Повна версія

Головна arrow Логістика arrow Логістика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

МОДЕЛІ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛІННЯ ЗАПАСАМИ

В результаті вивчення глави 9 підручника навчається повинен:

знати

  • • логіку класичної моделі управління запасами (модель EOQ ), її гідності і методичні недоліки;
  • • загальну характеристику динамічних і стохастичних моделей управління запасами;

вміти

  • • обґрунтовувати необхідність вибору політики (стратегії) поповнення запасів на підприємстві;
  • • здійснювати вибір конкретної системи регулювання запасів, виходячи з порівняльного аналізу їх параметрів і реальних умов господарської діяльності;
  • • адаптувати модель EOQ до реальних практичних умов (знижки на розмір замовлення, нелінійність витрат, дискретність попиту);

володіти

  • • методами розрахунку параметрів систем управління запасами, методикою визначення страхового запасу;
  • • алгоритмом аналізу чутливості моделі EOQ умінням виявити її переваги і недоліки.

Класична модель управління запасами

Необхідність вибору стратегії закупівель. Класична модель управління запасами призначена для оптимізації розміру поточної частини запасу і справедлива як для виробничих, так і товарних запасів торговельних організацій. Розглянемо ідеальні умови формування і витрати запасу, які припускають миттєве надходження і рівномірне споживання матеріального ресурсу (див. Рис. 8.5). Припустимо, що В - річна потреба виробничого підприємства в конкретному виді матеріального ресурсу або очікувана величина попиту на конкретний товар для торгової фірми. Тоді при відомій величині В в закупівельної діяльності фірми можливі наступні основні стратегії закупівлі.

1. Придбати одноразово необхідний матеріальний ресурс (товар) відразу в розмірі річної потреби. У цьому випадку обсяг партії поставки (закупівлі) Q дорівнюватиме В. Тоді для заданих умов згідно з формулою (8.8) середньорічний розмір запасу буде S = В / 2 . Незважаючи на свою простоту, така стратегія закупівлі має серйозні недоліки, викликані цілим рядом обмежень: економічними, організаційними і технологічними.

Перша група обмежень викликана тим, що, як правило, фірма в своїй закупівельної діяльності має справу не тільки з даним видом матеріального ресурсу, але закуповує і інші. Оскільки розміри оборотного капіталу фірми мають певні обмеження, а обсяг річної потреби може бути значним, то така стратегія закупівель буде свідомо нераціональною. Крім того, зміст матеріального запасу також вимагає певних витрат, розмір яких прийнято вважати пропорційним середнього розміру запасу.

Друга група обмежень пов'язана з можливостями постачальника (виробника). При досить великих потребах постачальник не в змозі виконати таке замовлення і одноразово відвантажити необхідну партію матеріального ресурсу.

Третя група обмежень пов'язана з виконанням транспортно-складських операцій. Транспортні засоби мають обмеження по вантажопідйомності і вантажомісткості, складське господарство фірми має обмеження за своєю місткістю, і, крім того, необхідно враховувати фізико-хімічні властивості матеріального ресурсу, його збереженість, допустимі терміни зберігання і т.п. Таким чином, дана стратегія, як правило, буде нераціональною і неприйнятною для фірми в силу одного або декількох перерахованих вище обмежуючих умов.

  • 2. Можна здійснювати закупівлі два рази в рік, тобто в розмірі піврічної потреби. Тоді розмір партії поставки буде Q = B / 2, а середньорічний розмір запасу S = B / 4. У цьому випадку в порівнянні з першою стратегією частина обмежень може бути знята, але при великих масштабах закупівельної діяльності більшість з них як і раніше будуть діяти.
  • 3. Аналогічним чином фірма може купувати даний матеріальний ресурс в розмірі квартальної потреби. В цьому випадку закупівля здійснюватиметься чотири рази на рік в розмірі Q = B / 4 nS = B / 8. І в цьому випадку якась частина обмежуючих умов може залишатися в дії, але головними обмеженнями будуть виступати економічні - дефіцит оборотного капіталу фірми і високі витрати на утримання (зберігання) запасу.

Цей ряд можливих стратегій поставки (поповнення запасу) товарно-матеріального ресурсу можна продовжити і здійснювати їх один раз на місяць, декаду, тиждень, аж до щоденних закупівель. Кожна з цих стратегій буде описуватися набором взаємопов'язаних параметрів (інтервал поставки, максимальний і середній розмір запасу), значення яких можуть істотно відрізнятися. Таким чином, виникає проблема вибору стратегії закупівлі, тобто обгрунтування розміру замовлення і кількості закуповуваних партій матеріального ресурсу і тим самим знаходження величини його поточного запасу і інтервалів між поставками.

У загальному випадку приймемо, що фірма здійснює закупівлі даного виду матеріального ресурсу п раз на рік через рівні проміжки часу Т = Т ш / п, де - горизонт планування, або тривалість планового періоду. Горизонт планування повинен бути досить тривалим і, як правило, приймається рівним одному року (.Т ш = 1 рік = = 360 днів) і в рівних кількостях, тобто розмір замовлення буде Q = В / п. Тоді середньорічний розмір поточного запасу буде дорівнює S = В / 2п , а його максимальний розмір S max = Q = В / п.

В ідеальних умовах значення максимуму поточної частини матеріального запасу повинно наближатися до оптимального розміру партії поставки. При цьому в управлінні виробничими запасами і товарними запасами торговельних організацій йдеться про оптимізацію розміру замовлення (партії закупівлі або поставки), а в управлінні товарними

(Збутовими) запасами готової продукції підприємств-виробників - про оптимізацію партій відвантаження товару. Оскільки в обох випадках методичний підхід до реалізації даного завдання принципово не відрізняється, то в подальшому для спрощення будемо говорити лише про виробничі запаси.

Висновок класичної формули оптимального розміру замовлення (модель EOQ). Оптимізувати розмір замовлення (партії поставки) означає, що необхідно знайти таке його кількісне значення, яке вимагатиме мінімальних витрат на формування і зміст поточного запасу при заданих умовах. Методика вирішення даного завдання базується на тому, що різні складові загальних витрат змінюються різноспрямовано при зміні розміру партії поставки і, отже, існує такий розмір замовлення (партії закупівлі), який забезпечує мінімум сумарних (загальних) витрат, пов'язаних з формуванням та утриманням запасу.

Загальні річні витрати по формуванню (закупівлі і доставки) і змістом (зберігання) запасу матеріального ресурсу 1 Г0Д для прийнятих умов пропорційні загальних витрат за один цикл закупівлі 1 заг , тобто сумарних витрат на закупівлю і доставку однієї партії матеріального ресурсу і зберігання його поточного запасу Ь тд = 1 заг • л. Загальні витрати по формуванню і змісту запасу, що приходять на одну партію поставки (закупівлі), будуть складатися з двох основних частин:

де L 3aK - витрати із закупівлі однієї партії матеріального ресурсу, включаючи транспортно-заготівельні витрати; L xp - витрати на утримання (зберігання) поточного запасу, включаючи можливі втрати в розмірі природного убутку.

Серед складових витрат по формуванню запасу можна виділити два види: одна частина складових витрат залежить від розміру одноразової замовлення (партії поставки), а інша не залежить. У зв'язку з цим виділяють умовно-постійні та умовно-змінні витрати, з яких і складається вартість одного замовлення. Тоді витрати по формуванню запасу можна визначити як

де К - умовно-постійні витрати, пов'язані із закупівлею та доставкою однієї партії; з - умовно-змінні витрати, що припадають на одиницю матеріального ресурсу (включаючи ціну закупівлі).

Витрати за змістом запасу прийнято вважати пропорційними середнього розміру запасу і часу його зберігання на складі фірми між двома черговими поставками:

де h - вартість утримання одиниці запасу в одиницю часу (як правило, в добу); Т-інтервал між поставками.

Для прийнятих умов буде справедлива формула (8.8) для визначення середнього розміру запасу, а оскільки Т = Q / b, то, отже, вираз (9.3) можна представити у вигляді

Тоді вираз (9.1) для визначення загальних витрат по формуванню і змісту запасу, що припадають на одну партію закуповуваного матеріального ресурсу, з урахуванням (9.2) і (9.4) набуде вигляду

Питомі витрати, тобто витрати по формуванню (організації поставки) і змістом запасу одиниці товарно-матеріальних ресурсу за один цикл поставки, можна отримати поділом вираження (9.5) на розмір замовлення (партії поставки) Q:

Вираз (9.6) являє собою функцію Z (Q), тобто залежність питомих витрат по формуванню і змісту запасу даного матеріального ресурсу від розміру замовлення, що визначає рівні (максимальний і середній) його поточного запасу, або, іншими словами, є оцінним показником можливих стратегій закупівельної діяльності. Найменші витрати Z o6l4 (Q) -Hnin визначатимуть оптимальну стратегію закупівлі товарно-матеріального ресурсу в заданих умовах, тобто мінімум загальних питомих витрат є критерієм оптимальності вибору розміру замовлення (обсягу партії поставки) і, відповідно, максимального рівня поточного запасу.

На рис. 9.1 представлена графічна інтерпретація виразу (9.6), яка наочно представляє залежність загальних (сумарних) питомих витрат і їх складових від зміни розміру партії поставки.

Залежність питомих витрат по формуванню і змісту запасу від розміру партії поставки (закупівлі)

Мал. 9.1. Залежність питомих витрат по формуванню і змісту запасу від розміру партії поставки (закупівлі)

Питомі транспортно-заготівельні витрати обернено пропорційні розміру партії поставки (K / Q) і в графічній формі представляють собою гіперболу. Питомі витрати по утриманню запасу прямо пропорційні середньому його розміру, який визначається обсягом партії поставки (hQ / 2b), і характеризуються лінійною залежністю. Крива загальних питомих витрат (/ заг ) являє собою результат складання всіх складових. Оскільки окремі складові загальних витрат змінюються різноспрямовано при зміні розміру замовлення (обсягу партії поставки), то крива загальних питомих витрат як сума всіх складових сягатиме свого мінімального значення (Z min ) в деякій точці Q *, значення якої і визначатиме найкращу (при заданих умовах - оптимальну) стратегію поповнення запасів (закупівель).

Для того щоб аналітично знайти екстремум (мінімум або максимум) функції, необхідно взяти її першу похідну, прирівняти її нулю і вирішити отримане рівняння щодо невідомого параметра. Для оцінки виду функції (опукла вона або увігнута), на основі якого можна зробити висновок про те, мінімум або максимум досягається при отриманому значенні невідомого параметра, потрібно взяти другу похідну. Знак значення другої похідної дозволяє зробити висновок про вид функції: при її позитивному значенні функція в цій точці буде досягати свого мінімуму (опукла функція), а при її отріцательності - досягати максимуму (увігнута функція).

Перша похідна функції питомих витрат (9.6) буде:

Друга похідна цієї функції буде мати вигляд:

Оскільки До - умовно-постійні витрати, пов'язані із закупівлею та доставкою однієї партії матеріального ресурсу на склад фірми, величина неотрицательная і Q - розмір партії поставки є величиною позитивною, то значення виразу (9.8) також буде неотрицательной величиною. Отже, в деякій точці Q *, що є рішенням рівняння (9.7), функція загальних питомих витрат по формуванню і змісту запасу ( 0 б щ (0) сягатиме свого мінімуму, тобто значення Q * визначатиме оптимальний розмір поставки і поточної частини запасу для заданих умов.

Прирівняємо вираз першої похідної функції загальних питомих витрат (9.7) нулю і вирішимо отримане рівняння щодо невідомого параметра Q:

Вираз для визначення оптимального розміру замовлення (партії поставки) буде мати вигляд

Вираз (9.9) являє собою формулу для визначення найбільш економічного розміру замовлення EOQ (Economic Order Quantity), яка є класичною (основний) економіко-математичною моделлю теорії запасів. Формула (9.9) відома в економічній літературі під багатьма назвами. Наприклад, формула розміру партії, формула квадратного кореня і ін.

історичний екскурс

Цю математичну модель досить часто називають «формулою Уїлсона» (в деяких перекладні видання Вільсона або Вілсона), по імені одного з її авторів - американського економіста-математика Р. Уїлсона (R. Н. Wilson).

У ряді видань авторство розробки моделі типу (9.9) приписується американському інженерові Ф. Харрису (F. Harris). Тому у вітчизняній літературі з теорії запасів модель (9.9) називають також і «формулою Харріса - Уілсона».

Форд Харріс 1 (в деяких вітчизняних виданнях його прізвище переводять як Гарріс) ще в 1913 р аналітично вивів і застосував модель економічного розміру партії при плануванні запасів незавершеного виробництва в корпорації «Westinghouse Elektric and Manufacturing Company». Його формула виробничого замовлення досить близька за своїм виглядом до вираження (9.9), але все ж має деякі відмінності. Формула Харріса має такий вигляд (у позначеннях автора):

де Р - витрати на підготовку обробки партії деталей (виробів); S - денний темп (інтенсивність) випуску; С - собівартість одиниці продукції; До - постійна, в яку входять такі складові, як відсоток на капітал, складські витрати, страхові внески, податки та ін.

Р. Вілсон дійсно вивів формулу квадратного кореня дещо пізніше [1] [2] , і вона була отримана в якості одного з результатів розробленої ним схеми управління запасами. Перша в світі монографія, повністю присвячена управлінню запасами, а точніше, можливостям практичного застосування моделі EOQ і її узагальнень (будуть розглянуті нижче), була підготовлена співробітником Массачусетського технологічного інституту Ф. Реймондом і видана в США ще в 1931 р

З формули Уїлсона і розглянутих раніше співвідношень (8.8) випливає, що в заданих умовах середньорічний розмір поточного запасу, відповідний оптимальним розмірам закуповується партії, дорівнює

оптимальне число закупівель (поставок) становить

а оптимальний інтервал між поставками буде

Досить часто модель EOQ представляють у вигляді, наведеному до заданого планового періоду (як правило, одного року):

де Н - вартість утримання одиниці запасу за плановий період часу; В - потреба в матеріальному ресурсі (обсяг попиту) за той же самий період часу.

Відповідно, і всі інші параметри моделі вибору стратегії управління запасами повинні бути приведені до річної розмірності, тобто формули (9.11-9.13) приймуть такий вигляд

При використанні моделей (9.9), (9.11-9.15) важливо, щоб всі об'ємні і вартісні параметри, характери-

1

зующие логістичний процес (величина попиту, витрати утримання або зберігання), були приведені до одного і того ж періоду часу.

Формальний аналіз моделі EOQ і графічна інтерпретація зміни загальних питомих витрат (рис. 9.1) свідчать про те, що оптимальні параметри поставок і запасів не залежать від ціни запасаемого матеріального ресурсу, яка враховується в складі умовно-змінних витрат з в формулах (9.2) і ( 9.6). Однак це не зовсім так. Як правило, витрати на зберігання запасу h (або Я) визначаються пропорційно вартості, або ціни, що запасається матеріального ресурсу. З огляду на це зауваження формула (9.9) дещо трансформується і набуде вигляду

де h - витрати на зберігання одиниці запасу в одиницю часу, що задаються як частка від вартості (ціни) запасаемого ресурсу (її часто встановлюють у вигляді відсотка); с - вартість товарно-матеріального ресурсу.

Крім того, збільшення розміру запасу веде до зростання іммобілізації оборотного капіталу, що також має враховуватися при визначенні оптимальних параметрів поточного запасу, що особливо актуально в умовах високої інфляції. З урахуванням цього фактора, досить широко відомий варіант формули (9.14), тобто моделі EOQ в річний розмірності:

де i - відсоток на капітал, в якості якого можна використовувати діючу ставку рефінансування, що встановлюється Центральним банком Росії (ЦБ РФ).

завдання

Потрібно визначити параметри оптимальної стратегії поставок металопрокату на планований рік (тобто розмір партії поставки, число поставок, інтервал між поставками і середній розмір поточного запасу).

Рішення

Умови завдання в прийнятій системі позначень: В = 900 т, К = 48 тис. Руб., З = 24 тис. Руб / т, Н % = 25%.

1. Витрати на утримання однієї тонни металопрокату на складі складають

2. Оптимальний розмір замовлення (партії поставки) відповідно до моделі EOQ:

3. Оптимальне число поставок на планований рік

4. Оптимальний інтервал між поставками становитиме

5. Середній розмір поточної частини запасу при використанні оптимальної стратегії його поповнення і рівномірному витраті складе

Таким чином, для розглянутих ідеалізованих умов формування і споживання запасу металопрокату оптимальною стратегією буде здійснення 8 поставок даного матеріалу за рік, одноразова поставка в обсязі 120 т (2 криті вагони) з інтервалом в 45 календарних днів. Отже, річний обсяг закупівлі металопрокату складе 120x8 = 960 т, з яких 60 т складуть перехідний запас на наступний рік. Якщо створення перехідного запасу даного тіпосорторазмера металопрокату небажано для підприємства, то остання поставка може бути здійснена в розмірі 60 т (1 критий вагон), що може бути обумовлено в договорі на поставку з постачальником.

Аналіз чутливості моделі EOQ. В результаті аналізу формули Харріса - Уілсона і похідних від неї моделей можна зробити ряд висновків. З них випливає, що Q і п пропорційні і, відповідно, якщо річна потреба зросте, наприклад, в 4 рази, то оптимальні розміри партії поставки і оптимальне число закупівель збільшаться лише удвічі. При постійній величині попиту В (а це одна з умов завдання) оптимальний розмір партії поставки Q * буде пропорційний у [до , тобто квадратному кореню з витрат по здійсненню закупівлі партії матеріального ресурсу, і обернено пропорційний sjh , тобто квадратному кореню з питомих витрат зберігання. Залежність оптимального числа поставок (закупівель) п від 4 до і yfh має зворотний характер.

Слід зауважити, що оптимальне значення розміру партії поставки залежить не стільки від абсолютних розмірів витрат з виконання замовлення До і витрат зберігання h, а від квадратного кореня їх відносини, тобто від yjK / h . Цей момент є принциповим, тому що в разі недостатньої точності оцінки витрат або односпрямованих помилок при їх обчисленні (завищення або, навпаки, заниження) результат рішення по формулі Харріса-Вілсона буде вкрай незначно відрізнятися від оптимального значення, що підвищує стійкість моделі EOQ.

Як зазначалося вище, річні витрати по здійсненню певної стратегії закупівель і поповнення запасів будуть пропорційні витратам за один цикл поставки і для ідеальних умов складуть:

З формули (9.18) випливає, що другий доданок річних витрат, що визначає власне вартість закуповуваних матеріальних ресурсів (з • 8 = const), при заданих умовах і постійних цінах не залежить від вибору стратегії поповнення запасів і прямо на нього не впливає. Тому їх можна виключити з сумарних витрат, які визначаються конкретною стратегією, і розглядати тільки логістичні витрати. З огляду на це зауваження і співвідношень (9.15) річні витрати по формуванню і змісту запасу при використанні оптимальної стратегії складуть

Для оцінки чутливості річних витрат по формуванню і змісту запасу до зміни розміру замовлення необхідно визначити ставлення Ь лог / L * ог і обчислити його залежність від співвідношення Q / Q *. Побудуємо дане відношення і виконаємо необхідні алгебраїчні перетворення. Тоді для моделі EOQ функція Ь лог / L * ог = / (Q / Q *) набуде вигляду:

З виразу (9.20) випливає, що відношення не залежить від параметрів системи. У табл. 9.1 наведені значення відносного збільшення логістичних витрат по формуванню і змісту запасу, отримані розрахунковим шляхом за формулою (9.20) в залежності від відносного відхилення розміру замовлення від оптимального, обчисленого за формулою Харріса - Уілсона, з кроком в 0,05 (тобто 5 %).

Таблиця 9.1. Розрахункові значення відносного зростання логістичних витрат в залежності від відхилення розміру замовлення від оптимального значення за моделлю EOQ

0_

Q *

алогія

I *

^ лог

о_

Q *

алогія

I *

^ * Лог

о_

Q *

алогія

L *

^ лог

0,5

1,25

0,85

1,0132

1,2

1,0167

0,55

1,1841

0,9

1,0056

1,25

1,025

0,6

1,1333

0,95

1,0013

1,3

1,0346

0,65

1,0942

1,0

1,0

1,35

1,0454

0,7

1,0643

1,05

1,0012

1,4

1,0571

0,75

1,0417

1,1

1,0045

1,45

1,0698

0,8

1,025

1,15

1,0098

1,5

1,0833

Графічна інтерпретація залежності співвідношень логістичних річних витрат від варіації розміру замовлення представлена на рис. 9.2.

З графіка на рис. 9.2 видно, що в околиці оптимального рішення Q * (тобто Q / Q * = 1,0) крива співвідношення витрат L / L * має досить плоску форму. Іншими словами, якщо дійсне значення Q навіть досить помітно відрізняється від оптимального Q *, то відносне збільшення витрат буде вельми незначним. Це твердження переконливо підкріплюється даними табл. 9.1. Наприклад, при зменшенні розміру замовлення на 20% в порівнянні з його оптимальним значенням річні загальні витрати при такій стратегії поповнення запасів збільшаться лише на 2,5%. Якщо збільшити обсяг поставки на ті ж 20% по відношенню до оптимального розміру замовлення, то річні загальні витрати зростуть лише на 1,7% в порівнянні з витратами оптимальної стратегії.

Графік залежності зміни відносних логістичних витрат при відхиленні розміру замовлення від оптимальної величини

Мал. 9.2. Графік залежності зміни відносних логістичних витрат при відхиленні розміру замовлення від оптимальної величини

Отже, низька чутливість річних логістичних витрат по реалізації оптимальної стратегії поповнення запасів, яка визначається за допомогою моделі EOQ, дозволяє коригувати отримане оптимальне значення розміру замовлення в досить широких межах виходячи з практичних міркувань, що визначаються умовами продажу (мінімальний розмір партії), транспортування (вантажопідйомність і вантажомісткість транспортних засобів), упаковки (кратність мінімальної упаковці) і ін. При цьому необхідно враховувати, що коригування розрахункового оптимального розміру замовлення в бік його збільшення призводить до меншого відносним приростом річних логістичних витрат. Ці властивості моделі EOQ, що визначають її гнучкість і стійкість, роблять її універсальним інструментом і в сучасних системах (стандартах) логістичного менеджменту.

Класична модель управління запасами (модель EOQ) передбачає дотримання ряду умов:

  • - величина попиту є постійною або приблизно постійною (b ~ const). Якщо коефіцієнт використання запасів є постійним, то рівень запасів також буде зменшуватися з постійним коефіцієнтом;
  • - інтервал відставання поставки (цикл замовлення) відомий і є постійною величиною (т = const). Це означає, що замовлення можна зробити в точці з певними значеннями тимчасового параметра і розміру запасу (рівень повторного замовлення), які забезпечать отримання замовлення (надходження поставки) в той момент, коли рівень запасів буде дорівнює нулю;
  • - відсутність запасів (дефіцит) є неприпустимим;
  • - розмір замовлення, період замовлення і інтервал поставки є постійними величинами (Q = const, Т = const).

Наведені допущення в значній мірі спрощують модель логістичного процесу, оскільки такі ідеальні умови в реальних системах не зустрічаються. Тому модель EOQ має велике теоретичне значення, а її практичне застосування обмежене [3] . Однак на її основі побудовано досить багато модифікацій, які враховують ті чи інші додаткові умови, і основні з них будуть розглянуті нижче.

  • [1] Детальніше див .: Долгов А. П. Модель EOQ в історичному розрізі: проблема ідентифікації авторства формули // Логістика сьогодні. 2006. № 5.С. 270-282.
  • [2] У спеціальній літературі висновок Р. Вілсоном формули оптімальногоразмера замовлення (модель EOQ) датується в межах від 1916 р до 1934 р
  • [3] Детальніше про значення, достоїнства і недоліки моделі EOQсм .: Долгов А. П. Феномен моделі EOQ, або не відбувся реквієм // Логістика сьогодні. 2009. № 2. С. 92-107.
 
<<   ЗМІСТ   >>