ЧИСЕЛЬНА ОПТИМІЗАЦІЯ РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ ОБ'ЄКТА РОЗМІРНІСТЮ 3X3

Управлінню багатоканальними об'єктами присвячено багато публікацій [17, 18, 27, 28]. При цьому даються числові приклади, які найчастіше обмежені розмірністю 2 х 2, а сформульовані твердження часто поширюються на довільну розмірність N х N. Слід визнати, що поширення «по індукції» будь-яких тверджень на довільний порядок вимагає виконання двох умов: а) необхідно показати, що для деякого значення N дане твердження справедливо, б) також необхідно показати, що якщо дане твердження справедливо для N, то воно справедливо і для N + 1, де N- довільне ціле число. Якщо ж другий не доведено, то поширення раніше отриманих результатів на результати більш високого порядку не може вважатися обгрунтованим.

У зв'язку з цим навіть при наявності результатів для об'єктів розмірністю 2 х 2 не менше актуальним є дослідження завдань при більш високої розмірності, зокрема 3x3.

Крім того, якщо в передавальної функції об'єкта містяться поряд з мінімально-фазовими ланками також і ланки чистого запізнювання, то навіть для випадку розмірності 2x2 завдання не вирішується аналітичними методами, але може бути вирішена методом чисельної оптимізації при математичному моделюванні (симуляції) [36, 60 ]. Однак і в цьому випадку зростання розмірності збільшує складність вирішення завдання в квадраті, тобто при переході від N = 2 до N = = 3 складність завдання зростає пропорційно відношенню квадратів, а саме в 9/4 = 2,25 раз.

У цьому випадку навіть при наявності потужного програмно-апаратного забезпечення актуальною стає мінімізація елементів в моделі. Важливими питаннями стають обгрунтованість кожного елемента в цільової функції і обгрунтованість кожного елемента в регуляторі.

У цій главі з'ясовуються обгрунтованість і важливість кожного такого елемента методом чисельної оптимізації при математичному моделюванні на прикладі трехканального об'єкта управління, що містить в кожному каналі мінімально-фазовий ланка і послідовно з ним включене ланка запізнювання.

Нижче розглядається об'єкт, який має три входи і три виходи, елементи матричної передавальної функції - фільтри третього порядку з запізненням. Об'єкт може бути описаний функцією передачі.

Передавальна функція об'єкта має вигляд

Слід відшукати передавальну функцію послідовного регулятора, який би забезпечив управління відповідно до традиційних вимог, а саме: автономність управління в статичному режимі (тобто нульові статичні помилки по кожному каналу), по можливості мінімальні динамічні помилки (малий вплив керуючих сигналів по всіх побічних каналах ), по можливості мале перерегулювання (не більше 20%, а якщо вийде - не більше 5%).

У загальному вигляді передавальна функція регулятора може описуватися в наступному вигляді:

Можна вкласти ці вимоги в цільову функцію все цілком, тобто якщо хоча б одне з таких вимог не буде виконуватися, то цільова функція різко зросте.

Однак є і більш простий спосіб, а саме: цільова функція може бути побудована лише на основі інтеграла від суми модулів помилок.

У більш складному вигляді в цільову функцію можуть бути введені члени, які зростають при наступних умовах: а) перевищення перерегулирования вище деякого порога; б) перевищення твори помилки на її похідну вище нуля або вище деякого позитивного порога; в) перевищення інтеграла від зазначеного вище перевищення над якимось заданим порогом, і т.д.

Раніше ми пропонували вводити так званий детектор неправильних рухів, який обчислює інтеграл від позитивної частини твору помилки на її похідну. У разі багатоканального об'єкта слід брати інтеграл від суми таких творів по кожному каналу. При оптимізації ми можемо використовувати порівняння результатів з двома цільовими функціями: а) на основі інтеграла від суми помилок; б) на цій же основі, але з введенням детектора неправильних рухів.

Найпростішим регулятором є діагональний, тобто регулятор, в матричної передавальної функції якого (12.12) ненульові елементи знаходяться лише в головній діагоналі. Якщо цього буде недостатньо, необхідно буде ввести ненульові члени в усі елементи цієї матричної передавальної функції.

Найбільш простими для управління є об'єкти, в яких передавальні функції в головній діагоналі більше, ніж в інших елементах. Якщо така умова не виконується, але можна цього досягти зміною нумерації входів або виходів, ми рекомендуємо це зробити. Якщо ж цього досягти не вдається, доводиться працювати з тим, що є. Тому будуть розглянуті приклади вдалих поєднань параметрів об'єкта і невдалих поєднань.

Ми рекомендуємо використовувати програму VisSim, оскільки вона створена спеціально для симуляції динамічних систем зі зворотним зв'язком і для оптимізації регуляторів для них, хоча і це програмне забезпечення не вільно від деяких недоліків.

Приклад 12.14. Розглянемо об'єкт з передавальної функцією

(12.11), де Wy (s) = fcy exp {-TyS} / (a _y s ² + b _y s + 1). Конкретні чисельні значення коефіцієнтів дані в табл. 12.1.

Таблиця 12.1

Коефіцієнти моделі об'єкта

Закінчення табл. 12.1

Потрібно знайти передавальну функцію у вигляді (12.12).

З метою вирішення поставленого завдання створимо проект системи в програмі VisSim, як показано на рис. 12.43-12.45. Оскільки схема занадто велика, вона представлена у вигляді окремих фрагментів. При оптимізації на вхід системи були подані поодинокі ступінчасті впливу, причому на перший вхід воно подається з нульовим зсувом, на другий вхід - із зсувом 40 с, на третій вхід - із зсувом 80 с. Це робить вхідні впливу лінійно незалежними, що дозволяє забезпечити автономне управління з регулятором, одержуваних при оптимізації. Якщо цього не робити, результат може не забезпечити вимоги автономності.

Мал. 12.43. Структура діагонального ПІ-регулятора при спробі використовувати лише пропорційний і інтегруючий канали та обійтися тільки діагональними елементами в матриці регулятора (частина 1 - регулятор)

Мал. 12.44. Структура діагонального ПІ-регулятора при спробі використовувати лише пропорційний і інтегруючий канали та обійтися тільки діагональними елементами в матриці регулятора (частина 2 - об'єкт)

Отримане рівняння регулятора має вигляд

На рис. 12.45 показані отримані перехідні процеси в системі з таким діагональним регулятором. З цих процесів очевидно, що

Мал. 12.45. Структура діагонального ПІ-регулятора при спробі використовувати лише пропорційний і інтегруючий канали та обійтися тільки діагональними елементами в матриці регулятора (частина 3 - осцилографи з вихідними сигналами):

від низу до верху - перший, другий і третій канали

у другому каналі процес йде на першій третині графіка не в потрібну сторону, а саме, з плином часу вихідна величина віддаляється від запропонованого значення. Це поведінка процесу пояснюється негативним коефіцієнтом перед інтегральної компонентою регулятора другого каналу, тобто полінома, що стоїть на перетині другого рядка і другого шпальти. При заданій структурі об'єкта (всі елементи головної діагоналі позитивні) коефіцієнт в интегрирующем тракті повинен бути позитивним.

Таким чином, отриманий регулятор слід визнати, що не відповідає поставленому завданню.

Приклад 12.15. Для управління тим же об'єктом введемо в регулятор диференціювання. Тоді регулятор буде таким, як показано на рис. 12.46. Отримані перехідні процеси зображені на рис. 12.47.

Тепер немає неправильного по статиці ділянки ні в одному каналі, але перерегулирование велике. Отриманий регулятор описується наступною передавальною функцією:

Мал. 12.46. Діагональний ПІД-регулятор відповідно до прикладу 12.15

Мал. 12.47. Результати оптимізації діагонального ПІД-регулятора

за прикладом 12.15

Тепер все коефіцієнти при інтеграторах позитивні. Ста тическая помилка в кожному каналі дорівнює нулю, що виражається в тому що всі перехідні процеси з часом закінчуються на тих значеннях, які подаються на вхід системи. Перерегулювання в першому каналі досягає 150%. У другому каналі воно лише небагато чим менше - близько 110%, в третьому каналі воно досягає 60%.

Таким чином, з розглянутих регулятором завдання в цілому вирішена, але перерегулирование надзвичайно велике, тому результат також не можна вважати задовільним.

Приклад 12.16. Розглянемо той самий об'єкт, будемо використовувати регулятор, в якому в головній діагоналі матриці передавальної функції регулятора містяться скалярні ПІ-регулятори, а в інших її елементах - пропорційні регулятори. При цьому будемо використовувати ту ж цільову функцію і ті ж вхідні впливу. На рис. 12.48 показана відповідна структура регулятора, а на рис. 12.49 - результати у вигляді перехідних процесів. Передавальна функція отриманого регулятора має вигляд

Мал. 12.48. Регулятор за прикладом 12.16

Результати значно краще, ніж в попередніх прикладах, проте по першому каналу перерегулирование все ж велике, близько 80%. Дана система для деяких застосувань може виявитися прийнятною, але в більшості випадків така велика величина перерегулювання все ж не задовольняє вимогам технологічного процесу.

Мал. 12.49. Результати оптимізації регулятора за прикладом 12.16

Приклад 12.17. Розглянемо той самий об'єкт і той же регулятор, але при цьому введемо в цільову функцію детектор неправильних рухів на основі твору помилок кожного каналу на їх похідні. Від цих творів беруться лише позитивні частини, які підсумовуються з інтеграцією, після чого результат додається в вартісну функцію. Оскільки обчислювач вартісної функції вже містить інтегратор, можна обмежитися тільки одним загальним інтегратором, а підсумовування здійснити на його вході. На рис. 12.50 показана відповідна структура для обчислення вартісної функції. При цьому використовується ваговий коефіцієнт, що дорівнює 10.

Мал. 12.50. Структура для обчислення вартісної функції, що включає детектор неправильних рухів

Отриманий регулятор має наступну передавальну функцію:

Отримані перехідні процеси показані на рис. 12.51. Перерегулювання в першому каналі тепер не перевищує 50%, а в інших каналах воно не більше 25%.

Можна використовувати інший ваговий коефіцієнт, наприклад, рівний п'яти. Отримувані при цьому перехідні процеси представлені на рис. 12.52. Видно, що перерегулирование в першому каналі зросла до 60%. Тому даний результат не краще, ніж результат з регулятором (12.6).

Можна також збільшити ваговий коефіцієнт, наприклад, до 20. Відповідні перехідні процеси показані на рис. 12.53. Перерегулювання в першому каналі впало до 40%, але тривалість перехідних процесів сильно зросла, вони стали затягнутими. Тому результат з регулятором по співвідношенню (12.6) слід визнати кращим за такої його заданої наперед структурі серед усіх отриманих в цьому прикладі і в попередніх прикладах.

Приклад 12.18. Розглянемо той самий об'єкт і ту ж цільову функцію, що і в прикладі 12.17, але будемо використовувати регулятор, в якому в головній діагоналі містяться скалярні ПІД-регулятори, а в інших елементах матриці будуть коефіцієнти. При цьому також використовувалися значення вагового коефіцієнта, рівні 5, 10 і 20. Отримані перехідні процеси показані на графіках рис. 12.54, 12.55 і 12.56 відповідно. На процесах, показаних на рис. 12.54, перерегулирование першого каналу не більше 40%, в інших каналах - істотно менше. При цьому процеси не надто затягнуті. На інших графіках процеси не краще, є затягування перехідних процесів. Тому пропонується надати перевагу результат, отриманий при ваговому коефіцієнті, рівному п'яти.

Мал. 12.51. Отримані перехідні процеси за прикладом 12.17

Мал. 12.52. Отримані перехідні процеси за прикладом 12.17 при використанні вагового коефіцієнта 5

Мал. 12.53. Отримані перехідні процеси за прикладом 12.17 при використанні вагового коефіцієнта 20

Мал. 12.54. Отримані перехідні процеси за прикладом 12.18 при використанні вагового коефіцієнта 5

Мал. 12.55. Отримані перехідні процеси за прикладом 12.18 при використанні вагового коефіцієнта 10

Мал. 12.56. Отримані перехідні процеси за прикладом 12.18 при використанні вагового коефіцієнта 20

Отриманий регулятор описується наступною передавальною функцією:

Для порівняння на рис. 12.57 показані перехідні процеси з таким же регулятором, розрахованим при використанні нульового коефіцієнта для детектора неправильних рухів. В цьому випадку перерегулирование в першому каналі становить 110%. Навіть при найскладнішій структурі регулятора відмова від детектора неправильних рухів призводить до того, що завдання вирішується не настільки успішно.

Таким чином, показано, що використання детектора неправильних рухів стало одним з ключових підходів, необхідних для вирішення задачі синтезу регулятора для управління трьохканальним об'єктом.

Інші важливі принципи оптимізації полягають у тому, що вхідні впливу повинні бути лінійно незалежними, в вартісну функцію входить інтеграл від суми модулів помилок, в головній діагоналі слід використовувати найбільш складні (і тому найбільш ефективні) ПІД-регулятори. В цьому випадку в неголовних зв'язках можуть бути застосовані лише пропорційні регулятори. При цьому управління може бути отримано прийнятним, а саме забезпечена автономність управління, нульові статичні помилки по кожному каналу, перерегулирование в гіршому випадку не перевищує 40%.

Природно, що більш складні регулятори можуть дати кращі результати, однак застосування ПІД-регуляторів в кожному тракті зажадало б оптимізації 27 коефіцієнтів, що перевищує можливості використовуваної нами версії програми VisSim.

Однак якщо за умовами завдання все ж необхідно зниження перерегулювання, можна запропонувати один з наступних шляхів.

По-перше, можна запропонувати використання самої останньої версії програми VisSim чи іншого програмного забезпечення для оптимізації необхідної кількості параметрів.

По-друге, якщо перший варіант недоступний, можна запропонувати застосування, наприклад, методу заморожених коефіцієнтів, а саме, після оптимізації найбільшого можливого кількості параметрів можна зафіксувати їх, після чого здійснити оптимізацію наступній частині параметрів. Потім зафіксувати і їх, після чого здійснити оптимізацію залишилися параметрів. Після цього можна повернутися до першої групи параметрів і т.д. до тих пір, поки не буде отримано прийнятне якість управління.

Мал. 12.57. Отримані перехідні процеси за прикладом 12.18 при використанні нульового вагового коефіцієнта для порівняння