, інтеграл (6.46) абсолютно сходиться при Rе (/?)> ст 0 . Зображення А (р) в півплощині Re (/?)> А 0 є аналітичною функцією р, яка прагне до нуля при Re (/?) - ^ 00 161. На практиці до інтегрування за формулами (6.46), (6.47) доводиться вдаватися порівняно рідко, так як для більшості часто вживаних функцій розроблені таблиці прямого і зворотного перетворень Лапласа [11, 12]. Операційні зображення деяких функцій наведені в додатку 1. Слід мати на увазі, що в ряді довідників, зокрема 1111, наведені таблиці перетворення Лапласа - Карсона

яке відрізняється від перетворення Лапласа тільки наявністю множника р.

Нагадаємо деякі властивості перетворення Лапласа.

Зображення по Лапласу постійної величини К одно цієї величини, поділеній на р: К = К / р.

Множенню функції часу a (t) на постійне число К відповідає множення на це ж число її зображення:

Зображення суми функцій часу дорівнює сумі зображень цих функцій:

де а, (7) = А, (р).

Якщо початкове значення функції a (t) дорівнює нулю: а { 0 +) = 0, то диференціювання функції a (t) відповідає множення зображення цієї функції на р (теорема диференціювання ')'.

При рр (0 +) ^ 0

Повторним застосуванням теореми диференціювання можна отримати вирази для похідних вищих порядків:

Інтегрування функції часу в межах від 0 до t відповідає поділ зображення цієї функції на р ( теорема інтегрування) '.

Зміщення функції часу на 7 0 відповідає множення зображення на e ~ pt ° ( теорема запізнювання) '.

Зміщення зображення А (р) в комплексній площині на комплексне число X відповідає множення оригіналу на е ~ ь (теорема зміщення ):

Множенню аргументу оригіналу на постійне число а> 0 відповідає розподіл аргументу зображення і самого зображення на це ж число ( теорема зміни масштабу, теорема подібності):

Функція часу / (f) = F (p), зображення якої може бути представлено у вигляді твору зображень двох інших функцій часу F (p) = F i (p) F 2 (p), де F (p) = J (t ), F 2 (p) = / 2 (f), може бути знайдена за допомогою інтеграла згортання (інтеграла згортки) -.

Множенню зображень функцій часу відповідає згортання оригіналів ( теорема згортання) -.

Значення функції часу при t = 0 і t = 00 можуть бути знайдені за допомогою граничних співвідношень '.

(Передбачається, що відповідні межі існують).

Якщо зображення Л (р) може бути представлено у вигляді відносини двох поліномів р, які не мають спільних коренів

причому ступінь полінома M (/ j) вище, ніж ступінь полінома N (p), а рівняння

не має кратних коренів, то для переходу від зображення до оригіналу можна скористатися теоремою розкладання :

де р '- коріння рівняння (6.56).

Теорема розкладання може бути сформульована також для випадку, коли рівняння (6.56) має кратні корені, і може бути поширена на випадок, коли А (р) є довільною мероморфна функція р , тобто функцією, яка не має інших особливих точок, крім полюсів тисячу сто двадцять одна.

Як відомо, перетворення Лапласа лежить в основі операторного методу вирішення лінійних диференціальних рівнянь. З цією метою невідомі струми і напруги гілок електричного кола, а також задані струми і напруги незалежних джерел замінюють їх операторними зображеннями. При цьому система інтегро-діфференціаль- рівнянь електричної рівноваги, складена щодо миттєвих значень струмів і напруг гілок, перетворюється в систему алгебраїчних рівнянь щодо операційних зображень відповідних струмів і напруг. Вирішуючи цю систему рівнянь, можна знайти зображення шуканих струмів і напруг гілок електричного кола після комутації. Застосовуючи зворотне перетворення Лапласа, можна перейти від зображень шуканих струмів і напруг до оригіналів.

 
<<   ЗМІСТ   >>