Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow ІНТЕЛЕКТУАЛЬНІ СИСТЕМИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ФОРМАЛЬНА АРИФМЕТИКА

Формальна арифметика розроблена Пеано і є розширенням числення предикатів першого порядку. У формальної арифметики в порівнянні з обчисленням предикатів додатково вводяться одна константа, три функціональних символу, один предикатний символ, одне правило побудови формул і дев'ять аксіом.

1. Додаткові символи алфавіту Про - константа нуль,

а - функціональний одномісний символ, що означає «безпосередньо наступний за», наприклад, а (0) - це 1, про (а (0)) - це 2 і т. д. + - функціональний двомісний символ «плюс»; відповідає операції додавання; замість + (х, ^) прийнято записувати х + у,

  • • - функціональний двомісний символ «твір»; відповідає операції множення; замість • (х, у) прийнято записувати ху, = - двомісний предикатний символ «дорівнює», який використовується тільки для порівняння чисел і грає особливу роль серед інших предикатних символів; замість = (х, у) прийнято записувати х = у.
  • 2. Додаткове правило побудови формул
  • - якщо t y t 2 - два числа, побудованих за допомогою числа 0 і операцій а, + і •, то вираз /, = t 2 є формулою.
  • 3. Додаткові аксіоми

Тут х, y 9 z, і - числа, побудовані за допомогою числа 0 і операцій о, + і •, а А (і) - довільний одномісний предикат з числовим аргументом.

4. Правила виведення в формальної арифметики ті ж ( МР ) і (GN), що і в логіці предикатів.

Зауважимо, що в останній (А14) аксіомі формалізовано рекуррентное міркування, зване принципом математичної індукції. З аксіом формальної арифметики випливають такі, наприклад, властивості, як комутативними і асоціативний закони множення і складання, а також дистрибутивний закон множення відносно додавання:

У формальної арифметики доказові всі відомі в елементарної арифметики затвердження і теореми. В цілому формальна арифметика є несуперечливої, нерозв'язною і неповної формальної теорією. Останнє означає, що в ній є формули, для яких не можна довести ні саму цю формулу, ні її заперечення. Причому, виявляється, що якщо А - саме така формула, то навіть додавання А в список аксіом формальної арифметики робить цю теорію повної. Іншими словами, формальна арифметика є неповною і непополнімой теорією.

 
<<   ЗМІСТ   >>